Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (Антидемидович), страница 2

(2" +! "' 2" ' — !) Отсюда следует, что подпоследовательность (Яэ ) неограничена, а значит, неограничена и последовательность (5„). Таким образом, данный ряд расходится. и 1 1 1 1 8. — + — + — +...+ + ,/2 2аГЗ 3,/4 иъ/и+ 1 О Рассмотрим ряд зГ2 ),2,ГЗ ЗзГ4,/ 1,4тГ5 бгГб М/Т 7/В/ 18зГ9 15з/155 + 1 +.

+ 1 + ", (!) 2"1/2" + 1 (2 4' — 1)ч'2"+' полученный в результате группировки членов данного ряда. Замечаем,что 1 1 1 1 2 ! — + — < — + — < — = —, 2зГЗ ЗьГ4 2тГ2 ЗъГЗ 2гГ2 ъГ2' 1 1 1 1 4 1 — + + — < — +. + — < — =— 4зГ5 7ьГЗ 4~/4 7тГ7 (2~/2)з (тГ2)з Гл. 1. Ряды Отсюда, учитывая очевидную монотонность Я»! заключаем, что ряд (1) сходится.

А тогда, на основании примера О, сходи~ив данный рлд. м 1 1 1 9, — + — +...+ + )Гз ! !»22 - )1! ~)) й В силу оценки 1 1 1 1 1 1 В = — + — +...+ > — + — +...+ — > 1.1 тч '" ')ь, '1)п !,) 1 " г 1 / 3 и-~-1) 1 > — (1и2+ 1и — + ... +!п — ) = — !и(п-~-1), 2 2 и,) 2 данный ряд расходится. 1« Ф 10. Доказать, что если ряд ~ а», а > О сходится, то ряд ~~»а„также сходится. 2 1 ! и Очевидно, последовательность частичных сумм (С ) второго ряда монотонно не убывает.

Кроме того, в силу а» > О и сходимости первого ряда, справедливо неравенство С» = а, + аэ + ... + а» < (а! + а, + ... + а») ж Я, < сопит. 2 2 2 2 2 Поэтому, на основании теоремы о монотонной и ограниченной последовательности, существует йщ С, т.е, по опредехению 3, п.1.1, второй ряд сходится.

Заметим, что обратное утверждение неверно. Действительно, пусть а = —,, Тогда ряд 1 —,, сходится по теореме 4, п.1.5, хотя ряд 1 —, расходится (см. пример 7). и 1 1 1 »1 11. Доказать, что если ряды ~~ а» у ~ ~6» сходятся, то сходятся также ряды )а Ь (, ~~! (а +Ь»)2, ») »=1 и Используя элементарное неравенство (а»6») ( 1(аэ + 62), а также условие примера, »» получаем » г) »» 2.)-»)1) г,а»2!!»)(~.*.!~!!) =,. и 1 Ь»1 1=1»1 =! Отсюда следует, что ряд 2 ' (а 6»( сходится. А тогда и второй ряд в силу оценки »1 (а»+ Ьп) = ~ а„+2~ а»Ьп+~! 6,! < 2(с+~~' )а„6 )) » 1 1 »»! «1 также сходится.

Сходимость третьего ряда вытекает нз сходимости первого, если положить 1 1 в нем Ь» ж — и воспользоватьсл тем, что рлд 2 ' — „, сходится. н п-1 " !» 12. Доказать, что если йп па» = а ~ О, то ряд ~) а«расходится. »»1 н по опРеделенню пРедела, 'эа > О, О < е < (а(, зпа такое, что )Уп > и ц )))Р а 14 справедливы неравенства а — е < (пэ+ п)а +» < а+ а, пэ = 1 Р цли неравенства а а а+а — ( ам+» < пэ+и п)+н 11. Числовые ргщы. Признаки сходнмости знакопостоянных рядов 9 Суммируя эти неравенства по га от 1 до р, получаем р Р (а — а) ~ ~— < ~ а„,е„< (а+ е) ~~~ т+и т+и р Отсюда видно, что в силу расходимости гармонического ряда )нп 2 — =+со, оста+" ы=! ток рассматриваемого ряда расходится.

Следовательно, расходится н сам ряд. в Примечание. Из условия лрнмера 12 следует, что а„= -„" + а(-') = О'( — ) при о ог. Поэтому иа основании теоремы 4, пл.5, ланный ряд расходится. Однако мы предпочли вепосредстзешюе доказательство. 13. Доказать, что если ряд ~ ~а„, а„> О, с монотонно убывающими членами сходится, то йш па„= О. ч По критерию Коши, нз сходимости ряда следует, что ре > 0 Бпр такое, что р'и > пр справедливо неравенство а„зг + арег + ... + а ер < —.

