Лекции печатные (Письменный Д.Т. - Конспект лекций по высшей математике), страница 32

Например, е" = -1( О. 188 Логарифмическая функция П Ф Эта функция определяется как функция, обратная показательной: чие! ело ш называется логарифмом числа г ф О, если е = г, обозначается ш = Епг. Так как значения показательной функции е = г всегда отличны от нуля, то логарифмическая функция ш = Ьпг определена на всей плоскости з, кроме точки з = О (стало быть, имеет смысл и выражение Ьп( — 2)). Положив х = г е"', иг = и + 1о, получим, согласно определению логарифмической функции, е"+'" = г ° ег~, или е е'" = г ег~.

Отсюда имеем: е" = 'г, о = у + 2Ьг, т. е. и = 1п г, э = ~р + 2Ьг (и = О, ~1, ~2,... ). Следовательно, гв = Ьпх = и+Ы = 1пг+1(у+ 2Ьг) = 1пф+1(агбз+ 2йя), (28.2) т е. Ьпз=1п Ц+1(зхбз+2Ьг) или, Ьпх=1п)з)+1Агбз, где Агбз=агбз+2Ьг. Формула (28.2) показывает, что логарифмическая функция комплексного переменного имеет бесчисленное множество значений, т. е. ш = 1пз — многозначная функция. Однозначную ветвь этой функции можно выделить, подставив в формулу (28.2) определенное значение й.

Положив и = О, получим однозначную функцию, которую называют главным значением логарифма Ьпз и обозначают символом 1п хс 1п з = 1п )г~ + г' агйх, где — я < агйз < я. (28.3) Если х — действительное положительное число, то ахйз = О и 1п з = 1п ~з~, т. е. главное значение логарифма действительного положительного числа совпадает с обычным натуральным логарифмом этого числа.

Формулу (28.2) можно переписать так: 1лг = 1пз+ 21гяй Из формулы (28.2) следует, что логарифмическая функция пг = Ьпз обладает известными свойствами логарифма действительного переменно- Ьп(хч зз) = Ьп зг + 1 п зю Ьп — = Ьпзг — Ьпзз, ~ хз ~ Ьпз" = и 1 из, 1 1 п ~/з = — Ьп з.

п ( й Докажем, например, первое свойство: Ьп(хг гз) = 1п (хг зз(+1Аг8(хг зз) = 1п()зг) ")зз)) + 1(Агбзг + Агйзз) = = (1п (з1 ( + 1Аг8зг) + (1п ) зз ) + 1Агйзз) = Ьп зг + 1л зз. ° Пример 88.в. Вычислить 1п( — 1) и 1п( — 1); 1п21, („',1 Решение: Для числа х = — 1 имеем ф = 1,ахйх = я.

Следовательно, 1л( — 1) = 1п1+ 1(гг + 2кя) = Рх(21г+ 1), 1п( — 1) = гг1 (формулы (28.2) и (28 3)); 1п21 = 1п ~2г~+1зх82г' = 1п2+1Я. Степенная функция иг = в" Если и — натуральное число, то степенная функция определяется равенством гв = х" = г" (созпгр+1з1пп9г). Функция гв = з" — однозначная. 189 Если п = — (д е 1Ч), то в этом случае Д / згкв+ 2кт,, вгкв+ 2Ьг'1 З1 = 22 = Д/В = Цг~~СОВ + 1в1п ), Д Д где й= 0,1,2,...,д — 1.

1 здесь функция з1 = 2 т есть миогозяачиая (д-зиачиая)'фуикция. Одиозиачиую ветвь этой функции можно получить, придав Й определенное значеиие, например й = О. Если п = с, где р, д Е И, то степенная функция определяется равен- ством . г — / Р(агкв+ 2Ьг) . Р(згкз+ 2Ьг) +191П Д Д Р Функция и = вч — многозиачивя.

