Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (Антидемидович), страница 3
Описание файла
Файл "Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s)" внутри архива находится в следующих папках: antidemidovich, Антидемидович. DJVU-файл из архива "Антидемидович", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ (вм-1)" в общих файлах.
Просмотр DJVU-файла онлайн
Распознанный текст из DJVU-файла, 3 - страница
ао при н > па монотонно убывая, стремится к нулю, когда и со, М Начнем со случая, когда р > О. Фиксируя произвольное со, 0 < сз < р, из условия существования предела йп и ( †'" — 1) = р находим и ю 1+ . « — ' 1+ —., г = Ж в-1, р — сс а, р+ сс а,ег 1 где М вЂ” достаточно большой фиксированный номер. Из написанных неравенств следует, что Отсюда, учитывая, что а„> О, а также пользуясь неравенством Бернулли, получаем ( + йю) ( + 'Ф) " (1+ Б'-) 1+ ( -") (-'+ — '„+ " + —.',) Поскольку р — со > О, а л + —,, + ... + —, оо при и со, то из неравенства (А) 1 1 1 вытекаег, что а„0 .
Принимая во внимание еще, что при р > 0 последовзлельность (а ) г1г монотонна (зто видно из того, что при п > по, где вз — достаточно большое число, с > о (-), следовательно, — "" > 1), убеждаемся в справедливости второй части утверждения. ег Для доказательства первой части утверждения (р — любое, а с > 0) покажем, что 1пп (и" 'а ) = О. Вводя обозначение с„= пз 'а„и составляя отношение — ", получаем ю' — = (1+ -) — ж (1+ — ) (1+ — +о(-)) = =( — '."(Ц) ("$" (Ц) ="-."( ) "-" З 1.
Числовые ряды. Признаки сходимостн знаконостоянных рядов 15 Замечаю, что это отношение имеет тот же вид, что и — ", на основании доказанного выше, 41 приходим к выводу, что с„-! О при и со. и Исследовать сходимость ряда ~ а, если: =! 36. а„= (г/и + 1 —,/и)р1п —, и > 1. и+ 1' М Преобразовывая выражение для общего члена ар и используя при зтом разложения (1+ х), 1п(1+ х) по формулам Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, имеем а„= 1п(1 — — ) =и ! (2+а( — )) (- — +а( — )) = =и з2"Р(1+о( — )) (- — +о(-)) жО' — р, и со. !,и'~р/ Видим, что, по теореме 4, ряд сходится при р > О.
и 37. а, = 1об! 1+ — ), а > О, 1 > О. ",/а ! и Пользуясь приемом предьщурцего примера, имеем Следовательно, по теореме 4, ряд сходится, еспи 4 ф 1. р 38. а„= (с — (1+ -) ) и Попьзуясь разложениями функции х ! !и(1+ х) цо формуле Маклорена, находим а„= (е — ехр (и1п (1+ — ) )) = е (1 — ехр ( — 1+ и (- — — + о ( — )))) =ся(1 — (1 — — +о (-)) +о (-)) =О ( — ), п оо. Таким образом, если р > 1, то, согласно теореме 4, ряд сходится. и и 39.
Доказать признак Жамз: положительный ряд ~~ а„сходится, если (1 — ~/ао) — > 1п и =1 и р > 1 при и > из, и расходится, если (1 — /арр) — < 1 при и > ио. р! и!" Ч Непосредственно из первого усяовия находим О < а„< (1 — — ) (заметим, что при и > ир выполняется неравенство 1 — —" > О ), откуда р! О < ар ~< ехр(и)п (1 — —.)) . Используя разхожения функций х р-! 1п(1+х), е по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, из последнего неравенства имеем неравенство О<а < — ехр — р — +о — рж — — рз — +о —, и со, ир '1 2и ( и / 1 ир 2ире' 1,ире! ) ' из которого следует (иа основании теоремы 4), что ряд сходится црн р > 1.
Поступая аналогично, из второго неравенства условии примера можно найти, что а > — — — +о~ — /1 =О (-), и со. 2' 1, '/' 'ь /' Последнее неравенство оаначает, что ряд расходится. и Гл. 1. Ряды 40. Доказать, что ряд ~~1 а», а > О, сходится, если существует о > 0 такое, что 1в а„' с» — > 1+ а при и > из, и расходится, если —;„-'„- ч 1 при и > ио (логарифмический 1п и признак). 1 м Из условий примера легко получаем неравенства 0 < а„< -;-4-„прн и > иа (первый 1 случай), а также неравенство а„> — „при и ) ио (второй случай). Следовательно, по при- знакам сравнения, можно утверждать, что в дервом случае ряд сходится, если о > О, а во втором расходится.
М Исследовать на сходимость ряды с обшим членом а„, если: 1 (1п(1п и))м " ' М Поскольку -"-,-з- = — (и(;--)с — = 1п(1п(1пи)) > 1,1 прн и > ехр(ехр(ехр1,1)), то, согласно логарифмическому признаку, ряд сходится (см. пример 40). м 1 42. а„= ...и>1, й В силу оценки 1п па„(!и(!и и)) 1п и !в и смссс и' справедливой при достаточно большом и ~ Ьп, = 0), на основании логарифмического признака утверждаем, что данный ряд расходится. !» Пользуясь интегральным признаком Коши — Маклорена, исследовать сходимость рядов с общим членом а 1 43.
