Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (Антидемидович), страница 5

Теорема 1. Иэ абсолютной сходиности ряда следусэя его сходимость. Теорема 2. Если ряд сходится абсолютно к сумме Я, то члены ряда можно переставлять в любом порядке и сумма псрсстаеленного ряда также будет равна Я. Теорема 8 (Рнмана). Если ряд сходится условно, то путем соотвсэлствующей перестановки его членов можно получипэь ряд с наперед эадакным значением суммы !при этом не исключается жоо). Гз.

1. Ряды 26 2.2. Признак Лейбница. Если о» = ( — 1)»Ь», Ь~ > О, и посведоватепьнасть (Ь»), начиная с некоторага номера вз, монотонно стремится к нулю, та ряд 2 а» сходится. » 1 Дпя остатка такога ряда справедзива оценка; Я» ж (-1) В Ь»11, О < В«< 1, П > «З 2.3. Признак Абеля. Ряд ««1 сходится, если сходится ряд ~ о» и паспедоватепьнасть (Ь») есть монотонная и ограничен- ««1 нэя. 2А. Признак Дврвхле. Ряд (1) сходится, еспк посзедоватезьность (Ь»), начиная с некоторого номера пз, монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда 2,' о» ограничена, «=1 2.0.

Ассоциативное свойство ряда. Члены сходящегося р!ща можно группировать произвазьно; при этом сумма ряда не изменяется. 65. Доказать, что ряд ~ ~о» является сходящимся, если выпазнены условия: а) общий ! «! «з чзен этого ряда о» 0 при «оо; б) ряд ~ А», полученный в результате группировки »»1 членов данного ряда без нарушения их порядка, сходится; в) число слагаемых о„входящих р +1-1 В ЧЛЕН Ар з» ~ а„1 =у! < рэ < ..., ОГраНИЧЕНО.

зз М ПУсть (Я„"а) — посзедаватезьность частичных сУмм РЯда 2, А». Тогда » 1 5 з = о! +аз + ... + зрз-! + зрз +орз.!1 + ... + Йрз-1 + ... + +ар„+ар„«1+ ... +оз+ззег+ +ор„+,-! = =Я»+оае!+ ... +ор„е, 1, р»мЬ<р.!! — 1, где (Яз) — посзедоватезьность частичных сумм ряда ~„ з . ««1 Паскозьку о» - 0 и число членовпосзедоватезьнасти (озе!+аз+э+. +ор +,-!) = (Сз), па условию, ограничена, та Сз 0 при Ь оо.

Следовательно, Нзп Я«з = Изз Я«, что и « -Ю » требовазась доказать. и 66. Доказать, чта ряд О1+ОЭ+ ... +Ор,-1 — Ор, —" — Орз-!+Зрз+ сходится изи расходится одновременна с рядом з« 1ГР ез-1 ~(-1)«! ~ ез, зз>0; 1=Р1 <уз< в 1 з ! Ь 2. Признаки сходимости зиаконеремеииых рядов 27 и Пусть сходится первый ряд. Тогда сходится любая подноследовательность его частичных сумм, в том числе и такая: (-1) ~! а, т.е, последовательность частичных сумм второго ряда, Следовательно, второй ряд также сходится. р.« -1 Пусть теперь сходится второй рлд. Тогда Я а; О лри» со.

Это означает, что, в силу положительности а„сумма а»21+ ... + ар„+, 1 (см. предыдущий пример) также стремится к нулю и йш 5» ш йш 5», »- ! ф1) + фэ) + + 5! 41) П 1 ! 1 (-1)" г / ( — 1)"«') о» =1 — -+---+" + — =- !в 2 4 8 2" 3 (, 2"« / Р 1 1 ( ) ', 4 Р 1 ( 1)»4! ой =г --+---+ ... + — у! =-~--- 8 "' г" у( з), г г"+' )' получаем 2 4 ! 1 1 (-1) 5 =-+- --+ — — + з з(, г 4 ' г.-»,) ' ):И:.".. ' ! -!!)-4"" 3 2"+' 3 2"+' 2" ряд сходится) и равен э.

В 2 Следовательно, йш 5» существует (т.е. »» 1 1 1 1 1 69. 1 — -+- — — + — — — +.... 2 3 4 8 6 т.е. сходится первый ряд. и 67. Доказать, что сумма сходящегося ряда не изменится, если члены этого ряда переставить так, что ни один из них не удаляется от своего прежнего положения больше чем на 1» мест, где т — некоторое заранее заданное число, и Пусть 5 — сумма ряда г,' а . Тогда эе > 0 з17 такое, что р» > 11) для последова- » 1 тельности частичных сумм (5„) этого ряда выполняются неравенства 5 — е < 5„< 5+ а. В силу условия примера, нри н > Х+ ш можем написать 5 — с < 5„' < 5+ е, где (5„') — последовательность частичных сумм ряда, полученного в результате указанной перестановки. Следовательно, Бш 5,',ш 5, и Доказать сходимость следующих рядов н найти их суммы: 68,1 — — + — — — +....