Степенная функция ю = за с произвольным комплексным показателем а = а + Ц определяется равенством за еаЬпа Функция и = ва определена для всех 2 ф О, является многозначной функ1Ьп ' 1 Д +2ав! цией. Так, 11 = е11'пв = е 2 = е 2, где к = О,х1,х2,... При — к й = 0 имеем: 11 = е Тригонометрические функции Тригонометрические функции комплексного аргумента 2 = х+!р определяются равенствами Ева Š— ва ега+е " апв =,, сов в = 21 ' 2 21п 2 сов » вкг = —, сзй» = —. сов г 8Ш 2 При действительных 2 эти определения приводят к тригонометрическим функциям действительного переменного.

Так, при в = х (р = 0) ев* — е га 1 1 в!пв = . = —,(совх+тв!пх — (совх — 121пх)) = —,21зшх = вшх. 21 21' 21' 190 Тригонометрические функции комплексного переменного сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного перемен- ного. В частности, ап 2+сов 2 =1, 2 в!п22 = 22!пвсовз, сов(21 + 22) сов21 сов22 21П21 21пвз> в!п(2+ 2л) = апв, сов( — 2) = сов 2, вш( — 2) = — в!ив, Вй(в+я) =1йв, 7Г совх = 0 при в = — +Аз (й = 0,~1,~2,...), 2»к» СК2» = 1 »йг»' я 81п(»+ — ) = сов», Зх з1п(» + — ) = — сов», 2 и т.д. Докажем, например, первое свойство: сйп»+сов» = .

+ 2 1 е-г«ь ег«ч + 2 1 е — г«ь — 4 4 ег«и+ 2 е — го +егъ«+ 2+с г««м — — = 1. ° 4 4 ДОО Отметим, что тригонометрические функции 91п» и соз» в комплекс- ной плоскости» неограничены: 1пп з1п» = оо, !пп соз» = со. Так, 1«««ь — «~оо ь««»-«~со -1 например, сов1 = е х е — в 1,54 > 1, сов 31 > 10. и т.д.

Из определения гиперболических функций следует, что функции зЬ» и сЬ» периодические с периодом 2хг; функции»Ь» и с$Ь» имеют период ЛЪ', 191 Гиперболические функции Эти функции определяются равенствами е* — е ' е" +е ' вЬ» сЬ» зЬ» =, сЬ» =, ФЬ» = —, с»Ь» = —. 2 ' 2 ' сЬ»' . зЬ» Легко заметить связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями. Заменяя в указанных функциях» на г», получим: вЬв» = г'91п», или 91п»= — 1»Ь1», сЬ г» = сов» (а также Фб1» =1»й», с$51» = — 1с1я»).

Пользуясь этими равенствами, можно получить ряц формул, связывающих гиперболические функции. Так, заменяя в формуле зввг»+сов»» = 1 тригонометрические функции гиперболическими, получим ( — Ф'зьг»)г+ (сЬ1»)г = 1, или — зЬ 1» + сЬ г» = 1. Так как здесь» — любое комплексное число, то г ° г ° г» можно заменить на»; получим формулу сЬ㻠— вЬг» = 1. Приведем еще ряд формул: сЬ2» = сЬг» + вЬг», сЬ( — ») = сЬ», зЬ2» = 29Ь»сЬ», вЬ( — ») = — зЬ», сЬ(»«+»г) = сЬ»« сЬ»г+вЬ»«зЬ»г, вЬ»+сЬ» = е, Обратные тригонометрические и гиперболические функции Я Число ю называется архсинусо и числа», если зш ю = », и обозначается ю = Агсз!и».

Используя определение'синуса, имеем» = з!пю = .е, или 21 '" — 21** — 1=0.0* ' = '*-:- 2 ««1,*., ' '*« '1 — * (перед корнем можно не писать знак х, так квк ~/1 — »з имеет два значения). Тогда но = Ьп(т» + Я вЂ” » ), или ю = —. Ьп(!» + Я вЂ” »г). Таким 1 т образом, ю = Агсз!и» = — 2 Ьп(2»+ ЬУ1 — »з). Функция ю = Агсз!и» многозначна (бесконечнозначна). Аналогично определяются другие обратные тригонометрические функции.