а = —,и>1. и!лги' М ФУНКЦИЯ 1: Х с —,, ПРИ Х > 1 ЯВЛЯЕТСЯ ПОЛОжИтЕЛЬНОй И, СУДЯ ПО ЗНаКУ ПРОИЗВОД- ной, убывающей (при любом р и достаточно большом х ). Позтому для исследования данного ряда иа сходимость можно применять интегральный признак Коши, Имеем 2 2 при р > 1. Следовательно, ряд также сходится при р > 1, и 44. а 1 , и > 2. "= и(! и)г(!п(1пи))с' м Как и в предыдущем примере, нетрудно установить, что здесь применим интегральный признак. Рассмотрим интеграл 1= ах / с(г х!вгх(Д (),х))с= 1 Г М Г' с з Если р = 1, то отсюда находим, по и!ыз1 при 4 > 1.
Следовательно, ряд сходится при р = 1 и 0 > 1. Если р ) 1, то в силу того, что Бш — '„= О при а > 0 и любом т, можем написать с +с —,„,, < —,„при достаточно большом Г > О, где р ~ >а > 1. '1 1. Числовые ряды. Првзиакя сходимости зпакопостояииых рядов 17 Аналогично, если р < 1, то при достаточно большом ! > О справедливо неравенство г 1 — „...
> —,„,гдер<а<1. А тогда, на основании признака сравнения, можем утверждать, что рассматриваемый интеграл сходится, если р > 1, и расходится, если р < 1 (в обоих случаях Π— любое). Это же, согласно интегральному признаку, относится и к данному ряду. В 45. Исследовать сходимость ряда ~~, где и(п) — количество цифр числа и. к =г ч Легко показать, что «(и) = ()Оп) + 1 < !ап+ 1. Так как -"~4 < '-Ч + — ', и ряды ! 1 — -„и сходятся, то, согласно теореме 1, п.1.5, сходится и данный ряд 46.
Пусть Аю и Е 74, — последовательные корни уравнения гбз = х. Исследовать сходнмость ряда ~ ~А„ =1 П ГрафИЧЕСКИ МОЖНО уетаНОВИтЬ, ЧтО дпя А„> 0 СнразсдЛИВЫ НЕраВЕНСтВа Пт < Ао < пя+ "-. Тогда г ' 1 1 1 г< г< гг (пт + х) ~~й и, в силу гь! 4, данный ряд сходится. Аналогично поступаем в случае А„< О. В 1 47. Исследовать сходнмость ряда ~ 1п(п'. ) з=г 1 и Согласно интегральному признаку Коши — Маклорена, ряд 2 — расходится.
Поль»=г зуясь неравенством 1в(и!) < и!и и и теоремой 1, п.1.5, заключаем, что данный ряд также расходится. В 48. Доказать, что ряд ~г а со строго положительными монотонно убывающими чле- нами сходится или расхоцится одновременно с рядом ~~ 2 аг =с М Поскольку 0 < аг+аг+аз+аз+ ... +аг.зг < аз+ 2аг+4аз+ ... + 2"аг, то, в и силу монотонности (я„), 3 = х~, аь, а также теоремы о монотонной ограниченной последоь=г вательности, из сходимости второго ряда вытекает сходимость первого. Кроме того, в ситу оценки 1 »41 2 -(4аг+4аг+ ...
+2 ог +г) ((аз+от+аз+ ... +аг ы, из сходимости первого ряда вытекает сходнмость второго. В 49. Пусть у(з) > О при к > 1, у' монотонно невозрастающая функция. Доказать, что если ряд ) у"(и) сходится, то для остатка его В = у у"(й) справедлива оценка ~=1 ь «+г У(з)йк < В < У(в+1) + 2~ У(в)йх. ег ег 18 Гл. 1. Ряды 3 1 Найти сумму ряда 21 — с точностью до 0,01. пз 1 м В силу монотонного невозрастания функции Г, имеем неравенства 0 < у(к+ Ц ( ((к) < (((г) при 1 ~( я ~ (й+ 1, 1 Е 9), используя которые, находим .!» 341 +! И*)3*ж ~. ~Ы~*< ,'. )(5)=й., 3= 4! 3= !+! 4 341 1(х) лх = ~ ~) 1(з)42 > ~~3 1(9+ 1) = Ус„— /(и+1). 3=»+! 3 !1 ~41 Теперь легко видеть, что из полученных неравенств следует требуемая оценка. Для вычисления суммы ряда с указанной точностью воспользуемся доказанной выше оценкой.
В данном случае й = 0,01;((х) = †,. Тогда +ы ею !)к Г 4з — < 0,01 < + / *3 ' (и-1-1)3 / *3' .1-1 а !.1 откуда получаем числа первых членов ряда, которое нужно взять для вычисления суммы ряда с точностью до 0,01: и = 7. Следовательно, ~ —, 1+ —, + —, + т + —., 4- сд -9 — „- 1 1 1 ! ! ! 1 3 !=1 1+ 0,1250+ 0 0370+ 0 0155+ 0 0080+ 00046+ 0 0029 1,1931 1,19 (с недостатком). 3» Исследовать сходимость следующих рядов.
50. ~~2 (с18 " - зш т" ) . »=1 Ч Применяя формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, а также пользуясь элементарными преобразованиями тригонометрических функций, получаем тп . ян 8 213»-21 т а„= с!8 — — ып — = „— соз 4н — 2 2п+1 1+38 (!" 2(2п+1) 21! -21 Следовательно, по теореме 4, п,1,5, ряд расходится.
и =1 и При и > 3 справедливы неравенства и — 2 1п(п!] )в н — « —— и и н 30 Посколы!у ряды 2 — 2 и ~ !'",, согласно интегральному признаку, скопятся при а > 2, =1 =1 то исследуемый ряд, в силу теоремы 1, п.1.5, также сходится при а > 2. В 32. 3 ' ( "* ° — !). 1 и Пользуись формулой Маклорена, получаем а„=н 2+! — 1=елр1Х вЂ” — 1= +»33 2 ! жО !т — и со.