Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (Антидемидович), страница 8

Важнейшие достаточные признаки равномерной сходимости рядов. Мажорантиый признан Вейерштрасса. Если Зай б К такие, что Ых б Х справедливы неравенства (ий(х)( ( ай, 6 б Я, и ряд ) ай сходится, то ряд (1), п.4.1, сходится й 1 равномерно на Х. Признак Дирихле.

Если частичные суммы ряда ~ ай(х) равномерно ограничены 1=1 на Х, т.е. ЭМ > О пзакое, что Ух б Х Л Уп б Я выполняепзся неравенство )Яь(х)| = ай(х) ( М, а функциональная последовательность (6„(х)) удовлетворяет двум услоеи. й=! ям! а) Ух б Х: 6 г! (х) (ч Ь„(х) Уа > по,' б) Ь„(х) =6 О на Х при и оэ, то функциональный ряд Ю ~ ай(х)6й(х) й ! сходи!ноя равномерно на Х . Признан Абеля.

Ряд (1) сходится равномерно на Х, если ряд ~ ай(х) сходится раей=! номерка на Х, а функции 6й удовлетворяют двум условиям: а) дМ > О !покое, что Ух б Х л Ый б Я выполняется неравенспзво 16й(х)) ( М; б) Ыхо б Х последоызтельносзпь (6й(хо)) монотонна при Ь > Ье. 4.4.

непрерывность предельной фупкции и суммы ряда. Если последовательность непрерывных функций (~ь), гь -' Х К(С), сходится равномерно иа Х а функции У ! Х К(С), то у непрерывна на Х. Если все члены ряда ~ ий(х) й 1 непрерывны на Х и ряд сходится равномерно на Х х сумме Я(х), то фуикцня 5 непрерывна иа Х. Гл. 1. Ряды 42 4.$. Почлеюсый вредельвый пере!сод в рада!с к фуккцвовальпык последовательностях. Если функциональный ряд (1), п.4.1, сходится равномерно в некоторой окрестности точки хо и если Иш ий(х) = сй, 6 Е М, то числовой ряд 2 сй сходится, причем »»о й ! ОО йгп ~ ий(х) = ~~! сй. й 1 й»! Если последовательность фуихций (у»), п б И, равномерно сходитса в окрестности точки хо н ои б М й (пн у»(х) = 4», то последовательность чмсеа (А„), и б М, также сходится н » оо 4.4.

Предельный пере!сод под знаком интеграла п почлеввое вптегрпровавве ряда. Если последовательность интегрируемых фуикцкй (у ), у» .' [а, 6] К, и б М, сходится равномерно иэ [а, 6] к функции У: [а, 6] П, то охо б [а, 6]: 1„(С) !(С ~ ~ 1(!) с(С у~ б [а, 6], Если рлд (1), п.4.1, члены которого ннтегрнруемы на [а, 6], сходится равномерно нэ [а, 6], то справедливо равенство ОО я(с)бс=~ /ий(с)бс, й»1 оо оо т.е. ряд (1), п.4.1, можно почвенно кнтегрнровать на отрезке [хо, х] С [а, 6!.

4.7. Предельмый пере!сод под знаком проюводной в почлеввое дпфферепцвровавве рада. Если последовательность непрерывно днффереицируемых функций (Л,), У»: [а, Ь) В, п б 6(, сюднтся а функции у ! [а, 6] К, а последовательность (у»), и ч М, сходитса равномерно х функции э! . "[а, Ц П, то функцил у также дифференцируема на [а, 6] и / (х) = р(х) = Йп 1„(х), т.е. допустим предельный переход под энаюм производной. СЮ Если рад (1), п.4.1, с непрерывно днфферекцнруемымм членами сходится на [а, 6], а ряд производных о(х) = ) вй(х) й»! сходится равномерно на [а, Ь], то сумма ряда (1), п.4.1, диффереицмруема на [а, 6], причем на этом отрезке выполняется равенство ~'(х) ж а(х)ж ~) Ий(х), й»! т.е.

рак (1), п.4.1, мол!но почленю дифференцировать. Опредеюпь промежутка сходимосгн (абсолютной к условной) следующих фунхциоиальных рлдов: В 06. ~иэ- х,е>б, б<.<.. 1+ во »» ! у 4. Фуикциопальмые посдедовательмости п ряды ч Для сходимости ряда необходимо, чтобы,+, — — — „,, —,, О при е оо, т.е. чтобы «е Ч >Р.

