Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (Антидемидович), страница 10

исследуемый рхд сходится равномерно. Абсолютная сходимость ряда вытекает из оценки (1). И ч-ч а„ 130. Доказать, что если ряд ~~! а„сходится, то ряд Дирихле ~ ~— сходится равномерно х* ! ! прк х ) О. и Функции х ОΠ— „ОГраНИЧенн еднницсй и прн каждОм х ) О образуют монотонную по! следовательность ~ — —,От!1, ) 0), а ряц 2, а„схоДится по Условию; поэтому, по пРиэнакУ /! и ! Абеля, ряд ~ — „" сходится равномерно при х ) О. и ! ОО ч ч зшнх 131* Показать, что функция г ! х ! ~~ — неирерывна и имеет непрерывную вз О ! производную в области -оо < х < +оо.

129. Доказать, что если ряд ) иО(х), члены которого — монотонные функции на ! сегменте [а, Ь], сходится абсолютно в концевых точках этого сегмента, то данный ряд сходится абсолютно и равномерно на сегменте [а, 6). и Принимая во внимание монотонность функций и„, оценим остаток ряда г (х). При х Е [а, Ь! имеем Гл.

1. Ряды 52 м Функции х ! мв их, х !-! солих непрерывны в указанной области. Кроме того, ряды П*) ж~:=."*, й*) ш~'=,"*, ! ! в силу признака Вейерштрасса, сходятся равномерно. Поэтому, во — первых, почленное диф- ференцирование данного ряда, согласно п.4.7, возможно; во-вторых, согласно п.4.4, функции у и у' непрерывны, М 132. Показать, что ряд ~~! (пхе "* — (и -1)хе !" '1*) сходится неравномерно на [О, 1], «=! однако его сумма есть значение функции„непрерывной на этом отрезке. м Имеем о„(х) = ~ (ххе * — (й — 1)хе !~ !М) = пхе "*, В(х) = Йп о„(х) = О, х Е [О, 1].

Таким образом, з — непрерывная на [0, 1] функция. Однако, эяр [Я (х) — Я(х)[ = е10, !1 поэтому ряд сходится к своен сумме неравномерно. М 133. Определить области существования функции У н исследовать ее на непрерывность, если: а) !'(х) = ~~ (х+ — ); б) 1(х) = ~~[ ! ! м а) по признаку коши, ряд сходится, если 1пп ]я + -'] < 1, т.е. при [х[ < 1 (н расходнт- О ся при х > 1, так как в этом случае общий член ряда не стремится к нулю).

Функцнв У, таким образом, определена прн [х[ < 1. При [х[ < г < 1 функциональный ряд сходится равномерно, ! ! поскольку сходится мажорантиый для него ряд с членами (г+ -) . Поэтому, на основании п.4.4, можно утверждать, что функция У непрерывна прн [х[ < г < 1, т,е. непрерывна на интервале ] — 1, 1[. б) Функция 1„! х ! -*-Я--,~ — непрерывна при -со < х < +ос, а ряд с членами у (х) равномерно сходится иа всей числовой прямой. В самом деле, представив функции ( в виде з / ( 1)э! у„! х ! х! .1. пз [, пз и „г замечаем, что функции э!„! х ! -т — —, ограничены в совокупности (!э„(х) < 1) н прн каждом х образуют монотонную последовательность по л, а ряд 2 ~ — „, + ~ ] сходится равномер»=1 но на каждом интервале ] — Ь, Ц, в силу чего ряд ~ 1„(х), по признаку Абеля, сходится =! равномерно на ] — Ь, Ц.

Поэтому сумма ряда является непрерывной функцией на ] — Ь, й[. В силу произвольности числа Ь, утверждаем, что сумма ряда непрерывна на всей числовой прямой. 134. Доказать, что дэета-функция Римана 1 с:*-ЕР ! непрерывна в обласхи х > 1 и имеет в этой области непрерывные производные всех порядков. м Пусть х > хо > 1. Тогда, в силу сходимости ряда (1) е ! 53 т 4.

