Лекции печатные (Конспект лекций по высшей математике - Дмитрий Письменный), страница 7

Решить уравнение уо — 5у' + бу = О. („) Решение: Составим характеристическое уравнение: хз — бх + б = О. Решаем его: й~ = 2, хз = 3. Записываем общее решение данного уравнения: У = с~ее*+ свез*, где сг и сэ — пРоизвольные постоЯнные (фоРмУла (4.3)). 36 уз + Руг+ дуг = (хе ' ) +Р(хе ' ) +д(хе ) = = (2й1е"'*+ хй,еь'*) +р(е~'*+ хйгеы*) + д(хе~'*) = = е"'*(2й, + И~ и + р+ рхйг + дх) = е"'*(х(йг + рй, + д) + (р+ 2й)), Но йг + рйг + д = О, т.

к. йг есть корень уравнения (4.2); р+ 2йг = О, т. к. по условию йг = йг — —— — — р Поэтому уг +руг+ дуг = О, т. е. функция уг — — хе~'* является решением уравнения (4.1). Частные решения У1 —— еь" и уг = хеь'* образуют фундаментальную систему решений: И'(х) = ег"'* ~ О. Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ (4.1) имеет внд (4.4) Случай Я. Корни йг и йг уравнения (4.2) комплексные: й1 = о + Щ, 2 2 г йг = о — рг (Р = и- — д ( О, гг = — и, )3 = д — с- > О). В этом случае частными решениями уравнения (4.1) являются функции уг — — е! +аг>* и уг = е! Ш)*. По формулам Эйлера (см.

Часть 1, п. 27,3) еав =сов!а+ге!п~р, е '" =сову — гв!п<р имеем уг =е * ею* =е *созрх+ге *в!п~3х, уг — — е * ° е Ш* = е *соврх — !е *в!пдх. Найцем два действительных частных решения уравнения (4.1). Для этого составим две линейные комбинации решений У1 и уг. уг+уг 2 = е * сов ~Зх = уг и, =е вш,9х= уз. Уг У2 аа 22 Функции уг и уг являются решениями уравнения (4.1), что следует из свойств решений ЛОДУ второго порядка (см. теорему 3.2).Эти решения уг и уг образуют фундаментальную систему решений, так как И'(х) ~ 0 (убедитесь самостоятельно!).

Поэтому общее решение уравнения (4.1) запишется в виде у = с1 е * сов 11х + сге * сйп )гх, или у = е '(сг сов)7х+ сгв!и!3х). (4.5) Случай х. Корни й2 и йг характеристического уравнения (4.2) действи- 2 тельные и равные: йг — — йг (Р = с- — д = О, йг — — йг — — — ~). 4 В этом случае имеем лишь одно частное решение У1 — — е~'*. Покажем, что наряду с уг решением уравнения (4.1) будет и уг = хеь'*. Действительно, подставим функцию уг в уравнение (4.1).

Имеем: Пример 4.й. Решить уравнение у" — бу'+ 25у = О. (,',1 Решение: Имеем: йг — бй+ 25 = О, й1 = 3+ 4г, йг —— 3 — 44. По формуле (4.5) получаем общее решение уравнения: у = ез'(с1 соз 4х + сз з1п 4х). Д0о Таким образом, нахожцение общего решения ЛОДУ второго поряцка с постоянными коэффициентами (4.1) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (4.2) и использованию формул (4.3)-(4.5) общего решения уравнения (не прибегая к вычислению интегралов).

4.2. Интегрирование ЛОДУ и-го порядка с постоянными коэффициентами Задача нахождения общего решения ЛОДУ п-го порядка (и ) 2) с постоянными коэффициентами убб+р,у~" Н+р,у~" "+ "+р„у=О, (4.6) где р;, г' = 1, п, — числа, решается аналогично случаю уравнения второю порядка с постоянными коэффициентами. Сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры. Частные решения уравнения (4.6) также ищем в виде у = ее*, где й— постоянное число, Характеристическим для уравнения (4.6) является алгебраическое уравнение и-го порядка вида йь+р,й '+р,й"-'+" +р„,й+р„=О.

