Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (Антидемидович), страница 7

Для доказатель- ства оценки снизу рассмотрим подпоследовательность (51 1). поскольку график функции 1 з пп —,, р > О, з > О, является выпуклым вниз, то выполняютск неравенства 1 1 2 1 1 2 1 г — + — > —, — + — ) —,..., + > Зп 5» 4»' 71' 9» бэ' ' (4в — Цэ (4в+ Цэ (4п)п Отсюда для 51„1 имеем оценку 1 1 1 1 51„1--1 — — + — — — + ...

+ 2» Зэ 4» (4и — Цэ 1 1 (4п)п (4п+ цп 1 1 1 1 ! >1 — — + — — ...— + — = 1 — — 52, 2э 4» (4п — 2)п (4и)" 2э* из которой предельным переходом получаем 1 . Я Лгп 51 1 = Я > ! — — Иш Яэ„= 1 — —. 2»»» 21' Итак, Я » —,, —, что и требовалось доказать. М эп 1 92. Сколько членов ряда следует взхггп чтобы получить его сумму с точностью до е = 10, если' цп+1» ") Е ~! 5) Е ~ 7 М а) Согласно оценке остатка, вытекающей из признака Лейбница, нужное число 11' Находим из неравенства — и < 10 э, откуда 11' ) 10 (см. п.2.2). ,,«ю+ц~+~ б) В силу признака Дирихле, ряд сходится, а по п.2.5 сумма ряда равна сумме сгруппированного раца 1Ы»-1 ~ (-Ц+'5„, Ь„=(-Ц"+' ,г'й ' п»1 Ь 1ВО!и-1!41 который, очевидно, является рядом лейбницева типа, т,е.

сходюцимся по признаку Лейбница. Следовательно, длв остатка этого ряда справедлива оценка Ыап+11Э 1ВЭ +ЫЭ вЂ” < ' 7 ! й' « . . !о-', , ~~ ~, ~/К ,/ТЕО + 1 , „, , теУ + 1 эщ,— ,, уда !т' ) 1,52 . !О , М 93. докааать, что гармонический ряц останется расходявэимст, если, не переставляя его членов, изменить знаки их так, чтобы ва р положительными членами следовало бы т отрицательных членов (р 44 4). Сходимость будет иметь место лишь при р = 4.

1 2. Признали сходпмости зпаноперемеппых рядов 4 Указанный в условии ряд 1 1 1 1 1 1 1 1 1+-+-+ ... +- — — — — -" — — + — +" + 2 3 р Р+1 Р+2 Р+д Р+д+1 2Р+д в силу примера бб, сходится или расходитсв одновременно с рядом 1+2+" +- — — + — 2+" + — + 1+ "+2— (1) Пусть Р > д, Поскольку справедливы оценки 1'1 / 1+ — + + — ) — ) — + + — /а >1 =(Р д) 2 Р/ а Р+1 р+д/) Р Р 1 1 оа = 5г + + ... + +...+ — > Р+д+1 "' гр+да,гр+д+1 "' гр+гд/ Р д а/1 1 > от+ — — >(Р— д) [ — + гр+д гр+д 1Р 2Р+ /' ('1 1 бт >(р — д)(-+ + ...+ =в„>0 а Р 2Р+д ир+(и — 1)д/ и йш х и+оо, то ряд (1) расходится.

и и Пусть Р < д. Тогда, оценивая частичные суммы рада следующим образом: д д Р д Р д д-Р/ оа <Р, ов <Р— —, оз <Р-, оа <Р- —— за <у- (1+-), ... и+д' Р+д' Р+д г(Р+д)' Р+д ( г) ' "' др/ 1 1 1 д д — Р/ 1 11 ..., 8,. < Р- — (1+ -+ ... + бвота <Р- — (1+ — + .. + -)), Р+ д (. 2 и — 1а) и(Р+ д)' Р+д (. 2 иа) ' находим, что йш Ятиьа = -оо, т.е, ряд (1) расходится.

