Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (Антидемидович)
Описание файла
Файл "Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s)" внутри архива находится в следующих папках: antidemidovich, Антидемидович. DJVU-файл из архива "Антидемидович", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ (вм-1)" в общих файлах.
Просмотр DJVU-файла онлайн
Распознанный текст из DJVU-файла
Глава 1. Ряды 01. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 82. Признаки сходимости знакопеременных рядов 83. Действия над рядами 84. Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов 85. Степенные ряды 58 86. Ряды Фурье 79 87.
Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 96 Глава 2. Дифференциальное исчисление функция векторного аргумента 91. Предел функции. Непрерывность 82. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента. 03. Неявные функции 94. Замена переменных 85. Формула Тейлора 86. Экстремум функции векторного аргумента Ответы 3 3 25 38 40 113 113 124 147 167 186 196 220 ИИЛя«<ко, А.КБоярчук, ЯГГай ГЛГоловач МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: РЯДЫ, ФУНКЦИИ ВЕКТОРНОГО АРГУМЕНТА Справочное пособие по высшей математике.
Т. 2 М.: Ел>порвал УРСС, 2003. — 224 с. <<Справочное пособие по высшей математике>> выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики— математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций комплексной переменной.
Том 2 по содержанию соответствует первой половине второго тома «Справочного пособия по математическому анализу» и включает в себя теорию рядов и дифференциальное исчисление функций векторного аргумента. Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физикоматематических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику.
Оглавление Глава 1 Ряды ~1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 1.1. Общие понятия и определения. Определение 1. Прешь а„— произвольныг злгмснты линейного пространство Е, в котором определено сходимостсэ и б Ы. Рядом элементов а„называют выражгнис аз + аз + ...
+ а„+ .. = ~ ~а„, а злгмснты а„— его члгнамо. В частноспзи, если а б !й или а„б С, пю ряд(1) называют числовым. Определение 2, Сумма и первых членов ряда (1) называгшся частичной суммой и часто обозначается через В„, гл.г. Б = аз+ аэ + ... + а . Определение 3. Если сущсствусгп конечный предел !ио В =В, ВбЕ, то ряд (1) сходится в Е, а элемент 5 называют суммой ряда.
Если !пп Вь = со или нг сущссгпвуст, пзо ряд (1) называют расходящимся. Определение 4. Ряд (2) а ь= эз называсшся и-м остатком рядо (1) или остатком после и-го члвна. Ряд (1) сходится или расходится вместе со своим остатком, поэтому часто нрн исследовании вопроса о сходнмости ряда вместо него рассматривают и-й остаток. Определение б.
Пусть аь б !й. Если а„> О, то ряд (1) называют положит сльным; если а„> О, п б И, шо ряд (1) называют строго положит гльным. 1.2. Необходимое Условие сходимости ряда. Для того чтобы ряд (1), п.!.1, сходился в Е, необходимо, чтобы йзп а„ж й, й б Е, и ю где й — нулевой элемент линейного пространства Е.
1.3. Критерий Коши. Дуста ь есть !й или С, для того чтобы ряд (1), и, 1.1, сходился в Е, необходимо и досках~ э» ч обы у > О Эпо такое, что уп > по ЛЗгр б р! выполнялось бы неравенство )В+, — Вп(ж! + + аз+ "+в+э)( Гл. 1. Рады 1.4. Обобщенный гармонкчесюй ркд. Определение. Числовой ряд 1 называется оБоБщенным гармоническим рядом, а яри р ы 1 — гармоническим, Он сходится при р > 1 и расходится при р ~ (1. 1.5. Признаки сравненбя чнсловых рядов. Теорема 1.
Если ряды (1), и. 1.1, и Пп1 положительны и ап ( Ьп гп > пе, то из сходимости ряда(1) настоящего пункта вытекает сходимосзпь ряда(1), п. 11, а иэ расходимости ряда(1), п. 11, вьзтекает расходимоспзь ряда (1). Теорема й. Если ряды ~ ап и ~Ьп строго положительны и Чп > пэ выполняются неравенства аэз ЬЕ1 — <— ап Ьп тв справедливы выводы предыдущей теоремы. Теорема Я. Если ряды ~ап и ~ Ьп строго положительны и ап Еш — = с, О < с < +со, Ьп то они сходятся или расходятся одновременно.