2 4 8 М Общий членряда о„ж(-1)"Ь, и Е Б», !)овбе Ь = "~'. Так как Ь, начиная снекоторого номера, монотонно стремится к нулю, то, согласна признаку Лейбница, ряд сходится. Доказать сходимость этого ряда можно и непосредственно. Замечая, что носледовательность (5„) частичных сумм этого ряда представляется в виде Гл. 1. Ряды 28 1 !1 1 и ПосколькУ общий член РЯда имеет вид вв ж „вЂ”, в б Я, а послеловательносгь (-„) монотонно стремится к нулю, то, по признаку Лейбница, рлд сходится. Найдем 51 . Имеем 1 1 1 1 1 1 1 1' 1 11 5,« =1--+-- ...

+ — — — =1+-+-+ ... + — — ~1+-+...+-~~ = 2 3 2п — 1 2п 2 3 2« 1 2 пУ =С+)в2п+зз -(С+!лп+ев) =!п2+ззв — ев, где С вЂ” постоянная Эйлера, а ев 0 прн в -» со. Учитывал еще, что Бт 5« ж йт 51« где (5«) — последовательность частичных сумм в данного рида, окончательно получаем 1 1 1 1 — -+---+...=! г,п 2 3 4 «+1 70. Знал, что ) = !в 2, доказать слелующее утверждение: если члены ряда в«1 1 1 1 1 1 — — + — — — + — — ... переставить так,чтобы группу р последовательных положительных члегтов спзенйла труппа 4 последовательных отрицательных членов, то сумма нового ряда будет равна 1в 2 + -)в —, 1 р 2 т' щ В результате указанной перестановки получим ряд 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ — + — +...+ — — - — - †...— — + — + — +...+ — —..., 3 3 2р — 1 2 4 24 2р+1 2р+3 4р — 1 сумма которого, в силу примера 66, равна сумме ряда 1+3+3+" +2 1 — 2+4+ "+2 + ( + — + — + ..+ — †...

(1) 12р+! гр+ 3 " ' 4р -11 в случае сходпмости последнего. Рассмотрим ряд Е 1 1 1 + +...+— 2(в — 1)р + 1 2(в — 1)р+ 3 ' ' ' 2«р — 1 в 1 1 1 — (г) 2(в — 1)4 + 2 2(в — 1)д + 4 2пу » ' Рлд (2) получается из рада (1) в результате группировки членов ряда (1) по два. Поэтому если мы покажем, что ряд (2) сходихся, н найдем его сумму, та, на основании результата, полученного в примере 63, можем утверждать, что ряд (1) имеет ту же сумму.

Пусть р > 4. Тогда нетрудно получить, что 1 1 1 1 1 1 1 5.ж1 — -+ +...+ + + — +...+ —, (3) 2 3 4 2пт 2п4+1 2пт+3 2«р — 1' где (5«) — последовательность частичных сумм ряда (2). Прибавляя и вычитая в выражении (3) слагаемое 1 1/ 1 1 1\ — + — +...+ — = — — + — +...+— 2вт+2 2ву+4 2ву 2 ~от+1 от+2 '' ~Р! и пользуясь асимптотической формулой 1 1 1 »в + + ... + — -1в — +е»вв ев»в-«0, т-»со, пг+1 гп+2 '" и в 3 2. Признаки сходвмоств зваиопеременвмк рядов 29 из (3) получаем ж Сз««+(В !21 + Е, Е«! О, П аа, 2 ар 1 пр 2п9 2 пе (4) где (сз«р) — четнал подноследовательность частичных сумм сходящегося ряда /,'(-~— Таким образом, из (4) находим В = Вщ 5. =1 г+ — ( —.

1 р «!« 2 9 Заметим, чта при р ( 9 аналогичным образом получается зтот же результат, В частности, еслир=2 и 9=1,та 1 1 1 1 1 3 1+ — — — + — + — — — +... =-1в2; 3 2 5 7 4 2 если р=1,9=2, то 1 1 1 1 1 1 1 — — — — + — — — — -+ ... = — 1л2. Ь 2 4 3 6 8 2 ц«+1 ! 1. Члены сходящегося ряда ~ переставить так, чтобы ои стал расходящимся. 1 < Рассмотрим, например, ряд с /1 1+ — + — — — ) +1 — + — + — — — ~+ /3 !/5 !/2) 1, т/7 т/9 !/П1 з/4) 1 1 + .+ + + — — +.. з/бп — 5 т/бо — 3 !/бп — 1 !/2п/ + + 1 1 1 (,гс: ! %: 5,«Г-Х П7 ! ~'щ-" =(-Ч ~---- — "'.~ -' а 1 ( 3 Очевидно, «тат ряд получается из данного ряда в результате такой перестановки; за тремя положительными членами следует адин отрицательный.

