Лекции печатные (Конспект лекций по высшей математике - Дмитрий Письменный), страница 38

Отсюда следует, что 1(«) -+ оо при « -+ «о, т. е. в достаточно малой окрестности полюса функция 1(«) бескоиечио велика. Справедливо и обратное утверждение: изолированная особая «почка « = «о ЯвлзетсЯ полюсом, если Нт 1(«) = со. л -Ф го Из равенства (30.16) имеем (« — «о) 1(«) = д(«). Отсюда получаем удобный способ определения порядка полюса «о. если 1пп (« — «о)™ ((«) = с (с ф О, с ~ со), (30.17) ДОО ДОО то точка «о есть полюс т-го порядка. Имеется связь между нулем и полюсом функции. Ц Докажем первую часть теоремы. Пусть « = «о есть нуль т-го порядка для функции 1(«).

Тогда имеет место равенство 7(«) = (« — «о)'"~о(«), где оо(«) аналитична в точке «о, причем ~о(«о) ф О. Тогда (« — «о) — т-т = — т-с. и 1пп 1 (« — «о)'" — 71-т 1 = — ! — т ф 0 (ф оо). Это означает (см. (30.17)), что для функции — Гг точка « = «о является полюсом тп-го порядка. Вторая 1 часть теоремы (обратной) доказывается аналогично. Суи1ественно особая точка Если «о — существенно особая точка, то, как доказывается (теорема Сохоцкого-Вейерштрасса), в достаточно малой окрестности точки «о функция 1(«) становится неопределенной. В такой точке аналитическая функция ие имеет ни конечного, ии бесконечного предела. Выбирая различные последовательности точек («„), сходящихся к существенно особой точке «о, можно получать различные последовательности соответствующих значений функций, сходящиеся к различным пределам.

1 (,)! Решение: Функция 1(«) = е' в окрестности точки « = 0 имеет следую- т сю щее лораиовское разложение: е' = ~ —,„(см. пример 30.4). Точка « = 0 п=о является существенно особой точкой. Если « -+ 0 вдоль положительной ь 1 части действительной оси, то 1пп е* = !пп е* = +со; если « -+ 0 вдоль .-~о *-~о+о ь 1 отрицательной части действительной оси, то 1пп е' = !пп е* = О. Ф о ->о — о ггг П 1 Пример 80.6. Определить тип особеииости функции 1(«) = е' в точке « = О. За мечаиае. Классификацию изолированных особых точек можно распространить на случай, когда особой точкой функции у!з) является бесконечно удаленная точка, з = со.

Окрестностью точки з = оо называют внешность какого-либо круга с центром в точке г = О и достаточно большим радиусом В (чем больше В, тем меньше окрестность точки з = оо). Точку з = оо называют изолированной особой точкой, если в некоторой окрестности ее нет других особых точек функции 7'!з). Бесконечно удаленная изолированная особая точка может оказаться устранимой особой точкой, полюсом порядка т или существенно особой точкой. В первом случае лорановское разложение функции 7 !з) в окрестности точки з = оо не имеет членов с положительными показателями, во втором — имеет их лишь конечное число, в третьем случае в разложении имеется бесконечно много членов с положительными показателями.

Изучение функции 7 !з) в окрестности точки з = оо можно свести путем подстановки г = — к изучению функции у ~ — ! в окрестности точки 1 /11 Ш «з з = О. Пример 80.7. Найти особые точки функции у!г) = й!Рзз. О Решение: Особой точкой функции 7"!з) является з = О.

Найдем предел функции при з -+ О: !пп ~~" ~ — — !пп з шз — « — — оо. Следовательно, «-ю з «-~0 3 точка з = О является полюсом. Можно убедиться, что 1пп зз~~'~~ — — со, «-«О )пп зззшзз — — 1 ~ О. Следовательно (см. (30.17)), точка з = Π— полюс «-Ю третьего порядка. П«««О.В. И б фу «) з(з+ 2) (з -1) О Решение: Для данной функции точки з« вЂ” — 0 и зз = — 2 — простые полюсы, зз = 1 — полюс второго порядка, П г Пример 80.9.

