Лекции печатные (Письменный Д.Т. - Конспект лекций по высшей математике), страница 33

Тогда 122О (и(х+бьх;у+Ьу)+Хи(х+бхх;у+бху)) — (и(х;у)+зи(х~у)) ~~» 1»х + 11»у ьи+зьи ®Ьх+ фЬУ+а1) +1(фЬх+ $ЬР+ аг) 12х+ ЫУ бзх+ збхр 1"1х + Р' 1 бр + зв б бх + з~р~у а1 + заг + бзх+ ЫР ' 1»х+ зб»У' Заменяя в числителе правой части — на —, — на, согласно услоди ди де ди ду х' ду х' виям (28.5), получаем: бтбХР— »ах — Р"-бз У + 15-"; бг х + 1Р;12У Ьх + 11.'1у где а1+гаг бЬХ + зобр т. е.

ЬХО ув;(1хбх + Ыу) + зрв;"(2)бх + ХЬу) ди, ди з — д +д— зб а аз — бесконечно малая высшего порядка относительно ~Ь»~. Отсюда следует, что 11ш — иб = уб(») существует. При этом у'(») = —" +1 — ". ° Ьх-+О ~~» дх дх' С учетом условий Эйлера — Даламбера (28.5) производную дифференцируемой функции у(») можно находить по формулам Ххр( ) ди+ ди гх ( ) до+;ди (28.6) гб(») = ~й — 1'дй, УР(») = ду — 2'~ф. Правила дифференцирования функций действительного переменного справедливы и для функций комплексного переменного, дифференцируемых в точке».

Это означает, что если у1(») и (2(») дифференцируемы в некоторой точке» комплексной плоскости, то верно следующее: 1 (11(») ~.12(»)) 11(») х Л(»)р 2. (Л(»).Уг( )) =ЛР( ) Ь( )+И ) Л( ) З. (~ ')' '' " -~1' ' (Уг(»)~О), рг(») 12 (») 194 4. Если у(г) дифференцируема в точке г, а у(тг) дифференцируема в точке ю = 9т(г), то (у(1г(г))) = ~' (9т) 9т',(г). ДОо 28.5. Аналитическая функция. Дифференциал Фундаментальным понятием в теории функций комплексного переменного является понятие аналитической функции.

Однозначная функция т(г) называется аналитпической (голоморфной) в тпочке г, если она дифференцируема (выполнены условия Эйлера- Даламбера) в некоторой окрестности этой точки. Функция у (г) называется аналитпической в области Р, если она дифференцируема в каждой точке г Е Р. Как видно из этого определения, условие аналитичности в тпочке не совпадает с условием днфференцируемости функции в этой же точке (первое условие — более сильное). Точки плоскости з, в которых однозначная функция у(г) аналитична, называются правильными точками у(г).

Точки, в которых функция Дг) не является аналитической, называются особыми точками этой функции. Пусть функция ят = у(г) глалитична в точке г. Тогда 1пп — ~ =~'(г). с. 9Ь~ Отсюда следует, что ~~ = у'(г) + а, где а -т О при Ьг -т О. Тогда приращение функции можно записать так: Ьтг = г'(г)Ьг + агзг. Если т'(г) ф О, то первое слагаемое Г'(г)гзг является при 1зг -+ О бесконечно малой того же порядка, что и тлг; второе слагаемое аЬг есть бесконечно малая более высокого порядка, чем гзг.

Следовательно, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции ю = у(г). Дифференциалом Йтг аналитической функции тг = у(з) в точке г называется главная часть ее приращения, т. е. Йг=у'(г)ьг, или Йг=,т'(г)ттг (так как при тг = г будет Жг=г'тзг=Ьг). Отсюда следует, что т"'(г) =-Ж, аг ' 195 б. Если в некоторой точке г функция т'(г) дифференцируема н существует функция у ~(пт), дифференцируемая в точке тг = т (г), причем (у '(тг)) ф О, то ~'(г) = — 1 — ~, где у' 1(гт) — функция, обратная У'())' функции ((г).

Приведем без доказательства тпеорему о дифференцируемости осттовнмк элеменптарньтк функций комплексного переменного: функции тг = е*, тг = 91пг, в = созе, тг = зЬг, тг = сЬг, ю = г" (и Е И) дифференцируемы в любой точке комплексной плоскости; функции пт = 1к г и тг = 1Ь г также дифференцируемы в любой точке плоскости, кроме точек г = 2 + хк и г = (2 + 2хй) т (к = О, х1,~2,...) соответственно; для функций тг = Еп г, тг = г' в окрестности каждой точки г ф О можно вьщелить однозначную ветвь, которая является дифференцируемой в точке г функцией. т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменною. Замечание. Если функция Д«) = и(х; у) + Ы(х; у) аналитична в некоторой области П, то функции и(х; у) и и(х; у) удовлетворяют дифферендг дг циальному уравнению Лапласа ( — гу + — у = О, см.

п. 26.2). дх ду 1,.г( Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Даламбера по у, а второе по х, получаем: дг дг„ дг„ дг дхду ду' дх' дудх' откуда — т + — т = О. д' дги дх ду Функции и(х; у) и и(х; у) являются гармоническими функцалми. П Пример 88.8, Проверить, является ли функция га = «г аналитической. Найти ее производную. 1 а Решение: Находим действительную Нею = и и мнимую 1шы = и части функции: га = «г = (х + гу)г = хг — уг + 2гху.