(4.7) Уравнение (4.7) имеет, как известно, и корней (в их числе могут быть и комплексные). Обозначим их через,йы йг, ..., й„. Замечание. Не все из корней уравнения (4.7) обязаны быть различными, Так, в частности, уравнение (й — 3)г = О имеет два равных корня: й1 = йг —— 3. В этом случае говорят, что корень один (й = 3) и имеет кратность гпь = 2. Если кратность корня равна единице: гпь = 1, его называют простпым. Случае 1. Все корни уравнения (4.7) действительны и просты (различны).

Тогда функции у1 = е~'*, уг = е~'*, ..., у„= е~"* являются частными решениями уравнения (4.6) и образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы). Поэтому общее решение уравнения (4.6) залисьгвается в виде Пример 4.Я. Найти общее решение уравнения уга — 2у" — у' + 2у = О. зв О Решение: Характеристическое уравнение йг — 2йг — й + 2 = О имеет коРни йз — — — 1, йг = 1, йг = 2. Следовательно, У = с1е *+ сге*+ сгегь— общее решение данного уравнения.

Случай й. Все корни характеристического уравнения действительные, но не все простые (есть корни, имеющие кратность гп > 1). Тогда каждому простому корню Й соответствует одно частное решение вида е"*, а каждому корню Й кратности тп > 1 соответствует гп частных решений: е"*, хе *, хгеьз хт — зеья Пример 4'.4. Решить уравнение уг" — угп — Зу" + 5у' —. 2у = О. (,д Решение: Характеристическое уравнение Й' — Й' — ЗЙг+ 5Й вЂ” 2 = (Й+2)(Й вЂ” Ц' = О имеет корни Йг = — 2, Йг = 1, Йз = 1, Й4 = 1. Следовательно, у = сге *+сге*+сзхе*+сгх е* — общее решение уравнения.

Случай 8. Среди корней уравнения (4.7) есть комплексно-сопряженные корни. Тогда каждой паре охЩ простых комплексно-сопряженных корней соответствует два частных решения е * сов дх и е * з1пдх, а каждой паре а ~,81 корней кратности т > 1 соответствуют 2пг частных решений вида е'"*создх,х е *соз17х,...,х ° е *создх; е"*зш~3х,х е"*з1п~Зх,...,х~ ' е *пп,дх. Эти решения, как можно доказать, образуют фундаментальную систему решений. Пример 4.Б.

Решить уравнение у" + уг~ + 2усв + 2у" + у' + у = О. (,Ь Решение: Характеристическое уравнение Й'+ Й4+ 2Й'+ 2Й'+ Й+1 = (Й+ 1НЙ4+ 2Й'+ 1) = О имеет корни Йг = — 1, Йг = 1, Йз = — г, Йз = 1, Йз — — — г. Следовательно, у = сге *+сг ° созх+ сз зшх+сзх созх+сзх ° з1пх — общее решение уравнения.

25. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ЛНДУ) 5.1. Структура общего решения ЛНДУ второго порядка Рассмотрим ЛНДУ второго порядка (5.1) где а1(х), аг(х), 7" (х) — заданные, непрерывные на (а; Ь) функции. Уравнение у" + аг(х)у' + аг(х)у = О (5.2) левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (5.1), называется соотвепгсгпвующим ему однородным уравнением. Д Убедимся, что функция (5.3) — решение уравнения (5.1).

Так как Р" есть решение уравнения (5.1), а Р— решение уравнения (5.2), то (У')О + а1(х)(у*)' + аз(х)У* = у(х) и (У)О + а1(х)(У)' + аз(х)у = О. В таком случае имеем: (У* + Р)О + а1(х) (У* + Р)' + аз(х) (Р" + У) = = ((У')О+а1(х)(У*) +аг(х)У')+((У)О+а1(х)(У)'+СО(х)у) = Дх)+О =,Г(х). Это означает, что функция (Р' + У) является решением уравнения (5.1).