Выяснить поведение функций у !з) =, 'д!з) = — ~ — т з — 3' 1+« в окрестности точки з = оо. О Решение: Сделаем подстановку з = —. Тогда функция у!з) = 1 1 и« « †примет вид 7" ! — 1! = . При условии !3«з~ < 1 имеет место разложение ~«вг 1 — Зш' У ( — ) = «п(1+ 3«з+ (Зш)з+... ). Возвращаясь к старой переменной, имеем 1 1 / 3 3' 1 1 3 3' ~ 3" ,7!з)= — = — ~1+ — + — +...) = — + — + — +...= « —, )з)>3. 3 з~ з зз ''') з з 3 ''' х «ь!1' «=0 Поэтому точка х = со является устранимой особой точкой (см. последнее замечание).

Можно убедиться, что х = оо для функции д(х) =, — х — тт является правильной точкой. 1+я 331. ВЫЧЕТ ФУНКЦИИ 31.1. Понятие вычета и основная теорема о вычетах Вычептом аналитической функции Дх) в изолированной особой точке хе называется комплексное число, равное значению интеграла —. у,((х) г(х, взятого в положительном направлении по окружности Ь с 1 2х1,1 центром в точке хо, лежащей в области аналитичности функции Дх) (т. е.

в кольце 0 < )» — хе) с В). Обозначается вычет функции у(х) в изолированной особой точке хе символом Вез Две) или Вез®х); «в). Таким образом, (31.1) Если в формуле (30.12) положить п = — 1, то получим 1 г с, = — у у(х) гЬ или Вяз у(хе) = с „ 2т1 1 Ь т. е. вычет функции Дх) относительно особой точки ге равен коэффициенту при первом члене с отрицательным показателем в разложении функции Дх) в ряд Лорана (30.11). Д Вокруг каждой особой точки хь опишем окружность (ь так, чтобы она целиком содержалась в области Р, не содержала внутри других особых точек и чтобы никакие две из этих окружностей не имели общих точек (см. рис. 89).

Тогда на основании теоремы Каши для многосвязной области (следствие 1 теоремы 29.1) имеем: 223 где при интегрировании все контуры обходятся против часовой стрелки. Но, согласно формуле (31.1), имеем: ~ Дз) гЬ = 2хгйевДгг), ) Дв)гЬ = 2к4пев2(в2), ~ Дв) гЬ = 2кг'НевДг„). Рисг 89. Следовательно, ~,г'(х) гЬ = 2гг1 Нев г'(вг) +... + 2я) Ны Дв„), ь т. е. ~ Дг) г(в = 2я1 2 Нев Дхь). Ь в=1 31.2. Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов Правильные или устрани44ые особые гаечки. Очевидно, если в = хе есть правильная или устранимая особая точка функции Дв), то Кев г(ве) = 0 (в разложении Лорана (30.11) в этих случаях отсутствует главная часть, поэтому с г — — 0).

Полюс. Пусть точка ве является простым полюсом функции Дг). Тогда ряд Лорана для функции Дз) в окрестности точки ве имеет вид У(г) = 2 с„(х — хе)" + ' . Отсюда „=в х — хо (х — хо) 2 (х) = с-г + ~~~, с (х — хе) гг=е Поэтому, переходя в этом равенстве к пределу при в -+ ге, получаеМ (31.3) Замечание. Формуле (31.3) для вычисления вычета функции Дх) в простом полюсе можно придать другой вид, если функция Дв) является частным двух функций, аналитических в окрестностях точки «в. Пусть Дх) = г-)-)-, где гр(хе) ~ О, а д(х) имеет простой нуль при иЬ) д(в) х = во (т.

е. д(ве) = О, д'(хе) ф 0). Тогда, применяя формулу (31.3), имеем: КевУ(ве) = 1пп (в — хе)(-Е = 1пп =,, т. е. ~-+*о д(в) л-гго я(*):.я1Ы д д(ве) ' (31.4) 224 Пусть точка»е является полюсом гп-го порядка функции 1(»). ТогДа лоРановское Разложение фУнкЦии 1(») в окРестности точки»е имеет вид У(») = ~ с„(» — »о)" + — ~+ — =2 — ~+ ° + ~ — = — -с~~ Отсюда и=о» вЂ” »О (» — »о) 1» — »а! (»»0) У(») ~ си(»»о) +с-м+с — та~-1(»»0)+ ° ° ° +с — з(»»о) иье Дифференцируя последнее равенство (т — 1) раз, получим: рм-1 :~((» — »о) У(»)) = = (т — 1)!с ~ + ~ с„(я+гп)(п+го — 1)(п+т — 2)...

