Лекции печатные (Конспект лекций по высшей математике - Дмитрий Письменный), страница 42

Будем считать, что искомая функция у(с) вместе с ее рассматриваемыми производными и функция у(с) являются оригиналами. Пусть д($) =: У(р) = У и у(4) Ф Р(р) = Г. Пользуясь свойствами дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении (34.1) от оригиналов к изображениям: (р"У-р" 'со-р" сс —...— с„-с)+ос(р" У-р" со — ..— с„з)+...

... + а„-с (рУ вЂ” со) + а„У = Г. Полученное уравнение называют онерашорнььм (или уравнением в изображениях). Разрешим его относительно У: У(р" +аср" ~+... +а„-ср+а„) = = г"+со(р" +аср" +...+а„с)+ос(р" +аср" +...+а„з)+...+с„с, т. е. У(р) ° Я„(р) = К(р) + В„с(р), где ч„(р) и В„с(р) — алгебраические многочлены от р степени сс и сс — 1 соответственно. Из последнего уравнения находим у ) г'(р) + тсо 1 (р) (34.2) () (р) Полученное равенство называют операшорньссс решением дифференциального уравнения (34.1).

Оно имеет более простой вид, если все начальные условия равны нулю, т. е. у(0) = у'(О) = ... = у(" 0(0) = О. Б этом случае У(р) = ~)-ф. г'с о1 и Находя оригинал у(с), соответствующий найденному изображению (34.2), получаем, в силу теоремы единственности, частное решение дифференциального уравнения (34с1). Замечание. Полученное решение д(с) во многих случаях оказывается справедливым при всех значениях 4 (а не только при с > 0). Пример 34.4. Решить операционным методом дифференциальное уравнение у" — Зу' + 2у = 12ез' при условиях у(0) = 2, у'(0) = 6.

(,) Решение: Пусть д(с) =; У(р) = У. Тогда у'(4) Ф рУ вЂ” у(0) = рУ вЂ” 2, у" ($) Ф роУ вЂ” ру(0) — у'(0) = рзУ вЂ” 2р — 6, зс . и е Ф вЂ”. ' р — 3 247 Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение: рзУ вЂ” 2р — б — 3(рУ вЂ” 2) + 2У = 12 . Отсюда р-3 У(р) = р — ~~,— Р2)~ — 3~. Находим у(С). Можно разбить дробь на сумму 22 б +12 простейших (У(р) = + + — ),' но так как корни знаменате- А В С р — 1 р — 2 р — 3' ля (р1 — — 1, р2 = 2, рз = 3) простые, то удобно воспользоваться второй теоремой разложения (формула (33.1)), в которой А(р) = 2р2 — бр+12, В'(р) = (р — 2)(р — 3) + (р — 1)(р — 3) + (р — 1) (р — 2). Получаем: у(С) е1.с + е2 с + ез с = 4ес 8е21 + безс йС 8 8 2 12 (-1). (-2) 1 (-1) 2 1 Пример 34'.й. Найти решение уравнения 1 если 0 < С < 2, у' + 4у = 3 — С, если 2 < С < 3, О, если С < О, С > 3 при условии у(0) = О, у'(0) = О.

(,2 Решение: График данной функции имеет Рис. 100. вид, изображенный на рисунке 100. С помоСцью единичной функции правую часть данного дифференциального уравнения можно записать одним аналитическим выражением: ДС) = -С ЦС) — -С ЦС вЂ” 2)+(З-С) ЦС вЂ” 2) — (3 — С)ЦС вЂ” 3) = 1 1 2 2 1 1 = -С ЦС) — — (С вЂ” 2+ 2) ЦС вЂ” 2) — (С вЂ” 2 — 1) ° ЦС вЂ” 2) + (С вЂ” 3) ° ЦС вЂ” 3) = 2 2 1 1 = -С ЦС) — -(С вЂ” 2) ЦС-2) — ЦС вЂ” 2) — (С вЂ” 2) ЦС вЂ” 2)+ЦС вЂ” 2)+(С вЂ” 3) ЦС-3) = 2 2 = -С ° ЦС) — — (С вЂ” 2) ЦС вЂ” 2) + (С вЂ” 3) ЦС вЂ” 3). С) 3 2 2 Таким образом, имеем у +4у=-С ЦС) — -(С вЂ” 2).ЦС вЂ” 2)+(С-3) ЦС вЂ” 3). 3 2 2 Операторное уравнение, при нулевых начальных условиях имеет вид 11 31 2 1 з р У+4У= — — — — — е "+ — е 2рг 2рз Отсюда 1 1 3 1 2 1 (Р) 2 2 е 2~ + е 2~.