Функциональные последовителыгостн и ряды н признака Вейерштрасса, заключаем, что ряд и=! и! сходится равномерно при х > хэ > 1. Так как, кроме того, функции х ! в"* непрерывны в указанной области, то, согласно п.4.4, функции 1иг н х и с р1(х) = ( — 1)р ~ также непрерывны прн х > хэ > 1, т.е. при х > 1 *и-! Скодимость ряда (1) вытекает из признаков сравнения пЛ.Ь и оценки 1вз и < о ха > 1, справедливой при достаточно большом о. и 135. Доказать, что тэта-функция О!х ° ~ е опредеяена н бесконечно дифференцируема при х > О. ч Сходимость данного ряда вытекает из сходимости ряда с общим членом е «ЩР и при„г знака сравнения п.!.б (е '" ' < е «щр), т.е.

функция 0 опредеяена прн х > О. Далее, рассмотрим ряд +«« Е эр— и е, рбл, где х > хз > О, явяяющнйся мажорнрующим по отношению к ряду гр -«» « Е г в е (2) Х'(х) = ~,(1:;),„ ! в силу признака Дирикке, сходится равномерно на кагкдом замкнутом множестве числовой прямой, ие содержащем точек х = -1, -2,..., то почвенное дифференцирование ряда а) при х ф -н, н Е р1, воззмикмо, Поскольку ряд (1), по признаку Коши! сходится, то, по признаку Вейерштрасса, ряд (2) сходится равномерно. Следовательно, согласно п.4.7, функция д любое число раз днфференцнруема прн х > хэ > О.

В сняу произвольности числа хэ, сдеяаииое закяючение пригодно прн х>О, в 136. Опредеянть область существования функции 1 и нссяедовать ее на днфференцнруемостги если: ) ~(*) = ~. ( ' *; б) ж =',. =! и! ч Функцноиаяьная последовательность ( — *) при х ф — о монотонно по и стремится к !«4«г нулю. Следовательно, по признаку Лейбница, ряд сходится, т.е, функция 1 существует при всех х ф — н. п Поскольку функции х ! ( — ) = — г непрерывны при х ~ -н и ряд !.1- ~ 1+) Гл. 1.

Ряды б) Рлд скодится равномерно, по признаку Веиерштрасса, при всек конечных х. ДействиТЕЛЬНО, ЗДЕСЬ --уа -, < —,, А ж СОЛЗ1, И ряд' 2 ' — „2 СХОднтея. СЛЕДОВатЕЛЬИО, фуНКцИя у л 1 существует при всех х б] — со, +со[. Далее, выполняя формальное дифференцирование ряда, получаем 2 чэч и зйпх — х[х[ (в!+ хэ)2 1 Поскольку !2 (х) — 1 1 2 < ! < ! — 2 при и В пз и рЯД 2 2 схОДитсЯ, то, 2 =1 по признаку Вейерштрасса, ряд (1) сходитса равномерно прн ]х[ < А. А тогда, принимая во внимание неирерывлость функций !2 при х 24 0 и учитывая л.4.7, заключаем, что лочяеиное дифференцирование ряда б) справедливо.

Для исследования на дифференцируемость рада б) в точке х = 0 рассмотрим у(!ах) — У(0) ж, [ [сзх[ ~-~ 1 а*-яз Ьх а -хз [ ~~ ~-~ п'+(!2х)2 и ! (2) Здесь ряд ~С 2~ ~ 1! сходится равномерно ло признаку Вейерштрасса. Поэтому, 1 1 п.4.5, 1 Ъ-1 йш — < +со. а о 4-~ пэ+ (!2х)2 с-г пз =1 =1 согласно (3) Тогда, как следует из (2), с учетом (3) можно написать Д(0) = ) -'т, у' (0) = =1 Таким образом, функция 1 в точке х = 0 не дифференцируема, > 137. Прн каких значениях параметра ос а) последовательность (~ (х)), 1' (х) = и'хс ", х б р(, (1) сходится на отрезке [О, 1]; б) последовательность (1) сходится равномерно на [О, 1]; в) возможен предельный переход под знаком интеграла: йш ~у (х) 3х? з М а) Если х > О, то,используя правнлоЛолиталя, легко проверить, что Бш у хе *" = 0 э + прн любом и. При х = 0 имеем Ьп уз(0) = О.

