Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 6
Текст из файла (страница 6)
г ' сэ. (и+ (-1)э)э ' 2 / э хп „ / ~ э+! саэ — ж (-1) соэ т — — тп = (-1) оаэ —. и+1 и+1 ! а+1 Так как ряд 2 .. . по признаку Лейбница, сходится, а последовательностьв (соэ †,) э=э монотонна и ограничена, та исследуемый ряд, па признаку Абеля, также сходится. о '!'9. Доказать, что знакочередующийся ряд Ь! — Ьэ + Ьэ — Ь! + ... + (-1)" ! Ь„ + ..., Ь„ > О, Ь„р сходится, если — = 1 + — + о !!-! при о -~ со, где р > О. Ь„„о '1 ! в как следует иэ примера 35, при р > О последовательность (ь„) ) О при о > оэ поэтому, по признаку Лейбница, данный ряд сходится.
Р Исследовать на абсолютную сходпмость следующие ряды: эо. т ь( р!.",! ). э=э и Пусть р < О. Тогда общий член ряда к нулю не стремится и, следовательно, ряд расходится. Полагал, далее, р > 0 и пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, находим 1)«Э ( Цэ 1а 1+ — = — — — +о ~ — ! при и оо. Оп СО ~Ю Поскольку рлд 2,' (-„-э)-, согласно признаку Лейбница, сходится при р > О, а ряд ~ а„', где э=! »=! ао ж э„,„ + а ( †„„), по теореме 4, пд.б, сходитск при р > †, (при р < - ряд расходится к ! ! +ос), то данный ряд сходится толька при р > —. ! В силу неравенства Гл.
1. Ряды зг М При р ( О общий член ряда не стремитса к нулю, т.е. ряд расходится. Поэтому, считая, что р > О, и применяя формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, преобразовываем общий член ряда к виду (-1)" .,~ (-1) '1 " . =(-)-.— ~1+ — ) ~= (и + (-1)«)э 1, и ) 00 Х при о оо. Ряды ~ (-„-ь)-, ~ (-Аг. + о ( —,~т)) сходятся при р > О (первый — в силу «2 ««2 признака Лейбница, а второй — по теореме 4, п.1.5). Поэтому исходный ряд сходится при этом же условии. Поскольку, далее, 1 1 1 ( < и = 2, оо, (п+1)«(к+(-1)«)«(п — 1) ' и ряд ~ —, сходится при р > 1, то, в силу последнего неравенства и теоремы 1, пд.5, данный 1 ряд сходится абсолютно при р > 1.
Следовательно, при О < р ( 1 исследуемый ряд сходится условно. й «« 82. Е " =' пэ+ зщ —" ««1 ! Ч Очевидно, при р < О ряд расходится, поскольку при этом не выполняется необходимое условие сходимосги. При р > О, как и в предыдущем примере, представим общий член ряда в виде 1 зщ — !!и +мл — ) = и зщ — 1+— 4 1 4) 4 ~ пг 2 «« ял / 21л — /1 ! ! з1л 3!и / '(п«Ц= .: .2. !ив Ряд ) ††,2- сходится, цо признаку Дирихле, при р > О, поскольку «1 Е Й» 1 1 зш ( .
«, ! О, «оо. 4 нп-' ог 1«1 э ь Далее, ряд ~ — „-тл- при р > О сходится также по признаку Дирихле, а рлд ««1 ( — +о ~ — )) сходится по теореме 4, п.1.5, тольхо при р > -. Поэтому полуразность згих рядов 1 ОО «1 1 Ю является сходящимся при р > — рядом (прк О < р ( 1 рлд ~ »»" расходится к +оо, поэтому 1 1 и последний ряд расходится к +со). следовательно, исходный рял сходнтхя лищь прн р > -. 33 3 2. Признаки сю«димости шгакоперемениых рядов области абсолютной сходимости воспользуемся оценками 2 Сжв С 1 соз 21п ]Яв ( 4 2 4 ( 4 ( ь» пР ' 2ИР 2пР пР пР пР Для установления ). % !.['% г ° и теоремами 1, 4, п.1.5. Из этих неравенств следует, что данный ряд сходится абсолютно ВИШЬ ПРИ Р > 1. ПО«ТОМУ при — ( Р ( 1 ряд сходится условно.
