Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (Антидемидович), страница 9

Здесь в > У, где Ф выбирается нз очевидного условия 1 + †,*, > О при х б]а, Ь[. Применяя к функции х ь !л [1 + -*), формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, пз (1) получаем эсэ ч 1 (х)=екр х — — "), ВЕРЬ. 2в)' Поскольку где М ж шах([а[,[Ь[), стремится к нулю при в — ~ оо независимо от х Е]а, Ь[, то по определе'- нию 2, п.4.1, 1„(х) =! е* на ]а, Ь[.

В случае б) получаем (цп ~е — (1+ -) ~ =+со, поэтому зкр г„(х) = +со. Таким образом, последовательность (1„(х)) на всем числовой <э<тээ прямой сходится неравномерно. П / 112. 1 (х) = в [ * — 1, 1 « * а. ° Легхо найти, что 1я(х) !пх на [1, а] прин оо. Далее, применяяформулу Тейлора, находим г г„(х) ж в(х — 1) — !ах~ = ~п(ей — 1) — !их ж Ф 1гэ х Ф г в 2вэ 1 2в 2в 14. Фумюциоиальпые иосиедпвательиости п ряды при и со, 0 < С„< — "'. Следовательио, у (х) =6 1в х ма [1, е].

В пз. 0<х<-, ".э' -<в<-, и и' э и' вэх, если уи(х) = вэ [й — з), если О, если па [О, 1]. М Поскольку у„(0) = О, то лш у„(0) = О. Далее, Ох б]0, 1] зУ 1Уи > Ф будет х > -„. и о Следовательно, у„(х) = 0 и 1пп уи(х) =бири хб [О, 1]. Такимобраэом, ~(х) = Бш 1»(х) = ОО 0 при х б [О, 1]. Поскольку звр ~„(х) = и (и достигается при х = -), то йш (злруи(х)) =+со, в силу *я!е, 11 ОО чего последовательность сходится меравиомермо.

В 114. Пусть 1 — произвольная функция, определеппал па отрезке [е, 6] и уи(х) ш —. И(х)] в Доказать, что Уи(х) =) у(х) при а ( х ( 6, в оо. ч Иэ опредеиепмя целой части следует, что [ву(х)] = иу(х) — ри(х), О ( ри(х) < 1, Поэтому ~„(х) можно представить в виде 1 (х) ж 1(х) — г"-~~. Отсюда находим )пп у„(х) ж у(х), а также ]у„(х) — у(х)] = ~~~ ( — ~ О, т.е.уи(х) щ у(х). Ь Исследовать иа равпомерпую скодймость следующие ряды: и 115. ~ — па отреэхе[ — 1, 1]. »1 <О Сцеммвая остаток ряда следукпцим образом: ОО ь ОО з ч-» 1 ]о(х) — Яи(х)] — ) — ~( — -О 0 при и со, 1 »41 где Ь'(х), (о„(х)) — соответственно сумма п последовательность частичных сумм данного ОО „] ОО 1 ряда, сходящегося в силу прпэиака сравнения Я вЂ”, < 1 —, <+со, заключаем, что 'и)» 1» рассматриваемый ряд сходится равномерно. го п 116.

~ —, ма интервале ]О, +со[. и О и <О ПОСКОЯЬКУ СУММа ЭТОГО РЯДа Я(Х) = Е*, тО ОетатОК РЯДа Ги(Х) = Е* — 1 О, . НО Ьио зер ]ги(х)] = +оо (функция х 1 е* стремится к +ос при х О +ос быстрее любой степепО< (Е пой функции х 1-Охи), поэтому ряд сходится иеравиомерпо. и Ю 11Т. ~~1 (1 — х)хи ма отрезке [О, 1]. иие ч Частичиая сумма ряда Яи(х) = 1 (1 — х)х = 1 — х"е', 0 ( х ( 1; отсюда находим Ь О сумму ряда 1, еслв О (4мх ~ (1, ~ О, есии х=1. следовательно, звр ]о„(х) — Я(з)] = 1, т.е. данный ряд сходится меравмомерио.

ги е< (1 Замечвиие. Если фувкпвовальвмй рлп пепреш1впэгх ва отрезке фуввпвй сзоквтся па этом Отрезке в раерааипей фупшши, то реп скодгп.се вераашлиерво. 48 Гя. 1. Ряды 118. ~, о < х < + о. ! М Находим частичную сумму ряда: х у-(х) = =Е (( — )* И*+)= ~( — )*+ *+ Гж ь=! ь=! откуда пояучаем, что 31х) = йш бп(х) = 1, О < х < +со. Далее, поскольку звр †' = 1, и 0<псе то ряд сходитсв неравномерно. М вх 119. Г: а) 0 ( х < е, где е > 0; б) а ( х ( +со.

