Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (Антидемидович), страница 4

~„2+1) „+1 'ьп ) ~„~) 3 1. Числовые ряды. Признаки сходимости зиакопостояииых рядов 19 Отсюда, на основании интегрального признака и теоремы 3, п.1.5, заключаем, что данный ряд сходится. р 55. T 1и 1з1и -) М Поскольку мп -' > э„, и Е )4, го )пэ '1з1п -„') < )пэ 1'э"). Следовательно, 1 1 2,)' 1 1и (з)и -„) !и ( — ) хи)и э (и1п и) Таким образом, на основании интегрального признака н теоремы 3, п.1.5, из последнего соотношения следует, что данный рлд расходится, р 54.

~ (и" — 1). =э М Прн о > 0 ряд расходится, так как общий член ряда не стремится к нулю при и ос. Поэтому будем считать, что о < О, и при установлении порядка стремления общего члена ряда при и оо будем пользоваться формулой Маклорена. Имеем 1ии У1пи1 ,У)ии~ и" — 1 = ехр)и 1и и) — 1 = — + о ( — ) = О' ( — ), и оо. ~ — ! ),.--) Отсюда, на основании интегрального признака н теоремы 3, п.1.5, видим, что ряд сходится при о < — 1 .

ь 55. -Е 2 ггг+ а)»4»~и+ 5) + ,а>0, Ь>0. =1 и Имеем и'" 1 а„— )и+а) +ь)и+5) + ььг ) +ь( ь) + „вы / Так как последовательности (11+ -") ) и ((1+ -) ) при и ж стремятся к постоянь ным с" н е соответственно, то а — ьь при и оо. Следовательно, по теоремам 3 и 4. п.1.5, данный ряд сходится при а+ 5 > 1. и 56. ~ (1и —, — 1и (з)и — )). »=1 и Очевидно, если о < О, то ряд расходится, нбо общий член ряда не стремится к нулю. Палее, при о > О, используя формулу Маклорена, получаем а» =!и — — 1п (з1и — ) = — 1и (и з1и — ) = и — -1и (и ( — — — + а ( — ))) — О ( — ), и -» оо.

Таким образом, по теореме 4, п.1.5, ряд сходится при а > —. р 1 э' Исследовать сходимосгь рядов ~ и„со следующими общими членами: -1 зг..= 1' от»*'га) а и Поскольку и Х/1 !-Ь ха ах > / хйх = —, 2 ' Гл. 1. Ряды 20 то 0 < з„< к, т.е. по теоремам 1 и 4, п.1.0, ряд сходится. И 58. Доказать, что сходимость векторного ряда ~ А в Е, А„= га„!, а„э, ..., а ь), А б Е", эквивалентна сходимости всех рядов ~~! а»„! = 1, й.

»=! М 1. Пусть все ряпы 2 а „! = 1, 1, сходятся, Тогда Л йш 5», = 5„где 5„, и 5, — со=! » ответственно частичные суммы и суммы рядов. По определению предела последоватеяьности 'ге > 0 Зпе такое, что тп > по выполняются неравенства )5,— 5)<е, г=1,Е Отсюда )5„, — 5,)' < етгк, !=! нли )РП вЂ” 50' < ечгя, где )~ . !) — норма элемента в Е", 5 = (5 !.

5 э, ..., 5»!), 5 = (5!, 5э,, 5!) = 2 А . Следовательно, 3 йгп 5 = 5 в Е", т.е. по определению 3, п, 1.1, »=! векторный ряд 2 А„сходится к 5. 2. Пусть сходится векторный ряд 2 А„к сумме 5, 5' б Е". Тогда по определению 3, »=! п.1.1, те > 0 3пе такое, что 'тп > во выполняется неравенство '05 — 5)) < . нлн ~ (Я, — 5,)' < е. =! Отсюда )5,— 58< У,=1,12 т.е. сходятся все ряды 2 а„, м =! 59. Исследовать на сходимость векторные ряды: а) ~( —,е ); =3 в! и~lй' (2п+ 1)!1Д) вши) + )сов п)) Ч а) Поскольку ряд 2 ' — в силу интегрального признака Коши — Маклорена расхо! !» =2 дикса, то данный векторный ряд, по доказанному выше, также расходится.