В 1 83. ~~ ~=1 и Очевидно, при р > 1 ряд сходится абсолютно. Для выяснения области сходимости рассмотрим рлд ])Р [ =1 (2) где А„ж — + — -[.... + — г —, полученный в результате группировки членов данного 1 1 1 [ «]» [ «41]» ''' (» +«»)»' ряда.
Поскольку О < А <, О при а со и р > —, а также «Р41 1 А„— А«41««~ .. — (а +4а+2) "— (а +4а+3) Р> ч ((а+1) +1)Р— (а«+4)Р 2.~ (а« + [)Р(а«+ 2а -[.141)Р > (2а + 1)((п« .[- 4п + 1)Р— (п« + 2а)Р) 1 1 >О (п« + 2п)Р(аз+ 4а+ 1)Р (и«+4п+ 2)Р (п« + 4а+ 3)Р при достаточно большом п, то, в силу признака Лейбница, рлд (2) сходится. Кроме того, А > 2 11 1 1 <, „„не стремится к О при р ~ (—; поэтому ряд (2) расходится, если р ( —.
следовательно, 1 согласно примеру бб, ряд (1) сходится лишь при р > —. Таким образом, область условной 2 ' сходимости рида (1) определяется неравенствами - ( р ( 1. В 1 84. ~~ п 1 и Ряд « С- 1.— ( [("-')+ ' "("))' 4=1 полученный в результате группировки членов данного ряда, в силу оценки (т-т — + ... + ]41 1 -т- > ':Ьт- = 1 — [3-2 1 — —, 5 оо, расходится. Следовательно, согласно примеру [ ] [ [ [4] 4' бб, исследуемый ряд также расходится. М 4« l «Р 1 3 5 ...
(2п — 1) 2-4 б ... (2а) и Рассмотрим отношение с 1. 3 5 ... (2п — 1) ] (1 ° 3 5 ... (2е — 1)(2п+ 1) 1 2 4 5...(2п) ! '( 2 4 б...(2а)(За+2) / = (1+ — ',)' =1+ — ", + Я = 1+ — "+ („-'), Отсюда видим, что, согласно примеру 79, рвд сходитсв, если р > О. Твк хак при р (ч О общий член ряда не стремится к нулю прм а -~ со, то зто условие (р > О) является необходимым для сходимостм,фгна, Гл. 1.
Ряды Далее, по признаку Гаусса, ряд сходится абсолютно лишь прк р > 2. Следовательно, прн значениях р, удовлетворшощих неравенству 0 < р < 2, данный ряд сходится только условно. Ь 1 1 1 1 1 1 86. — — — + — — — + — — — +.... 1э 2г Зэ 4г 5э бг З Сразу заметим, что если р < О илп 3 < О, то ряд расходится в силу необходимого признака. Поэтому далее, считаем, что р > 0 и 4 > О.
Имея в виду пример б5, сгруппируем члены данного ряда следующим образом: кэ,э,... Так как 4 У 1 = — — — + — + о ~ —, и -~ оо, ~ „), то, по теореме 4, п.1.5, сгруппироваиимй рзд сходится при р = 3 > О. Если же р ~ 4, то отсюда следует, что ряд сходится при р > 1 и 4 > 1 одновременно. А тогда, согласно упомянутому примеру, при этих же условиях сходится и данный ряд. Очевидно, абсолютно ряд сходится лишь при р > 1 и 4 > 1. М 1 1 1 1 1 87. 1+ — — — + — + — — — + " Зэ 2э 5э 7э 4э ч Рзд 1+ —, + — р+ —, + — „+ — р+ ..., составленный из абсолютных величии членов данного ркка, сходится лишь при р > 1, так ках при этом условии сходится ряд ~ —, и 1 э=1" члены абсолютно сходящегося рида можно переставить в любом порядке.
Прн р = 1 получаем ряд, сходимосп которого исследована в примере 70. Там мы уста- новили, что рзд сходится. Рассмотрим случай, когда 0 < р < 1. Образуем подпоследовательность частичных сумм данного рида (оэ ), где 1 1 1 1 1 1 1 1 2э 3э 4э ' ' ' (2п -1)э (2а)э (2п + 1)э (2п+ 3)э (4и — 1)э 1 1 1 (2п+1)э (2з+3)з (4и — 1)г' (Сэ„) — подпоследовательиость последовательности частичных сумм сходящегося ряда с и"-1 ' — 'у —. Поскольку 1 1 1 1 и (2п + 1)" (2п + 3)э (4н — 1)э (4в — 1)э 1 1 1 Бш оз = )пп Сэп+ йш + +, „+ — =+оо. 1(Ъ~~) (2 ~ ) '" (4 -1) у Следовательно, данный ряд прп 0 < р < 1 расходится. Заметив, что расходимость его при р < 0 следует нэ пеобищимого услоюш, окончательно устанавливаем, что исследуемый ряд абсолютно сходится, если р > 1, и условно, если р = 1.