со Наконец, пусть Р = д. Тогда ряд (1) есть ряд лейбницева типа, следовательно, он сходится. М Упражнения для самостояхельиой рабохы Исследовать сходимость следующих рядов 31. ~, ( — 1;, †"-"- ип (=). 32. 2,' е и — 1~ д". ЗЗ. 2,вш и1в (1 + " ~,'~;""), и 2 / а 34. / ' ехр( — ".") — ', ". Зб. 2 ' ысабиаб (вш " мп (и+ — ). а В =1 Оа «а а 36. / агсвш — „сов т ( — 1)", ЗТ. /' —,+ — ~"-. 36. 2';„„"-мв(я~~сиз+ив). 1 и т 1 '1 О / в "а'+ и(т-) 39. ~ (2агсаб-(т-)-"-) "— 1 . 40.

~ и "~ )авсов~2и, р Е М. 41. ~ — ~ь~ь а » а =! 42. ~( — 1)" (7а + — Р) + ... + ). 43. ~ (-1)" ) дшутха)х. ааа и а 1 и 44 2 ) (1 — вв)и бв ыви. 46, 2, ) 'а* бз. и ае «а е Г.1.Р д 38 «» 44. ~ а»,где а» есть решение задачи ! (и+ 2)а»та+ 2(п+1)а»ьг+ па» = О, а! = -1, аз = —, ! Исследовать.сходимость матричных рядов ~ А», если: ! ««!» ! жп1 — соз1 " " «!»» см» » ~ 3. Действия над рядами 3.1.

Сяожеиие рядов. Есяи ряды СЮ «Ю а» и ~~«6», а» 6»бС, » ! »»! сходатся в Е, то справедливы равенства С» » »» 'у (ла»+дь„) = л~а„+и~ ь„, »! »! »! где Л, и — произвояьные действительные ики комплексные числа. с =а«6 +а!6„«+ ...+а Ь!. Вообще говоря, ) с ~ ) а ~ 6 . Однако, если один из рядов сходится, а второй сходится » ! !» ! абсояготно, то всегда » » с = ) а~): 6».

»»! »»! Эта формула справедлива Найти суммы рядов: ы 3» я4 ~ — з ! н Поскояьку и в том случае, когда все три ряда сходятся. 2пя . апт ! -г, если »~ЗЙ, йб1т, соз — = 1-2аа — = ~ з' 3 3 ( 1, если »=36, и ряды ~ » ! ш 3 — — „сходятся, то, иа основании утверждения п.3.1, имеем ! ! » 1 1/1 11 1 1/1 1Ъ 1 1/1 1Л 1 — — + — + — — — — + — + — — — — + — + — — .. 2 (,2 2з/ 2з 2 Л2! 2»/ 2» 2 'т2« 2»/ 2» »»! 2~г2з» 2Л «2» 7 » ! 3.2. Правкдо Коша. Под произведением двух рядов (1), где а», 6 — числа, понимается третий ряд, общий член которого имеет вид 39 3 3. Действия над рядами 95. ') к(э)у~ 1 1, )яу) (1. л«0 О» М В сиду сходимости ряда 2 (ку)", иа основании утверждения п.3.1, имеем Е''' *"'у' ' ' =1+у+яр+яр'+к'у'+к'у'+" = о =~,(эу)" +у~( у)" =(1+у)~~ (эу)" = 1,„> «О » О «О 98. Показать, что 1 ( — 1)и и«О л 0 < Ряд 2 †, сходится, поэтому, согласно п.3.2, имеем 1 п 1 1 ««1 л Э где с - ~ аь6 ОО1 - (-1) эл (6 ).( 6)..

Оэ —,, 4 = —,. ПосколькУ 2 э»~ ~ —; = —,(1 — 1)л = О, и Е )О, то ь о с«01 = (-1)и ~ = О, и Е )О, (-1)" 2 6.(»-6). = ' э о что и требовалось показать. О» (-1)"М 97. Показать, что квадрат сходящегося ряда 7 " является рядом расходящимся. 1/В «1 и Прежде всего заметим, что данный рэд сходится (усяовно) по признаку Лейбница. По правилу п.3.2, имеем п 1, 1 Э+Э п »Г-»»О ~;„»»! -Т+О' Посхояьку -л ': ==) -',вйй),6=1,п,то »»ггээ11«-0011 ' л' 1 и ~и, »»Ь-»»»!»" 0« Следовательно, ряд Я си, в силу необходимого признака, расходится.