Теорема 4. Если при п -+ оо „=о*( — '), то при р > 1 ряд (1), и. 1.1, сходится, а при р ( 1 расходится. 1.6. Признаки дзАламбера н Колзн. Если ряд (1), п.1Л „строго положителен и Мш — = Е, оп+1 п-эп ап ао при Е < 1 этот ряд сходнтсв, а при Е > 1 расходится. При Е = +со ряд (1), п.1.1, также расходится, а если Е т 1, то вопрос о сходимостл ряда остаегсл открытым (признак д'АламБера е предельное форме). Если ряд (1), п.1.1, положителен и бш Г(а„ы Е, то относительно сходкмости ряда (1), п.1.1, делаем те же выводы, что и в признаке д'Аламбера (признак Коши е простебшей предельноб форме). Ыт.
Прнзнак Раабе. Если ряд (1), п.1.1, строго положителен и 1по и — — 1 =р, то прн р > 1 он сходится, а прн р < 1 расходится. Прн р = +оо ряд (1), п, 1,1, схопвтся, а если р 1, то для взгяскення вопроса о его сходнмостн нлк расходнмостк слезП1ет прнмеияэз другке прищеми.
з 1. Числовые ряды. Признаки сходимости зиакопостояпных рядов 5 Если функция у иеотрицательна при х > 0 и не возрастает, то ряд 2 г(п) сходится или =1 расходится одновременно с несобственным интегралом Доказать непосредственно сходимость следующих рядов и найти их суммы: 1. — + — +...+ 1 4 4 7 (Зп — 2)(зв + 1) я Покажем, что сходится последовательность частичных сумм (5„) этого ряда: 1 1 1 5„ж — + — + ... + 1 4 4 7 (Зо — 2)(зп+1) Для этого с помощью очевидных преобразований приведем 5 к виду Легко видеть, что последовательность (б») сходится, т.е.
сходится, по определению, данный числовой ряд. Сумма его Я = йщ 5 = йщ — (1 — ) = —. В З (, Зп + 1) З 2. а) дяла+ дэ ил2а+ ... +д" зщпа+ ...: б) дсоза+ да сов 2а+ ... + д" созна+ ...; (д( < 1. я Пусть (о„) и (е„) — последовательности частичных сумм рядов б) и а) соответственно, е и е — их суммы Тогда.
использовав формулу Эйлера е'т ж соз я+ ~ аж да можем написать я »+1 д 40 т 2 эя и„+дэ» = де' + д е ' + ... + д е' 1 — де'» Принимая во внимание условие )д( < 1, имеем )де' ( < 1; отсюда следует, что Б»+1 ц»з П») 0 (д е » А тогда иэ предыдущей формулы находим де'» ( соз а — д япа и + го = йщ (э + эе») = —, +э » 1-де' т 1 — 2дсоза+дэ 1 — 2дсоза+да Поэтому соз а — д и =д 1 — ' 2д оси а + дэ 3 ~~~,(»го+2 — зт/в+1+ т/в). дива з= 1 — 2д соз а + дэ » з 1.8. Привили )Гаусса. Если ряд (1), тв.'1.1, строго яеложителен и д р» яд+ — +,+,, я, дж сонет, о»+1 в в'+' где е > О, )В ( < с, то прн А > 1 рлд (1), п.1.1, сходится, а при 2 < 1 расходится. Если же 1 = 1, то ряд сходится при и > 1 и расходится при д < 1. 1.0.
Интегральный признак Коши — Маклорена. Гл. 1. Ряды и Непосредственно находим б = (ъ/3 — 21/2+ 1) + (!/4 — 2ъ'3+ ъ/2) + (Л вЂ” 21/4+ ъ'3) + ... + + (ъ/л — 22/и - 1 + ъ/и - 2) + (!/я + 1 — 22/»+ !/з- 1) + (ъ/н + 2 — 2 /и + 1 + 1/з) = 1 =1 — ъ/2+2/н+г — / +1=1 — ъ2+ ъ/о + 2+ ъ'» + 1 Следовательно, Я= Вш Я =1 — 1/2.М 4. Исследовать сходимость ряда ~ маля.