Покажем теперь, что функция У = Р* + С1 У1 + СОУ2 (5.4) является общим решением уравнения (5.1). Для этого надо доказать, что из решения (5.4) можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям Р(то) = УО, У'(хо) = РО. (5.5) Продифференцировав функцию (5.4) и подставив начальные условия (5.5) в функцию (5.4) и ее производную, получим систему уравнений: 1 с1Р1(ХО) + сзрз(ХО) = РΠ— У*(ХО), с1У1(хо) + СОРО(хо) = УО (У ) (хо), где РО = у(хо), РО = Р'(хо), с неизвестными с1 и СО.

Определителем этой системы является определитель Вронского и'(хо) для функции у1(х) и УО(х) в точке х = хо. Функции Р1(х) и РО(х) линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений), т. е. Иг(хо) ~ О. Следовательно, система имеет единственное решение: С1 = со и СΠ—— с~~. Решение Р = Р* + соу1(х) + со~уз(х) является частным решением уравнения (5.1), удовлетворяющим заданным начальным условиям (5.5). Теорема доказана. 5.2. Метод вариации произвольных постоянных Рассмотрим ЛНДУ (5.1). Кто общим решением является функция (5.3), т. е. Р=У +У.

Частное решение у* уравнения (5.1) можно найти, если известно общее решение Р соответствующего однородного уравнения (5.2), ме1подом вариа14ии произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в следующем. Пусть Р = с1Р1(х) + СОУО(х) — общее решение уравнения (5.2). 40 Заменим в общем решении постоянные с1 и сз неизвестными функциями с1(х) и сз(х) и подберем их так, чтобы функция (5.6) у* = с1(х) у1(х) + сз(х) уз(х) была решением уравнения (5.1).

Найдем производную (у ) = С1(Х)у1(Х) + Сг(Х)91(Х) + Сз(Х)уз(х) + Сз(х)уз(х) подберем функции с1(х) и сз(х) так, чтобы с1(х) у1(х) + с~э(х) уз(х) = О. (5.7) Тогда (у ) = С1(Х) у1(Х) + Сз(х) уз(Х), (У')" = с', (х) У',(х) + с1(х) У,"(х) + с~ (х) . Уз(х) + сз(х) . Уз (х). Подставляя выражение для у', (у')' и (у')" в уравнение (5.1), получим: с',(х) У',(х) + с1(х) У, (х) + сз(х) Уз(х) + сз(х) . Уз(х) + + а1(х)~С1(х)у1(х) + сз(х)уз(х)] + аз(х)~С1(х)у1(х) + сз(х)уз(х)]' = Дх), или с1(х) (у1'(х) + а1(х) ° у',(х) + аз(х) . у1(х)] + + сз(х) (Уз (х) + а1(х)Уз(х) + аз(х)Уз(х)] + с1(х)У,(х) + сз(х)Уз(х) = Дх). Поскольку у1(х) и уз(х) — решения уравнения (5.2), то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому с1(х) . у1(х) + сз(х) . уз(х) = Дх). (5.8) Таким образом, функция (5.6) будет частным решением у' уравнения (5.1), если функции С1(х) и сз(х) удовлетворяют системе уравнений (5.7) и (5.8): (5.9) Определитель системы У, У, ~ О, так как это определитель Вронс- у',(х) уз(х) кого для фундаментальной системы частных решений у1 (х) и уз (х) уравнения (5.2).

Поэтому система (5.9) имеет единственное решение: с', (х) = у1 (х) и сз(х) = ~рз(х), где у1(х) и 1сз(х) — некоторые функции от х. Интегрируя эти функции, находим с1(х) и сз(х), а затем по формуле (5.6) составляем частное решение уравнения (5.1). Пример 5.1. Найти общее решение уравнения у" + у = созх' 1 У Решение; Найдем общее решение у соответствующего однородного уравнения у" + у = О.