так как (а ) — монотонная и ПОЛОжитЕЛЬНаЯ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ, та НЗ ПОСЛЕДНЕГО НЕРаЗЕНСтаа ВЫтЕКаЕт, Чта Ра зр < -*. Полагая, далее, последовательно р = и и р = и+ 1, отсюда находим, что 2паг < Е Н (2п+ 1)агрег с е при и > по. следовательно, па„< с прн любом (четном и нечетном) о>2оо. и Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих рядов: 14. сох х — сох 2х сох 2х — соз Зх созна — соэ(п+ 1)х + + ° + + 1 2 и м Фиксируем произвольное е > 0 . Найдем число пэ такое, что прн всех п > па н произвольном р > 0 будет справедлива оценка (Я„+р — Я„( < е, где (5„) последовательность частичных сумм данного ряда. Имеем соз(п + 1)х — соз(п+ 2)х (б 4 + и+1 соз(п + 2)х — соз(п + З)х соз(п + р)х — соэ(п + у + 1)х + + .

+ и+2 и+у соэ(о + 1)х соз(и+ 2)х соз(о + З)х соз(о + у)х и+1 (и+ 1)(а+ 2) (и+ 2)(и+ 3) (и -|- р — 1Ип+ р) соз(о + р 4- 1)х 1 1 1 2 < + +...+ + — < —. и+ р и+1 (и+ 1)(п+2) ' ' ' (и+ р — 1)(и+ р) и+ у и Отсюда следует, что ~5 ер — Я„( < е, если за число пз взять —. Поэтому, согласно критерию 2 Коши, ряд сходится.

и соз х соа х соз х" 15. — + — +...+ — +.... 12 22 ''' пг ч Найдем число па такое, что Уп > пз н произвольном р > 0 будет выполиятьсл нера- венство (азер — Яр( с е. Имеем )созхр+г соляр+э сол ° +р ('" ')=~(+ )'(+ )""'(-+.) -' < + +...+ < + 1 1 1 1 1 (в+ 1)2 (и+ 2)2 (и+ р)2 п(п+ 1) (в+ 1)(п+ 2) + 1 1 1 1 ... + < (и+ р — 1)(п+ р) и и+р и' Гл. 1.

Ряды 10 Следовательно, положив ва = —, по критерию Коши, получим> что данный ряд сходится. и ) Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость следующих рядов: 1 1 1 !6. !+ — + -+ + — + 2 3 и 1 и Пусть а = —. Положим р = и. Тогда 4' 1 1 1 1 1 ~Яэ„— Я ) = — + — + ... + — > и — = — > е. в+1 в+2 2в 2в 2 критерию Коши, данный ряд расходится. в 1 1 1 + — +- — — + 4 б 6 Следовательно, по 1 1 17. 1+ — — —, 2 3 м Поскольку 1 1 об Яэ > + + ° + За+1 За+4 бв Поэтому, согласно критерию Коши, ряд расходится. в 1 1 1 1В.

+ +...б +.... Л!2 Л 3 " /(+ц ) < Пусть а = —. Оценим разность: 1 1 )яэ» — Ч«)— + + .+ э)" З)))" О«))»~35Э)) 1 в 1 > > —. — 2 бв — 2 6' 1 )я)грэ 1 1 1 1 > — + — +. + >- и+2 в+3 2в+1 4 Таким образом, по критерию Коши, ряд расходится.

и Пользуясь различными признаками, исследовать сходимость рядов; (!))2 (2))2 (3))2 (в,)2 19. — '+ — + — + ... + — '+ "" 2 2» 2« ''' 2»« < Поскольку И)п — = 1пп а»а) ((в+1)!)э2" (в+1) = Бш =О, а», (в!)э2!«+!)» 2э»+) то, по признаку д'Аламбера, ряд расходится, в 4 47 47.10 20. — + — +- +.. 2 2 6 2 6 10 М Замечаем, что общий член ряда а„имеет вид 4 7.10...

(3«+1) 2 ° 6 10 ... (4п — 2) Отсюда находим а«4) . Зв+ 4 3 й)п — = й)п — = —. »- а 4в+2 признаку д'Аламбера, ряд сходится. В Таким образом, согласно 2«а. ~ ~а„, где ««1 если в = и), ( э э а (ш — натуральное число) . есаи в ф. эвз 1 1 1 1 1 1 об оэ — + + .,+ + За+1 За+2 За+3 ба — 2 бв — 1 бв' где (оа»), (Яэ ) — подпоследовательности последовательиостл частичных сумм данного ряда, то 11.

Числовые ряды. Признаки сходимости зиакоиостояииых рядов 11 и Покажем, что ряд ~ +-,+-,)+(-,+,+ .+„)+ "+ )г1 1 1 — („.+Цз ((п,Ц2 Ц2 2 П яп йп < 1 (ц 1+хэ+соэтао (1+хэ)» Предполагая, что х ~ О (прн х = 0 ряд, очевидно, сходится) и применяя к ряду =1 признак д'Аламбера, замечаем, что ряд (2) сходится. Используя теперь неравенство (Ц н теорему 1, п.1.5, можем утверждать, что данный ряд сходится.