Покажем, что ряд расходится. В силу неравенства -з. з + -«„т, — -г > д у — -я«> О, имеем оценку общего члена ! 1 1 2 1 1 « второго ряха: а« > д ~. Поскольку ряд 2 ~1 па теореме 4, п.1.5, расходится, та по 1 1 теореме 1, п.1,5, ряд ~ а„также расходится, чта и требовалось. Заметим, чта исходный =1 ряд сходится по признаку Лейбница. и Исследовать сходимость знакоперемениых радов: 1 1 1 1 1 1 1 1 72. 1+ — +- — — — — +-+ + 2 3 4 5 6 7 8 9 и Поскольку сгруппированный ряд, согласно признаку Лейбница, сходится, то, на основании доказательства, приведенного в примере 65, приходим к выводу, что данный ряд также сходится. П 1 що„ 'ТЗ.

~ ~— з(л —. и 4 «=1 ° Поскольку Гл. 1. Ряды а последовательность (в ' 1в~ю в), начинал с достаточна большого в, монотонно стремится к нулю (это вытекает из того, что Ыш х"'1пгвох=100 Бш х )п х=О, (х 11в х) <Отх>е' ), ф « Ф то, согласно признаку Дирихле, данный ряд сходится. П Ю 2 74. ~ (-1)»'ш ". в » 1 м Ряды 2 '-"-'- и 2 ~~-„-' — "- схоДятся: первый — по признаку Лейбница, второй (в / силу ограниченности последовательности ( 2,'(-1)" сов26 1 1 ( — 1) сов26 = --+ — '-сов(2в+ 1) < 1 ( 1)» 1 + (сов 1) 2 2 сов 1 2 1«1 и монотонного стремления — к нулю при в оа) — по признаку Дирихле. Следовательно, 1 » их полуразность — — (1 — сов 2«) = ~~ (-1)»вЂ” 1 (-1)» »нп в 2 в в »1 »»1 является также сходящимся рядам. и 75, 'ь ь1»+ ( 1)» м Представляя общий член ряда в виде (-1)» „'/в — (-1)" „чГв 1 = (-1)» = (-1)» — —— ь1в + (-1)» в — 1 в — 1 в — 1 и замечал, что рлд ~ (:„-).1~"-, по признаку Лейбница, сходится, а ряд ~ †' расходится «2 (к +оо), заключаем, что данный рлд также расходится (к +со).

Ь « 76, ~~ в1в(т~/и~+ 62). »»1 ч Поскольку вп1 (т~Д2 + 62) ( 1)»21вт (~Д2 + 62 — в) = ( 1) „12 где 6» = вш — последовательность, монотонно (при в > вв) стремящаяся к нулю при в ао, то, по признаку Лейбница, ряд сходится. Ь 77. ~ (-')' в «=1 и Рассмотрим ряд, полученный в результате грунпиравки членов данного ряда. имеем -(1+,-'+-,')+(-,'+...+-,')-(,"+ —,',+" +Д)+". +( 1) )йз+ 2 + "+ )+ а/1 1 й' + 1 ' " (й + 1)2 - 1 Ь 2. Признаки сходвмоств зваконеремеввых рядов 31 Поскольку 1 1 1 21+1 Аа ж — + — + ... + < — ~0,0 оо, (Ь+ Цэ 1 Ьэ 1 1 1 (Ьэ+ )((Ь+1) + ) Ь +4Ь+2 Ь +41+3 (2Ь+ 1) > (Ьэ+гй)(йэ+4Ь+1) 1 1 1!+41+2 Ьэ+4Ь+3 >О при Ь 2 Ьа, то ряд 2,' ( — 1) А», согласно признаку Лейбница, сходится.

А тогда на основании выводов, паяучеННЫх в примере бб, данный ряд также сходится. и 'тв. ~" —",,"" . э=з и Имеем — <1 1+ — ) < —, р>О, и теорем 1, 4, п.1.5, данный ряд сходится абсолютно цри р > 1. Следовательно, при значениях р, удовлетворяющих неравенству - < р < 1, исследуемый ряд сходится условно. И ! э!.