Таким образом, и = хг — уг, и = 2ху. Проверяем условия Эйлера-Даламбера (28.5): $- =2х, $- =2х; ди ди х у ди ди — = — 2у, — — = — 2у. ду ' дх Условия (28.5) выполняются во всех точках комплексной плоскости «. Функция га = «г дифференцируема, следовательно, аналитична во всех точках этой плоскости. Ее производную найдем по одной из формул (28.6), например по первой: («) = — (х — у ) + г — (2ху) = 2х + 12у = 2(х + гу) = 2«, г д г г дх дх т. е. («г)' = 2«. Заметим, что производную функции га = «г можно найти, воспользо вавшись определением производной (28.4): («+ Д«)г «г 2«гг«+ (гг«)г га' = 11ш — = 1пп 1пп а -ю Ь« а о Ь« а о Ь« 1пп (2« + Ь«) = 2«. ° Ьл — ~0 П Пример йЦ. Найти аналитическую функцию га = и+Ы по ее заданной действительной части и = хз — Зхуг + 2.

О Решение: Отметим, что функция и является гармонической функцией (и,", = бх, и'„'„= -6х, следовательно, и,", + и'„'„= О). 19б Для определения мнимой части с воспользуемся условиями Эйлера- Даламбера (28.6). Так как — и = (хз — Зхуз + 2)', = Зхз — Зуз, то, согласно первому условию, де = Зхз — Зуз. Отсюда, интегрируя по у, находим: ау г де = )" — бу = /'(Зхз Зу') бу = Зхзу уз + 9,(х). l ду Для определения функции у(х) воспользуемся вторым условием Эйлера— Даламбера. Так как з — = (хз — Зхуз+ 2)' = — бху, ау 9 а — = (Зхзу — у + <р(х))' = бху+ 91'(х) ах то — бху = — (бху + ~р'(х)).

Отсюда ф(х) = О и у(х) = С, где С = сопзс Поэтому е = Зхзу — уз + С. Находим функцию и = и+ зе: и = и+ 19 = хз — Зхуз + 2+ 1(Зхзу — уз + С) = = х' + 13х'у — Зху' — )у' + 2+ С1 = (х+ зу)'+ 2+ 1С = г' + 2+ 1С. Ф 28.6. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении Пусть функция ю = 7(х) аналитична в точке хе и 7'(хе) ф О.

Выясним геометрический смысл аргумента и модуля производной. Функция и =,7'(х) отображает точку хе плоскости х в точку 799 = 7" (хе) плоскости и. Пусть произвольная точка х = хе+Ьг из окрестности точки хе перемещается к точке хз по некоторой непрерывной кривой 1. Тогда в плоскости ю соответствующая точка е7 = юе + Ью будет перемещаться к точке юз по некоторой кривой Ь, являющейся отображением кривой 1 в плоскости 7е (рис.

74). Рис, 74. По определению производной 7' (хв) = 1пп —. Отсюда следует, что ! Ь~и а оЬх' (('(хе)! = ) 1пп — ~! = 1пп (~~( = 1пп Ц. Величина 1гзз( = 1х — зе( представляет собой расстояние между точками хе и хе+ Ьх, а 1Ью1 — расстояние между точками ше и юе+ Ью. Слецовательно, 1,1'(хе) ( есть предел 197 отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками юо и юо+15ю к бесконечно малому расстоянию между точками»о и»о+ 11».

Этот предел не зависит (7'(») аналитична в точке»о) от выбора кривой 1, проходящей через точку»о. Слецовательно, предел 1пп р = (~ (»о)! в ьл-~о !11»! точке»о постоянен, т. е. одинаков во всех направлениях. Отсюда вытекает геометрический смысл модуля производной: величина !~'(»о)) определяет коэффициент растяжения (подобия) в точке»о при отображении ю = 7'(»). Величину !у'(»о)( называют ноэффиииенгпом распмгзесеншц если !.('(»9)! > 1, или коэффющиенгпом согсагпия, если (~'(»о)( < 1.

Пример»8.5. Найти коэффициент растяжения (сжатия) для функции ю = 2» в точке»о = 3 — 41'. 1 г О Решение: Функция ю = -»9 аналитична в точке»о — — 3 — 41, при этом ю' = ». Следовательно, !7'(»о)! = !»о! = !3 — 41! = 5 > 1. Коэффициент растяжения для функции ю = -» в точке»о равен 5 (плоскость растяги- 1 2 2 вается). Ф Для аргумента производной в точке»о имеем: Ью згй.('(»о) = 1пп агб — = !пп (а»баю — агйЬ») = Ьз-Ю 11» аг-+Π— 1пп агйгзю — 1пп агйЬ» = аз — а1, Ьз->о Ьз->о где а1 и аг — углы, которые образуют касательные к кривым 1 и Ь соответственно в точках»о, и юо с положительными направлениями действительных осей на плоскостях» и ю (см. рис.

74). Отсюда аг — — а1 + агбар'(»о). Это означает, что агйу'(»о) — это Угол, на который нужно повернуть касательную к кривой 1 в точке»о для того, чтобы получить направление касательной к кривой Ь в точке юо. Другими словами, агйу"'(»о) — это угол между отображенным и первоначальным направлениями касательных к кривым ! и Ь в точках»о и юо соответственно. В этом состоит геометрический смысл аргумента производной К У'(»9). В силу аналитичности функции 7 (») в точке»о (мы предположили, что У(»о) г= 0) угол агйз~(»о) один и тот же для всех кривых, проходящих через точкУ»о. ДлЯ ДРУгой паРы кРивых 11 и Ь1 в тех же точках»о и юо бУДем иметь аг$7 (»о) =໠— а1 — ф. Гаким обРазом, злу'(»0) =໠— а1 — аг — а1, т.