(1+*)(1+2*) ... (1+ *) ! ч Представляя общий член рада а„(х) в виде 1 1 а„(х)— (1 + х)(1 + 2х) ... (1 + (я — 1)х) (1 + х)(1 + 2х) ... (1 + (и — 1)х)(1 + нх)' находим частичную сумму ряда: 1 (1+ х)(1+ 2х) ... (1+ пх) Отсюда следует, что Я(*)=й-'()ж ' "'" *='0' Далее, в случае а) имеем зер ~Я(х) — о„(х)( = (о(+0) — Вп(+0)~ ж 1, поэтому ряд о«+„ сходится неравномерно. В случае б) находим 1 ,«з, (1+с)(1+2е) ... (1+па) зер )8(х) — Я (х)) = -и 0 прн о со, в силу чего ряд сходитсв равномерно. М Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходнмость в указанных промежутках сведующих функциональных рядов: 12О. ~' —,"*...~.~<+ . и! и найдем ьвр !а„(хИ, где а„(х) — общий член ряда.

имеем И 1<+ вх ! 1 вер )а„(х)) = зер 00<4 ! !<е !1+ я!ха ~ 2ез ! ! н достигается прм х = -г. Следовательно, ряд 2 — является мажорантиым двя данного !э э ряда. Так как мажорантный ряд сходится, то исходный ряд, согласно признаку Вейерштрасса, сходится равномерно. М 2 121 ~ — (*"+* ") — < !4 < 2. 4я) ' 2 =1 ч Легко найти, что аар (х" +х ") = 2" + — < 2"+, ! 2п 2 -<1Щ<э пп Поскояьку, к тому же, ряд 2 д;2пез, в сину признака д'Авамбера, сходится, то нссяедуеи ! мый ряд сходится равномерно. > 49 2 4. функциональные последовательности к рцды а 122 ~1, -„.г-, !з) < а, где а > О. 1-~" г) г ч Микорантным для данного ряда является ряд ~ ф-, сходимость которого при а < 1 е=! 1г!! очевидна, тах как в зтом случае г г Е~)-, Е = —,'. Пусть а В 1. Тогда, обозначая через о„последовательность частичных сумм мажорантного ряда, в силу оцею!и а а а 2 3 а 2 гг21 и+1 о„< Яг„+1 = — + — + — + ...

+ — + — < а+ 27 — = 8, О! 1! 1! и! п! л г 1! г=! получим Я ( Я. Следовательно, последовательность (Я„), будучи монотонной возрастающей, ограничена сверху. А тогда, по известной теореме, она сходится, т.е. сходится мажорантный ряд. и ыз. у'!.(~г н1я н/ г 2 ч Исходя нз неравенства 2 ! 2 а2 О<! 1+ — ~ < —,< —, н!зп) и!пгн и!нгп г и сходимости числового ряда 1 -„-;зг-о, мажорантного для данного функционального, при=2 ходим к выводу о равномерной сходимостн предложенного ряда.

М Исследовать на равномерную сходимость в указанных промежутках следующие функциональные ряды: г Ч г 81ВНЯ 1 24. ~ —: а) на отрезке с ( з ( 2я — с, где с > О; б) на отрезке О ( з ( 2з.. а ч а) Поскольку частичные суммы 2 мийт ограничены: ! ! «г ° +1 Е мн — з!в — з 1 мв- зш — зш г=! 2 2 2 /1! а последовательность („-! ! О при а оо, то, по признаку Дирихле, ряд сходится равномерно. б) В зтом случае указакная сумма не является ограниченной по совокупности переменных я и и, поскольху при з = -", к Е 91, а Е йт т мн — = ссб — +со при н со.

а 2п ь-! Следовательно, пркзкак Дирихле неприменим. Воспользуемся критерием Коши. Взяв с = 0,1, оценим разность ~ юв(н+ 1)я юв(в+ 2)х зш 2н* к+1 а+2 2н и 11+ «) з'а(1+ ) ма2 юв1 + — -в-+ ... + — ) — >е к+1 н+2 ' 2п 2 Га. 1. Ряды 50 при аюбом в. Скедоватеаьио, по критерию Коши, посаедоватеаьность сходится неравномерно, т.е. неравномерно сходится иссаедуемый ряд (сходимость ряда прн каждом фиксированном х б)0, 2!г[ следует из того же прнанаха Дкрнхяе, а прк х ж 0 и х = 2х сходимость ряда ' очевидна).