1ь 1 1 1 1 1 1 1 1 '+3 1э+бэ+7 3 +Оэ+11э 5 """ м Очевидно, прн р > 1 данный ряд сходится абсоюотио, кбо при этом условии сходится рзщ у „г °, и члепм абсолютно сходящегося ряда можно переставить в любоэг поршаке. з $2. Признаки сходнмости щгакопеременнзхх рядов Пусть 0 < р < 1. Рассмотрим подпоследовательносгь (Яэ») последовательности частич- ных сумм данного ряда.
Имеем 1 1 1 (2в+1)э (2н+3)э (4н — 1)э Поскольку 5з» > (— , ~ оо при и со, то данный ряд расходится. Пусть р = 1. Тогда 0 < Яз» < — и, по теореме о монотонной ограниченной последова- 1 тельности, Вш Яз» конечен. Следовательно, сходится ряд А тах как все условия примера 65 здесь выполнены, то данный рэд также сходится. Учитывая еще, что прн р < О исследуемый рвд расходится, окончательно устанавливаем, что он сходится абсолютно при р > 1, а при р ю 1 — условно. В 2 1 1 2 1 1 2 1 — — + — + — — — + — + — — — + 2э 2» 4» 5э бг 7» 8э м Рассмотрим ряд (2) » гнст, полученный из данного в результате группировки его членов по три.
Считая, что р > 0 и 4 > О, имеем Отсюда, в силу признаков сравнения, п.1.5, следует, что при р = 4 ряд (2) сходится. Пусть р ф 6. Тогда а —.„-Г; —,1 при н со, и, следовательно, по признакам сравнения, ряд (2) 1 расходится, если шш(р, 4) ~< 1. Так как все условия примера 65 здесь выполнены, то выводы, относящиеся к ряду (2), остаются в силе для рида (1). Замечая еще, что ири р < 0 или 4 < 0 исследуемый ряд (1) расходится (общий член ряда не стремится к нулю), а при р > 1 и 4 > 1 он сходится абсолютно, закюочаем, что при 0 < р = у < 1 ряд сходится условно.
в М Для удобства представим общий член ряда в виде с пЛ „, (и — ш — 1)(п — щ — 2) ... (1 — щ)т ~ =(-Ц»-6„, 6»- в) н! Очевидно, при ш б эе ряд сходится абсолютно. Поэтому, исключая этот случай, можно образовать отношение 6» го+1 щ — =1+ — + 6 ээ и п(н — ез)' Так как начиная с некоторого номера пз, последовательность (6 ) имеет определенный знак, то будем считатг» что 6» > О, и > вз. В таком случае из отношения (1), учитывая пример 79, находим, что ряд сходится, если щ+ 1 > О.
Поскольку при из+ 1 < О последовательность монотонно возрастает, то условие го + 1 > 0 является также и необходимым для сходимости р*да. Далее, по признаку Гаусса, из (1) следует, что ряд сходится абсолютно, если оз > О, а при г» < 0 — расищитсэ (абсолютно). Таким образом, все сказанное позволяет сделать вывод, что при т > О ряд сходится абсолютно, а если -1 < щ < О, то ряд сходится условно.
В Зб Гл. 1. Ряды 1 1»+ 1 Э1. Доказать, что сумма ряда 7 — ' — длл каждого р > 0 лежит между — и 1 . с вг 2 1 Ч Поскольку рвд, в силу признака Лейбница, сходится, то подпоследовательности ча- стичных сумм его имеют один и тот же предел 5; причем подпоследовательность (Язп), возрастает, а подпоследовательность (Яэ 1), --= -(--->- -~~ г) )' 2» Зп! (, (2в — 2)э (2и — Цэ убывает. Следовательно, Яэ < Я < 51„1, ОтКуда находии, Что 5 < 51 < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