Можно показать, что Агссоз» = — 1Ьп(»+ «/»» — 1), 2 «вЂ » Агсгб» = — — Ьп — (» ф хт), 2 т+» 1» — 3 Агсссй» = — Ьп —, (» ф хт). 2»+т Функции, обратные гиперболическим, обозначаются соответственно ю = АгзЬ» (ареас!гнус), ю = Агс1ы (ареахосинус), ю = А»1Ь» (ареатпанггнс), ю = АгсгЬ» (ареахотангенс). Обратные гиперболические функции имеют следующие выражения: АгзЬ» = Ьп(» + ~«УР+ 1), АгсЬ» = Ьп(» + ~/»г — 1), 1 1+» , 1 »+1 Аг!Ь» = — Ьп —, АгсгЬ» = — 1 и —. 2 1 — »' 2» — 1 Все эти функции бесконечнозначны, 28.4.

Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Эйлера-Даламбера Пусть однозначная функция ю = 7(») определена в некоторой окрестности точки», включая и саму точку. Тогда предел ЬЮ 1(» + с«») — т (») (28.4) ат — «О «а» а2 — «О 2Ь» если он существует, называется производной функции 7(») в тпочхе», а функция 7'(») называется дифференцируемой в тпочхе». Подчеркнем, что в равенстве (28.4) А» любым образом стремится к нулю, т. е. точка»+ с«» может приближаться к точке» по любому из бесконечного множества различных направлений (см.

рис. 72) (в аналогичной ситуации »+А» для функции одного действительного переменного точка х + Ах приближается к точке х лишь по двум направлениям: слева и справа). Рис. 72. 192 Из дифференцируемости функции 7" (х) в некоторой точке х следует ее непрерывность в этой точке (отношение — при Ья -о О может стремитьОло ся к конечному пределу Г'(я) лишь при условии, что и Ьш -+ О). Обратное утверждение не имеет места. При каких условиях функция ш = 7'(я) будет дифференцируемой в данной точке? Равенства (28.5) называются условиями Эйлера — Даламбера (или условиями Коши-Римана). ( а Необходилеостпь Пусть функция Де) дифференцируема в точке в, тогда предел (28.4) существует и не зависит от пути, по которому Ья = Ьх+Ыу -+ О. Можно считать, что точка х + Ьх приближается к точке х по прямой, параллельной действительной оси (оси Ох), т. е.

Ьг = сХх + О, Ьу = О (рис. 73). Тогда Рис. 73. (и(х+ Ьх;у) + Ы(х+ Ьх;у)). — (и(х;у) +!о(х;у)) 7 (е) = 1пп ьх->о Ьх (и(х+ Ьх;у) — и(х;у)) + г(о(х+ Ьх;у) — о(х;у)) ! 1тп ья-+о Ьх Ь и+!а и, Ь и,, Ь о ди до — 1пп 1пп — *+! !пп — * = — +1 —. ь*-~о Ьх ь*-+о Ьх ьх — ~о Ьх дх дх Если же точка я+Ьх приближается к точке з по прямой, параллельной мнимой оси (оси Оу), то Ьв = !ау -з О, Ьх = О. В этом случае (и(х; у+ Ьу) +!о(х;у+ Ьу)) — (и(х;у) +!о(х;у)) 1 (я) = 1пп ьт- о гну Ь„и+ Ы„о,ди до до ди 1пп, — 1 + ьр-~о !ау ду ду ду ду Сравнив найденные пределы, получим ди + ! —" = —" — 1ди = у'(з).

Зх дх ду Зу Отсюда следует: ди = д", ди = — д". ' дх ду' ду с!х' 193 Теорема 28.1. Если функция ш = и(х; у) + (о(х; у) определена в некоторой окрестности точки х = х + !у, причем в этой точке действительные функции и(х;у) и о(х; у) дифференцируемы, то для дифференцируемости функции ш = 7(я) в точке х необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства ди до ди до (28.5) дх ду' ду дх Досгпагпочносгпь Пусть теперь условия (28.5) выполняются. Докажем, что функция г" (») дифференцируема. Так как функции и(х; у) и и(х; у) дифференцируемы в точке» = х+ Ху, то их полные приращения можно представить (см. Часть 1, (44.4)) в вице бьи = б"1х + б"1у + а1, бьи = бьх + †б + аг, где а1 и аг— ди ди д ди х у ду б б р~, ~ХХ = р1б*р;- (бр)'.