Абсолютная сходиыость. Поскольку 1мпвЦ > зшз ах = — '"' "*, то ряд « СО ОР я" 1 пз 1 соя 2вх р ~ — 1 мп нх~ ) — ~~! — — ~~! яз 1+пе ° 2 1+па 2 1+пи «! расходится при О < д — Р ( 1: Действительно, первый ряд справа, в силу теоремы 4, п.1.5, ! ! расходится к +со, поскольку —,, —,„при в оо, а второй ряд справа при О < д-Р » (1, по признаку Дирихле, сходится, ибо « Ой мп их созга + 1)х 1 соз2йз = ( мах ~ ма х~ ««1 Р и — 40 при п- оо.

!ф ю Кроме того, посколысу !мвпх! (1, то ряд е" пз — (ми ах! ( ~~~ „е ! в силу теорем 1, 4, п.1.5, сходится, если д — р > 1 !! —,„, „—,, при в оо). Таким образом, исследуемый ряд сходится абсолютно только прп у — р > 1. Условная сходимость. Представляя данный ряд в виде Е= зших 1 ее з 1+и е и пользуясь признаком Абеля, находим, что при Π— Р > О ряд сходится. Действительио, в этом случае последовательность ( —,,) ! 1 при в оо, а ряд 2 ' —... в силу признака !«! Дирихле, сходится. Следовательно, при О < у — р ( 1 исследуемый ряд сходится условно.

В « 100. ~ ~— х,у>О, и+ у" ' «! ч Пусть О » (у ( 1. Тогда ряд, по признаку Коши, сходится при !х( < 1. Действительио, Ьп = (х! Ьп = (х) < 1. 1*!" ! 1! в+у«оо фй+у'! Если О ( у ( 1 и х ) 1, то + „) — *, > +,. Следовательно, в силу теоремы 1, п.1.5, даииый ряд расходится, ибо расходится гармонический ряд. Если О ( у (1 и х < -1, то общий член ряда к нулю ие стремится, так как йш -хз-„- = «ея" +со. Если О » (у » (1, х = -1, то получим ряд лейбницева типа: «! ПУсть у > 1.

Тогда ряд Гл. 1. Ряды в силу признака Коши, абсолютно сходится, если (х( < у. При х = жу общий чиек исследуемого ряда к нулю ие стремится, так как йп! -"-„- = 1. ' +г" Итак, если 0 < у < 1 н !х) < 1 илн ф < у и у > 1, то ряд сходится абсолютно. Если же х = -1 и 0 < у < 1, то данный рад сходится лишь условно. М 101, ~ "('+*',х>0, вг =! М Рассмотрим три случая: а) 0 < х < 1; б) х = 1; в) х > 1. В случае а) имеем 1п(1+ х") х" прн п со. Тах как ряд ~ — „, согласно признаку Коши, сходится прн !=! любом у, то, в силу теоремы 3, п.1.5, прн такик же условиях сходится н исследуемый ряд. В случае б) получаем ряд 2 — '„, который прн у > 1 сходится по п.1.4.

мэ !,=! Наконец, в случае в) имеем 11 1 1п(1+ к") = и!пх+1п 11+ — ( п1пх+ —, и оо. *-( х" » ! ! Поскольку ряды 2 — „"„, и 2 — „„сходятса прн у > 2, то данный ряд, по теореме 3, ! ,!=!" п.1.5 также сходится при у > 2. и т-» а 102. Доказать, что если ряд Дирихле ~ ~— сходится при х = ха, то этот ряд сходится и » ! также при х > хо- ц К ряду » ! Š— =Š—. а» ч а 1 »=! »=! ! применим признак Абеля. Здесь ряд г — „,", сходится по условию, ( — „„) — монотонная н ! ограниченная единицей последовательность !гх > хе.

Следовательно, по признаху Абеля, ряд сходится также прн х > хо. В 103. Доказать, что для равномерной сходимостн ка множестве Х последовательности (! ), ~»: Х -! Н(С), и б Р(, к предельной функции 1': Х Н(С)! необходимо и достаточно, чтобы йп! вар г (х) = О, .,х где г»(х) = У(х) — У»(х)) ц Необходимость. Пусть у»(х) =1 1"(х) ка Х, я оо. По онределенню 2, п.4.1, это означает, что ге > 0 ЗФ = Н(е) такое, что Уп > Ф л 1Ух б Х выполняется неравенство (У (х) — у(х)) < е. Отсюда следует, что вар г„(х) < е. К Досшаточность.