б) Длл сходимости данного векторного ряда необходимо и достаточно, чтобы сходились все три ряда: и! »!» ~ в х з ппьгй' х ! г(2в+1)11()зшз)+)соэп)) ! К первому ряду применим признак Раабе: т' 1. Числовые ряды. Признашн сходвмостн знанопостояннззх рядов 21 = )пп п 1+ +о( — ~) — 1 ) = йп и(з/а+ 1+!/а) ' =+со. «! \ !/а +Т+ т/й ! т/а/ / «! Следовательно, ряд сходится. Ко второму ряду применяем интегральный признак Коши— Маклорена, т.е. исследуем на сходимость несобственный интеграл: ф!« фО« е!« )пхйх ' ('" / Ь / йх — = -2х з )в х -1. 2 / — ' = 2 / хч/х ~, / х!/х ) х,/х ! ! ! Поскольку интеграл сходится, то сходится и ряд.

Что же касается третьего ряда, то сначала используем признак сравнения и1 и! < (2а+ 1)!1((пи а(+ (соха() (2а+ 1)!1 а затем к ряду ~ — "„применим признак д'Аламбера: (2 |-!ш =! (и+1)!(2а+1)!! 1 «! (2а+ 3)1! и! 2 Следовательно, третий ряд является сходящимся. Таким образом, поскольку все три ряда сходятся, то данный векторный ряд также сходится. И 60. Доказать, что сходимость ряда комплексных чисел ~~! х„эквивалентна сходимости двух действительных рядов у х„и ~ ~у„, где х = х„+ !у„. =! и 1. Пусть ряды / х„и 2 у„сходятся соответственно к суммам Х и У, Тогда, по ««! «=! определению 1, п.1.1, уз > О 3аз такое, что та > ис выполняются неравенства )Մ— Х) < е и )У вЂ” У) < с, (1) где Х , У вЂ” частичные суммы этих рядов. Учитывая неравенства (1), получаем )Х„+ гУ вЂ” (Х + !У)) =)Մ— Х + г(У« — У)) < ~Х« — Х) +)ӄ— У) < 2 .

Следовательно, частичные суммы комплексного ряда ~ (х„+!у„) сходятся к числу Х+!У = +г~ у. =! . Пусть ряд ~ х„сходится к сумме Х+ !У . Тогда, .по определению 1, п.1.1, гз > О йае =! ,что выполняется неравенство такое )Х„+ гУ« — (Х + гУ)( < з или <с, (2) где Х„+ !У«ж х, + !у!+ ха + !уз+ ... + х + !у« = х! + х; + ...

+ х — частичные суммы рассматриваемого ряда. Из (2) следует (Х.-Х(<е, )У„-У)<е, т.е. Х«Х, У« -«У при и -! со. Следовательно, ряд /,' х сходится к сумме Х, а ряд ! ~ у — к сумме У. р «=! 61. Исследовать на сходимость комплексные ряды: Гл. 1. Ряды 22 ч-ч и+! и! ~ пз + 1 ' л ! (! + 2)(! + 4) ... (! + 2п) ОР ОО а ! и а) Поскольку ряды 2,' —,, и 2,' —,, сходятся, то по доказанному выше сходится э=! э ! данный комплексный ряд. б) Используя формулу х + 2у = ° //хз + уз(соз !2+ ! эш и), преобразуем выражение ! ! .~ а.

и. -. ° ! ! п~) соз нэ) и! п!) зш 22„) и. /б /17 ... т/4ппз+1 т/5Д7 ... т/4пз+1' !/б /17 !/4пз+1 4ЪК7 /4пг+1 и ряд / по признаку д'Аламбера сходится, то на основании доказанной выше =! /!АЙ.. ! '4! теоремы (пример 60) сходится и данный комплексным ряд. й Заменив последовательности (х„), п Е Й, соответствующими рядами, исследовать их сходимость; 1 1 62. х„=1+ — + ...

+ — — 22/й. Я '" ~/и -! 4 Поскольку х„= ~ (хат! — х!)+ х2, то ь=! -! 1 1 1 1+ — + ... + — — 2ъ/ ж-1 — 7 ,/г " ',% ЧТ+ Ц,/й+ 1+,/й)2 ' Следовательно йгп х = -1 — ~~ 1 /й+Ц /4+1+Я)2' Полученный ряд сходится по теореме 4, п,1.5, ибо 1 1 2х2 поэтому сходится также данная последовательность. Ь т- 1вй 1в и 63. *.= ~~ — —— 2 й г ' а=! < Поступая аналогична проделанному в предыдущем примере, получаем откуда О м *.-2.("!!~,'!~ !ь'!-ь*[м+~))1. ь=! Пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, имеем 2а„= 21в(п+ 1) п + 1в — 1п п(п+ 1) = и+1 и+1 21в(и+1) 1в(в+1)+1пп, (1вп'1 21ап 1 (1+ 1) -п+1, /Ь,„~ п(п+ 1) 'пз(п+ 1) п '! пз ) ' 3 1.