2 р2(р + 4) 2 р2(р2 + 4) р (рз + 4) 248 С помощью операционного исчисления можно также находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечных разностях (ревностных уравнений); производить суммирование рядов; вычислять интегралы. При этом решение этих и других задач значительно упрощается. ПРИЛОЖЕНИЯ х х х" е' =1+ — + — + .

+ — +. 1! 2! и'. х с ( — оо;со), хг хв в!их = х — — + — — + 3! 5! х2 +1 (-1)" +..., х б (-оо;оо), (2п + 1)! гя ( 1)п ! .6( . ) (2и)! 1) 2 а(а — 1)...(а и+!) я х'+ + х" + ..., и'. х2 х4 совх = 1 — — + — — "+ 2! 4! а а(а— Ц 2! (1+х) = 1+ [-1; Ц, если а > О, хе ( — 1;Ц, если — 1<а<0, ( — 1;1), если а < — 1, — = 1+х+х + ° ° +х" + .. 1 — х хс( — 1;1), хг хв х"+' 1п(1+ х) ~ х — — + — — + (-1)™ — +..., х б (-1; Ц, 2 3 и+1 з в г -н агс!6 х = х — — + — — ° ° + ( — 1)" —..., х е [ — 1; Ц, 3 5 2п+1 1 хг 1 3 хв 1 3 5 хт агсв!пх = х+ + + +... 2 4 ° 6 7 1 ° 3 ° 5...

(2п — 1) хг"+' + 2 ° 4 ° 6...(2п) 2и+1 + ...) в в гп+1 вЬх = х+ — + — + ° + +. °, 3! 5! (2п + 1)! г 1 в ги с)г х = 1 + — + — + — + " ° + — +..., 2! 4! 6! (2и)! х с ( — оо; со). х с [ — 1;Ц, х Е ( — со; оо), 251 Таблица разложений в ряд Маклорена некоторых элементарных функций Таблица оригиналов и изображений По вопросам оптовых закупок обращаться: тел./факс: 785-29-25, 956-16-84, е-ншй: гоИСфавгвхги Адрес: Москва, пр. Мира, 106 Наш сайт: игкгнлзг18.гп Вы можете приобрести наши книги в киоске по адресу: пр.

Мира, д. 106, с 11ге до 17»е, кроме субботы, воскресенья. Адрес редакции: 129626, Москва, а/я 66 Издательство «Айрис-пресс» приглашает к сотрудничеству авторов образовательной и развивающей литературы. По всем вопросам обращаться по тел.: (095) 785-29-25, 956-16-84 Учебное издание Дмитрий Трофимович Письменный КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 2 часть Ведущий редактор: В. В. Черноррцний Редактор: Л. В.Абломсноя Художественный редактор: А.

ЛГ. Драгоеой Иллюстрации: А. Ю. Терская Технический редактор: С. С. Коломеец Компьютерная верстка: К. В. Панкратьев Корректор: Н. С. Калашникова Подписано к печати 29.09.2000. Формат 70 х 100/16. Печать офсетная. Гарнитура»Компьютер Модерн». Печ. л. 8. Уел.-печ. л.

10,4. Тираж 10 000 зкз. Заказ № 1773. Налоговая льгота — общероссийский. классификатор продукции ОК вЂ” 005-93, том 2 — 953000. ЛР № 064657 ст 27.06.96 г. ООО «Рольф» г. Москва, пр. Мира, 106, тея. (095) 785-29-25. Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ОАО,»Можайский полиграфический комбинат». 143200, г.

Можайск, ул. Мира, 93. .