Пусть Ьп ~заре„(х) = О. Тогда по определению предела числовой К ПОСЛЕдОВатЕЛЬКОСтн 'ГЕ > 0 ВУ ж АГ(Е) таКОЕ, ЧтО !!!П > Л будЕт Зар Г„(Х) < Е. НО ПОСКОЛЬКУ х г„(х) ~ (заре (х), то г (х) < е !!!х б Х. Посаедкее, по определекню 2, п.4.1, означает, что х у (х) ш у(х) на Х при и со. и Исследовать иа равномерную сходнмость следующие функции: 104. У„(х)=х"-х»ег,О<я~1.

34. Функциональные последозительиостп и рлдм ч Очевидно, у(х) = Поп ~„(х) ю 0 при 0 < х < 1. Поскольку аа р [~.(х)- ~(х)[= — 1+-, й а<а<! и+1 т и) )и+! т и) ) с а и+! то по критерию, доказанному в примере 103, у (х) =4 О. > 105, Уа(х) = х" — х'*', О «* 1.

и Имеем Дх) = йш 1'„(х) = О, х Е [О, 1). Функция !' достигает абсолютного максимума а во внутренней точке сегмента: ха — — -~у, ха Е]0, 1[. Таким образом, имеем 1 зор га(х) = у (х ) = —, Бт зар г (х) = — ра О / зе!о, П " " 4' ~-аа ~ае!о, о! 4 Отсюда следует, что последовательность (!а(х)) стремнтсл к нулю неравномерно. и 106.

~„(х) = "*, О <, <1, 1+ и+с' ч Нетрудно видеть, что !'(х) ю йю — = х и сираведлива оценка зар [ — — х~ ( 14 аз ~г,,— е!0,1! —. Поэтому аа!' йт ( зор [у (х) — у(х)[ = О, Д(х) =1 х, и 'т е!а,а! 107. 1.(х) = )/хэ+ — '„-сю « * +со. ч Прн о оо Уа(х) [х[ на интервале ) — сю, +со[, причем 1 1 ! зар 1 хэ + — — [х[ = з«р „э зе1-, а [ аа)-м, аю! l=~ пэ [ )гхэ+ --г+ [х[~ поэтому !' (х) ~ [х[ на всей числовой прямой. И 108.

1„(х) = и ~/ х + — †,ух , О < х < +ос. Г 1 п М Очевидно 1 1 у(х) = Бгл = —, О < х <+со. ~~~ ! 2.ух' Поскольку 1 1 1 — зкр = +оа, -[ г:*) У то, по утверждению примера 103, последовательность сходится неравномерно. з 109. а) !"„(х) = ""*, -оо < х <+оо; и б) уз(х) = мл —, — со ( х < +ею. и л Имеем: а) т(х) = бтп '— '""* = 0; аа и б) Х(х) йэп юп -' ж О, Гл.

1. Ряды Поскольку в случае а) 1 зпр 1„(х) ж — ~ О при в -~ оо, „« е„в а в случае б) зар ]мп — [ ж1 „<э<а, в (достигается прн х = — (21 + 1), Ь Е Е), то, в силу примера 103, заключаем, что в случае а) 1 (х) ~ О, а в случае б) последовательность сходится неравномерно. и 110. а) 1(х) = агстб вх, 0 < х < +со; б) 1(х) = х агс!б вх, О < х < +со. Ч а) Имеем 1(х) = йш агсгб вх = —.

Посколысу зпр ~- — агсгдвх[= йш [ — — асс!бил~= —, о« е !2 ! -" Фз)2 ! 2' то последовательность, согласно примеру 103, сходится неравномерно. б) Здесь 1(х) = —, г (х) = х (д — агстбвх). Используя равенство д-жс1бих ж ыссб —, )' э э' х > 0 н неравенство ыссд и < а, п > О, имеем оценку ~( /я 1! ! 1! 1 1 х ( — — асс!О вх) [ ж [х агс13 — ~ < х — ж — -~ О, в сю, ~2 «*[ вх в независимо от х е]О, +со[. следовательно, по определению 2, п.4.1 1 (х) =г —. и 111. 1„(х) = (1+ -): а) на конечном интервале ]а, 6[; б) на интервале ] — оо, +ос[. и В обоих случаях легко находим предельную функцию 1: х ~ е*. Далее, в случае а) представляем последовательность в виде 1„(х) = ехр (п1п (1+ — )) .