М 125. ~~! 2" мк —, 0< я <+оо. 1 3"х' » ! гг!» ! 4 При кюкдом фиксированном х > 0 имеем 2 зш — „, (2) — при в — ! оо. Отсюда сведует, что по теореме 3, п.1.5, данный ряд сходится. Дая иссаедовання на равномерную ! сходимость ряда применим критерий' Кошм. Пусть е = 1, р = в, х = з„. Тогда (Кет(х) — Я»(х))= ~2"~'мк — +2"+'аа — + ... +2'"зш — > 2"г'зш- > с, в >1, 3 Зг 3»~ 3 т.е. ряд сходится керавкомерно. М 126. ~~" *' "',0 < х<+оо.

г/в+ х »»1 и Поскольку частичнме суммы, в силу оценки Е' х!1. вх . в+1 мв х ма йх и 2 [соз - ~ !зш — ив — х ~ ( 2, 2!! 2 2 »1 ! ') / ограничены, а функциональная последовательность (в + х) г равномерно ко х р22 ( ! — 0) и монотонно по в ,/» 1 1 1 >О "т "т!т ~ф» |! +!+ )! тт3т + ггт! / стремится к иуюо прн п -! оо, то, согвасно признаху Днрнхае, ряд сходится равномерно. Н ! ц1~Я 127. Е -Ь вЂ”, 0 « * + /в(в+ х) ! 4 Ряд ~ (=~ — СХОдитеа (СМ. ПрнМЕр ту), а фуиакнн Х»» (1+ -') г ОГраНИЧЕНЫ Чн! сиом 1 и при каждом фиксированном х > 0 образуют монотонную последоватеаьность.

Сае- довательно, по признаку Абеяя, данный рид сходится равномерно. Н »О 128. Доказать, что абсоаютно и равномерно сходящийса ряд )~ г»(х), 0 ~ (х (~ 1, где ! О, есак 0(х(2 ~»+О, 1 (х) = -мпг(2"+'хх), есаи 2 ~»'~г1 < х < 2 ", О, есан 2»цх<1, неаьзя мажорировать сходящимся чисаовым ридом с неотрицательными членами. ч Нетрудно найти, что О, з чх "1' 8„(х) = -мпг(2"+!ах), есин 2 ~а»!1 ( х(2 ь, 3=1, в, а есаи О <я < 2 ~"+г1, 10, ес ! <я<1* о(х) йш о (х) = -ашг(2 +'хх), есам 2"1а+г1 < х (2 ь, 1 = 1, оо, »»» О, ее ам х О, 6 4.

Функцмомальитяе последовательности и ряды где (ЯО(х)) и Я(х) — последовательность частичных сумм и сумма данного ряда соответ- ственно. Далее, о, есин о(х) о (*) = -„мп (2 +'тх), если о, если -(х(1, 2" й~т'1 ( х ( 2" й, 6 ж п + 1, со, х=0. Поскольку зар [о(х) — Я„(х)[ = + (достигается при х„= — зт) стремится к нулю при ! з а<О<1 и со, то рзд сходится разномерно. Абсолютная сходкмость ряда следует из того, что при фиксированном х Е [О, 1) он содержит не более одного отличного от нуля члена. Пусть с„— члены числового мажорирующего ряда.

По условюо, с 3~ зар [у (х)[. 0<О<! ы ! з ! т Посколысу звр Щх)) ж — и достигается прн х = Ьтгт, то с„> —. Однако ряд 0<О<! ! расходится, поэтому исходный ряд нельзя мажорировать сходящимся числовым рядом с неотрицательными членами, И [г (*)[ < ~ (ййй(х)! ( ) щах([рй(а)), (ййй(6)(). й +! й= +! Поскольку ряд с членами йОО(х) сходится абсолютно при х = а и х = 6, го !Ус > 0 ЗА! = А!(с) такое, что Уи > А! выполняются неравенства ~ [р,(6)[ й й! й= е! (г) Так кю! щах([!Ой(а)[, )рй(6)[) ( [ййй(а)[+ )рй(6)), то на основании неравенств (2), неравенство (1) принимает вяд [г„(х)[ ( ~ ([ййй(а)[+ )рй(6)[) < з, й- +! откуда следует, что г„(х) =1 О, х оо, т.е.