Числовые ряды. Признаки скодвмоств звакопостояпвьгх рядов 23 Следовательно, схолммость последовательности (*») эквивалентна сходимости ряда Е '"". ~-"т». Последний, па интегральному признаку, сходится, поэтому сходится и данная пасле- » »»2 ловательносгь. Ь 64, Сколько примерно надо звать членов ряда, чтобы найти его сумму с точностью до 10 1, если л»1 1 М Нужное число членов ряда вайлем из неравенства )а»4! + а».12 + ... ) < 10 где ໠— общий член рассматриваемого ряда.

1 а) Пусть а» = —, . Поскольку лф! 1 132 — < / —, иб)4, (и+Цз / 1 1 Г йя + 2 ' ' ) 2' (и+1)2 (и 42)2 ) яз » Следовательно, если — <10 1, (2) то неравенство (1) будет выполняться. Из (2) находим и > 10 1. б) Пусть а = —, . Тогда » ж (»413 2»4' г 2 22 )а.+!+ а.+2+ ... ) = — ~~1+ — + (и+ 2)( ~, и+ 3 (и+ 3)(и+ 4) Таким образом, если < 10, та неравенство (1) будет вмполняться. Решая по+112" +! -1 (л+2)!( +1) следнее неравенство, находим и > 10.

П Упражнения лля самостоятельпов работы Исследовать схолимость рядов: 1. ~ ((2-",!),2. 2, Я -"22ш+~ш". 3. ~ (соя~ ) . 4. ~ (изш-„) » 1 л 1 л 1 1 ОЭ з » »! ' Е ~'(сг 1)~! ' Е ((Л Ь»В ' Е;Щ;* ". » 1 » 1 »»1 , е — »»в»ил~ (»+1)(»+!) - (1»-2)("+2)2 ~ ачл-гц — -14»л-т!а — ...(2+12 !) » 1 »2»-1 л 2 10.

~ '— „Р. 11. ~ мй — '?. 12. ~. ") и'(у2; '3з. Е л 1 Гл. 1. Ряды Т-~ ~ СО . /- 14. ~„~ол е» вЂ” — „— соз ((-„. 16. ~ зш „,11;з-„-. » »»2 16. Доказать признак Бертраны если существует хохя бы в несобственном смысле предел то числовом строго полохсительный ряд ),'а» прн 7 > 1 сходится, а при д ( 1 — расходится. Пользуясь признаком Бертрана, исследовать сходимость следующих рядов: СО» сс Е П ( с с — +,' „) . 8. »»»с-„'и»--. »»1 1»2 »»2 Установив поведение общего члена при» со, исследовать схадимость следующих рядов: 19.

~ ~1 — 1вп п».29. ~ ) ~~~, Ых ФСО с 1с» »»о О сг'»' » 1 з т'юс +СО 23. ~ — ) 1(х))зглох~ ых, где фуиацня 2 абсолютно ннтегрируема на ]О, +со( и »1 а ) У(х) Их ф О. о Ф ОО 24. ~ 1 е * Ых — 1 29 ~ )" 21всзяс — '— "" «»1 О »»1 26. Матричный ряд ~ А», где А» матрицы размера й х П называется сходящимся, если »»1 » »1ол ~А» — — А, » СО где А — матрица размера й х й Показать, что сходимость матричного ряда зквивалентна схадимости всех рядов вида 1~~р~~л 1~~»зсй »1 где о»»2 — злементы матрицы А», » Е И. 27, Доказать, что матричный ряд (1) где А — квадратная матрица, 1 — единичнал матрица, х — число, сходится.

Матричный рсщ (1) определяет матричную экспоненту е*'1, т.е. Я»" » е »»О 28. Пусть квадратная матрица А приводится к диагональному в"ду, т,е. существует матрица Т такал, что Т 1АТ= 12. Пркзкакк скодкмостп зкзкоперемеккык ркдов Тогда с ' е!' е =Т л е" Доказать зто. 29. Пусть квадратная матрица размера и х и имеет внд Л 1 0 Л 1 0 О ... 0 1 л Тогда ! э! 2! ' ' ' («-Ц! ,! !! ' ' («-21! с г ! э! с Доказать зто. С« ЗО.

Доказать, что ряд ~ А" сходится, еслн ««в ( рэ)з < 1 э, э«! где аээ б И вЂ” элементы матрицы А. ~ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов 2.1. Абсолютная к условная скодкмостк ряда. Определеппе 1. Ряд ~ а называется абсолюэяно сходящимся, воли сходится ряд ««! ~ )а„), где а„з м или С. «=! Опредепеппе 2. Если ряд д ' а„сходится, а ряд ~ !а„! расходи!вся, гло ряд ~ ', а„ «=! «! и ! наэываспэся условно сходящимся.