»1 и 1!усть х ~ )ст (1 — целое) и ряд сходится. Тогда должно выполняться необходимое условие сходнмости ряда: йш нп ох = О, х ф )ст. (1) » Отсюда следует, что йгп згл(»+1)х = О, или йш (нпзлсозх+созптыпх) = О. Принимая во внимание (1), из последнего соотношения находим, что (2) йш сов ох = О, х ф )ст. Из (1) и (2) получаем равенство )пп (соз»я+зги»2) = О, г .
г которое противоречит известной формуле зш о+ соз а = 1. Источник противоречия — фор- 2 г мула (1). Следовательно, если х ~ йт, то данный ряд расходится. Сходимость же ряда прн х = )гт (й — целое) очевидна, и сумма такого ряда равна нулю. > р„.р, -1 5. Доказать, что если ряд ~2 а сходится, то ряд ~ А, где А„= 2 а„рг = 1, »1 »1 »Р рг < рг < ..., полученный в результате группировки членов данного ряда без нарушения порядка следования их, также сходится и имеет ту же сумму. ч Нз сходимости ряда ~ а вытекает существование предела любой подпоследователь- »1 ности последовательности его частичных сумм, равного сумме ряда Я.
Возьмем эту подпоследовательность в виде а, = Брг, аг +аг + ... + ар, 1 = .5рг, з1 +з2+ ... +зр2 1+Яр!+ ... +Яр!-1 =Яр!, ... з1+о2+ ... +ЙР ! -1 =~Р 1. Тогда )гш Яр„— ш о' по условию. Но так как последовательность частичных сумм второго ряда А! +Аз + ... +А равна Вр„ю, то йш (Аг + Аз + ... + А») также равен б, что и требовалось доказать. Обратное утверждение неверно, так как из сходимости подпоследовательности еще не вы. текает сходимость самой последовательности. Возьмем пример. Пусть а» Р» (-1)"ш ряд 2 '( — 1)»+', очевидно, расходится, хотя, напримеР, Ряд Х (1 — 1), получаемый из предыду- »1 »=1 щего в результате группировки его членов по два, сходится. М 6. Показать» что если члены РЯДа ~ о» положительны и РЯД ~! А», пояученный в » 1 »' 1 результате группировки членов этого ряда, сходится,.то даниьгй ряи также сходится.
3 1. Числовые ряды. Признаки сходнмости знакопостолнных рядов 7 и Пусть (ра) — произвольнал подпоследовательность натуральных чисел; (Я ) и (Яр„)— частичные суммы первого и второго радов соответственно. Тогда, в силу положительности членов а„, будем иметь неравенства 51 < 5'„< Яр, для всех и, 1 < и (р,, Яр, < Я„< Ярэ для всех и, рг ~< и < рз, Яр, ( Я ( Ярам для всех и, ра < и ( рааь Переходя к пределу в последнем неравенстве, когда 1 со, и учитывая, что второй ряд сходится, получаем Бю Яр„ = 1ц» Я = йг» Яр„ , — — Я, и а- " - а- Исследовать сходимость рядов: 1 1 1 1 7.
1+ — + — + — + ... + — +.". 3 5 7 2» — 1 и Очевидна, последовательность частичных сумм данного ряда возрастает. Покажем, что оиа неограничена, С этой целью рассмотрим ее подпоследовательность (бз ). и Е И: 1 1 1 1 1 озэ=ог=1+, + +, ° ° ° бэ =1+ +. ° + 3 5 7' ' 3 2"4' — 1 В силу оценок 1 1 1 2 1 1+ †>1, †+ †> — =— 3 5 7 8 4 1 1 1 1 4 1 — + — + — + —.> — =-, 9 11 13 15 1б 4' 1 1 2"-' + — + + > 2" -Р 1 2" + 3 2"+' — 1 2"+' 4 имеем неравенство 1 1 1 1 1 + + з+'' + з ( 2" /Р + ! (2"+' — !)з/2"~' „- „+, — (зГ2)" Поэтому для последовательности частичных сумм рада (1) имеем оценку 1 1 1 1 1 1 1 оа= л+...+ з зг2 (2 + — 1) 2"+ зГ2 зГ2 (~2) (зГ2)" зГ2 зГ2 — 1 3) (5 7) (9 11 13 !5) 1 1 ') и — 1 > 1+ —.