Поэтому йш уз(х) = 0 при всех х б [О, 1]. ы б) Поскольку 1' О, если п<1, йш зпр в хе""* = — йш и =~ —, если пж1, 1, а!О,П с ! !' +со, если а ) 1, то, на основании утверждения примера 103, данная последовательность сходктся равномерно только при а < 1. 1 1 в) Поскольку ]' Ьп у»(х)йх =0 а йш ) ~О(х)йх = Бш (( — ', — е "( — „', + —,',))» ) р~в~н з О !О О ! О нуаю лить прн а < 2, то предельный переход под знаком интеграла возможен только прн а<2. М т 4. Функциональные иосаедоватеяьиости и ряды 133.

Показать, что поскедоватеаьиость (у (*)), у„(х) = вх(1 — х)", в Е )4, сходитсз неравномерно на сегменте [О, 1], однако 1 1 йп ] У' (х)вх 1 й!и Ги(х) "х в ооа / и ао о о М Очевидно, лредеаьная функцна равна нулш на [О, 1]. Далее, ! и+1 йп вар (вх(1 — х)и = йш ( — ] = — Оа О, ь е1о,!1 у -о !в+1 е поэтому последовательность (1 (х)) сходится неравномерно. В то же время 1 1 Бш в х(1 — х)и ах = 1пп в ~(1 — з)хи!аз ж йп ж О. Ь / и (в+ 1)(в+ 2) Найти 1)и+1 п 1 ( 1) о1 1-ое-е в хи+1 2 с-е в 2 и! и 1 140. Вш ~~~ (хи — хио'). и1 4 Поскольку даннмй ряд скодится неравномерно на [О, 1], то мы не имеем права переко. дить к пределу под знаком суммы.

Позтому найдем этот предел, предварнтехьио вычислив сумму данного ряда. Имеем ии1 ° а 141. йп ~~! ' — „ 1 ч Данный ряд, в силу признака Вейерштрасса, сходится равномерно прн х ) О, Поэтому, согласно п.4.5, имеем 1, 1 и 1 1 ао 142. йи 7 ао х а 1 + во хо и 1 ч-и 1 ж~ — =1.ь 2и и 1 аа 1 аа 1 4 Поскольку ввр; — т-т = ит и ряд 1 --т сходится, то, по признаку Вейерштрасса, -оа<а<+аа и 1 аа 1 данный Рад сходитск РавномеРно. Заметах еще, что Бш -,о„т=г ж иг, на основании п.4.5 переходим к лредеау дед знаком суммы: з х ась-а 1 а аоС и 1+ввоз ~-~во и 1 139.

йп 'у и! 4 Данный ряд, согласно признаку Абеля, скодитса равномерно в области х ) О. Кроме 1-1! О! " 1 1!иеа того, йш — „' = '--' —, поэтому, согаасно п.4.5, возможен предельный переход а-1-О а +1 1 под знаком суммы: бб Гл. 1. Ряды чз43. Возможно ли почленное дифференцирование ряда ~агс16 — 7 и «! ч Функции х !«агстб — з, и Е И, непрерывно дифференцируемы при [х~ < со. На этом же интервале функциональный ряд ~ атсгб —,, как следует из теоремы 3, п.1.5 (агсгб —, =! 2 при н оо), сходится.