(п+ 2)(» — »е)"+'. Переходя здесь к пределу при» -+»а, получаем (31.5) Существенно особая шочка. Если точка»е — существенно особая точка функции 1 (»), то для вычисления вычета функции в этой точке обычно непосредственно определяют коэффициент с ~ в разложении функции в ряд Лорана. П Пример 81.1. Найти вычеты функции у (») = »2-'~ — т в ее особых точках. О Решение: Особыми точками функции 1(») являются: »г — — 1 — простой полюс, »2 — — 0 — полюс третьего порядка (гп = 3). Следовательно, по формуле (31.4) имеем Вез(у(»); 1) = 5»-~ — 4-; ~ = — ~ — = — 3. ( — )' ~,— 3 — 4 Используя формулу (31.5), находим: Вез(1 (»); 0) = — !пп ~(» — 0) , 4 ( = — йт ( ) = — 6 = 3.

° 2! * — ю~ »з»4,( 2 ~-ю[,1 — ») 2 1 Пример 81.й Найти вычет функции 1(») = е* в особой точке» = О. (,а Решение: Лорановское разложение данной функции в окрестности точки» = 0 было найдено в примере 30.4. Из него находим с г = 1, т. е. Вез(1(»); 0) = 1. Теорема о вычетах часто используется для вычисления интеграла от функции комплексного переменного по замкнутому контуру.

П пр р~.а в 1 ~, ж —,ру 4» (» — 1 — г! = ~/2. ь (» — 1) (» + 1) 225 : Ф~~ гь) = 1 (» — ц(» +ц (см. рис. 90) простой полюс»г = з и полюс второго порядка»г = 1. Применяя формулы (31.2), (31.3) и (31.5), получаем: = 2хз'(Вез(1(»); з) + Вез(Д»); Ц) = ь I » — з 1 . ( 1 = 2ггз Вш г,, + — 1пп ((» — Ц »-+г (» — Цг(»+ з)(» — з) 1. '*-гг 'з, (» — Цг(»г+ Ц/ 1 1 -2» ~ /1 1~ ггз =2хз' Вш г, +1пп, г) =2»з~ — — -( = — —. ° ~- ( -ц'(+) - ("+ц') Ь ( ОпРеделенный интеграл вида / В(зги х; сов х) Нх с о помощью замены» = е'* в некоторых случаях удается преобразовать в интеграл по замкнутому контуру ~»~ = 1 от функции комплексного переменного, к которому уже применима основная теорема о вычетах.

Пример 31..з. Вычислить с помощью вычетов инте- 1 »~2 *) о Рис. 90. Вез 1(»); — (( -3+ Л~' » г ~ о =ьл~'. о =ъа~') з~Д г -з~~~ь (»+ за) 5Я Следовательно Х = 1 2хз. = М~. з 575 25 О Решение: Произведем замену переменного, положив» = е'*. Тогда егя е-ы» + — »г 1 г1» = зе~*г1х = з»г1х, созх = 9 — 2'-© — = ' = » + . При изменении 2 2 2» х от 0 до 2к точка» опишет в положительном направлении окружность )»~ = 1. Слецовательно, Нх 1 гЬ 1 1»гЬ (3+2созх) У з»(3» 2»1~ы) з У (»»+3»+ ц в ру. ь~<1фу ~го>=~ * р. -р (» +3»+Ц ка»з = = — ~Ж По формуле (31.5) находим 2 Глава ! Х.

ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Операционное исчисление играет важную роль при решении прикладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике. Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих зги операторы, к рассмотрению более простых алгебраических задач. Методы операционного исчисления предполагают реализацию следующей условной схемы решения задачи. 1.