В (2) 22. ~ (" ,')'" '. »2 — 1 — 1пп е » 1 2»-1 ч Нетрудно найти, что йш ( —,) = йш (1 — — —,) Е1 Поэтому, согласно признаку Коши, ряд сходится. В 24. еге'Г~-7 41 — »э+ "4 .... М Замечая, что общий член ряда имеет вид 2 а»вЂ” 1=2 -;, .= '~-'2,—.=»»,',,— '.. т„ 2— „сходится, то по теореме 1, п 1.5, сходится и данный ряд. в »=1 а»41 » 25. Доказать, что если йш — = 4, а» > О, то а»»» о(41), где 01 > 4. » е а» М Пусть число е > О настолько мало, что выполняется неравенство е < 41 — 4.

По определению предела, для данного а можно найти такой номер АГ, начиная с которого выполняются неравенства т — е« вЂ” а+е, у — е« вЂ” я+с,...,я — е« вЂ” я+с. ам+1 ан42 а» аи ал41 а»-1 полученный в результате грунлировки членов данного ряда, сходится. Для этого оценим сначала каждый член ряда (Ц. Имеем 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1+ — + — <1+г — <г 1, -+ — +... + — <-+ — <г —, 22 82 22 ' 4 52 82 4 52 4' 1 1 1 гп — + +...+ < — + <2.—;.. пэ еаз+ Цэ ''' ((и+Цэ Ц2,2 (пэ+Цэ пэ' '' Поскольку ряд г —,, согласно п.1.4, сходится, то, в силу теоремы 1, и 1.5, сходится н ряд 1 ~1), А тогда, на основании утверждения, доказанного в примере б, зактючаем, что данный ряд также сходится, В 2 22, ах 71 Е-П П 1 + х 2 + созз йо ' »»1 Ь»1 ч Легко видеть, что Гл.

1. Ряды Пере»но!кая почяенмо эт» неравенства, получаем ан(0 — з) < а„< (О+а)" ан, откуда Теперь видно, что увеличением числа и можно достигнуть неравенства и а -н э+е — „<ан(О+с) ( — ! <е, О! Д! показывающего, что а„= о(д!"), И азэ! 26. Доказать, что если Вш — = а с 1, а„ > О, то ряд " а„ сходится. а„ и=! » Выберем е > 0 таким, чтобы выполнялось неравенство с < 1 — О, В силу существования конечного верхнего предела, для выбранного с найдется такой номер Л', начиная с которого справедливы неравенства 0( — <у+с, !=!!',и — 1. а,+! Перемножая зти неравенства, находим 0 < а„< (д + е) (к+ )" Поскольку ряд 2 (О+с)" сходится, то, в силу теоремы 1, заключаем, что рлд ~ а„также сходится.

Обратное утверждение неверно. Рассматривая, например, ряд ! 1 1 1 1 1 — + — + — + — + — + — + ..., 2 3 2' 2! 2з Зз замечаем, что — а„эг, 1 гз!" йщ — = йш — (-) =со, з- а -«2 !2) в то время как ряд а„= ~~! ( — + — ), образом, из того, что ряд ) а сходится, не следует, вообще э=! 1.

И очевидно, сходится, Таким говоря, что 1пп — '"-З-' = е < 27. Доказать, что если пш "/аэ ж О, а„> О, то: а) при а < 1 ряд ~ а„сходится; б) =! при О > 1 этот ряд расходится (обобщенный признак Коши). и Пусть д < 1. Для фиксированного с, удовлетворяющего условию 0 с с < 1 — е, в силу условии примера, найдется номер Л!, начиная с которого выполняются неравенства 0(анэ! <(О+с) э,, 0<а,((д+е), 0+а<1 Но так как ряд ~ (е+ е)" сходится, то, по теореме 1, из последнего неравенства вытекае что ряд ~ а сходится. Пусть д > 1. Тогда для е, выбранного из условия О < е < Π— 1, найдется номер йу такой, что при всех й > М члены последовательности (а ь) ( т/а ь О при пь оо) будут удовветворять неравенствам а + >(т а) м+! а >(Ф е) и+э,...,а ь>(9 а) ь, 9 е>1.

Гл. 1. Ряды 14 зз ~('"" о" — о)' а=1 Ч Составляя отношение — "=(" ' )'(+Ч'=(" ' + (Ч) ("-'+ (Ч) = =1+ + — +о( — ) =1+(-+д) — +а(-), и оо, получаем йш п ~ — '" — 1) = д+ 4 и, на основании признака Раабе, заключаем, что данный (,1 2 ряд сходится при г + 4 > 1, И ~-~ (,д(д+ 1) ... (0+ и — 1)/ и Приводя отношение —" к виду а — "=( — ",.)'=( я) = """(-') при л со н пользуясь признаком Раабе, устанавливаем, что ряд сходится при а(д-р) > 1 35. Доказать, что если для строго положительного ряда ~ а выполняется условие =1 ао р /11 1 — = 1-Ь вЂ” + о ( — ) при и оо, то а„= а ( — ), где с > 0 произвольно мало, причем, ады и 1п / ьп если р > О, то а„( О при и оо, т,е.