М и 1 98. Проверить, что произведение двух расходщнихся рядов Гл. 1. Ряды есхь абсошотно сходящийся ряд. < Легко установить (хотя бы с помощью признака Коши), что зги ряды расходятся. По правилу перемножеиик радов имеем -1 сп =а!6»+6,а»+ ~! аь6 -ь+1, Ьпг где а!=1,аппп — (-),61=1,6п=(-) (2» + — ),н=2,3, Следовательно, и 1 ! 2 и 1 сп 00 (-) (2» '+ — ) — (-) — 4 3" ~ — ! — — ~ 2 = Н О г Тогда ОО 00 с» — - ц~О (-) = 4. > »1 Упражнения для самостоятельной работы Используя правило Коши, перемножить следующие ряды и найти суммы произведений: т 00 00 00 ОО 49. )'~— , ) „1,. 50.~ еп ) у".51.

Я~ ~ — „. 52.~ О»1 »1 »1 О»1 »=1 =1 Е(- )" (~)" Е,. „",.„, Е "Е ~ ! — 1 О ( 41)(»42) п»1 »1 55. Доказать следующие свойства матричной экспоненты: а)е е =е *!А ООА (*! 1*1)А, А — 1 -*А 5)(е ) =е где А — любая числовая квадратная матрица, яг, сг, с б )й. бб. Показать, что в общем случае АВ, А+В е с фе где А,  — квадратные матрицы. 57. Показать: а) (ел)' = ел, где А' — эрмитово сопряженная матрица; б) если А' = -А, то матрица ел — ортогональная; в) если А' = -А, то матрица ел — унитарная.

~4. Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов 4,1. Понятие равномерной скоднмости последовательностей рядов. Определение 1. Последовательность функций (у„), уп 1 Х ЩС), и Е р), называется сходящейся по!почечно к функции У! Х -О 66(С), если при каждом фиксированном яв Е Х числоваЯ последовательность (Уп(во)) сходитсл к числУ У(се), т.е. Уе А 0 3))( т )У(е, ко) такое, что ун > )у справедливо нераеенсп!во )У»(яе) — Х(яо)( < е.

ФУгшЦна У называетса пуедвланоб Дшх иосаеДовательиости (Уп). ,.' ' Ьпв»..1:. 4 4. Функциональные последовательности н ряды 41 Определение 2, Последовательность функций (гн), г'„! Х К(С), а б И, ногьюается равномерно сходящейся к функции у! Х К(С) на множесзпве Х, если Уе > О ау = 1у(е) такое, что Уп > 1У Л Ух б Х выполняется неравенство (~.(х)-лх)~ <.. В этом случае пишут У„(х) г 1(х) на Х. Определение 3. Функциональный ряд зь ~ ий(х) = и!(х) + из(х) + ... + ий(х) + .. й=1 где ий: Х! К(С), Х! Э Х, называется сходящимся поточечно но множестве Хк своей сумме Я(х), х б Х, если сходится поточечно последовательность его частичных сумм (Ян(х)), пз.е. Ыхо б Х д йп Я (хе) = 5(хе).

о Определение 4. Функциональный ряд(1) называется равномерно сходящимся к своей сумме Е(х) на множестве Х, если последовательность частичных сумм (Я (х)) этого ряда равномерно сходипзся на Х к Б(х). 4.2. Критерии Коши. Для равномерной сходнмосги ряда (1), пд.1, на множестве Х необходимо и достаточно, чтобы уг > О дзЫ = Лз(е) такое, что уп > Лз л ур б И Л ух б Х выполнялось неравенство ~Я йг(х) — Ян(х)~ < г. 4.3.