Лекции печатные (Письменный Д.Т. - Конспект лекций по высшей математике), страница 36

1.3 По условию ряд с общим членом (и„! =,/а~ + 6~ сходится. Тогда в силу очевидных неравенств (а„! <;/а~ + 6~ и (Ь„! < „/а~ + Ь~ и на основании признака сравнения.(теорема 14.1) сходятся ряды ~', !а„! и 2; !6„!. к=1 к=! Отсюда следует сходимость ряцов (30.2) и (30.3), а значит, и абсолютная сходимость ряца (30.1). Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму Я, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму Я, что и исходный ряд. Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно складывать и перемножать.

При исследовании на сходимость рядов с комплексными членами применимы все известные из действительного анализа признаки сходимости знакопостоянных рядов, в частности признак Даламбера: если существует 1!пп !-вхь ~ = 1, то при 1 < 1 ряд (30.4) абсолютно сходится, а при 1 > 1— ь-!ао ! иь расходится. ДО® 30.2.

Степенные ряды Стлетьеммым рядом в комплексной области называют ряд вида с„э" = с!з + с!э +... + с„х" +..., о=о (30.5) сп(л зо) (30.6) который называют рядом по степеням разности э — хо, хо — комплексное число. Подстановкой э — хо = 8 ряд (30.6) сводится к ряду (30.5). Ряц (30.5) при одних значениях аргумента х может сходиться, при других — расходиться. Совокупность всех значений э, при которых ряц (30.5) сходится, называется областпью сходимостпи этого ряда. Основной теоремой теории степенных рядов является теорема Абеля, устанавливающая область сходимости степенного ряда.

з!о где с„— комплексные числа (коэффициентам ряда), г = х + гу — комплексная переменная. Рассматривают также и степенной ряд вида Теорема 30.3 (Абель). Если степенной ряд (30.5) сходится при з = зэ ф 0 (в точке зо), то он абсолютно сходится при всех значениях з, удовлетворяющих условию !4 < 1зо!. Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы Абеля в действительном анализе (теорема 17.1). Следствие 30.1.

Если ряд (30.5) расходится при з = зэ, то он расходится при всех значениях з, удовлетворяющих условию (г! > 1зэ) (т. е, вне круга радиуса (зэ! с центром в начале координат).. Из теоремы Абеля следует существование числа В = 1зэ~ такого, что при всех значениях з, удовлетворяющих неравенству ~г~ < В, степенной ряд (30.5) абсолютно сходится. Неравенству (з! < В удовлетворяют точки комплексной области, лежащие внутри круга радиуса В с центром в точке з = О. Величина )зэ) = В называется радиусом сходимосгпи ряда (30.5), а круг )зо) <  — кругом сходимоспти ряда.

В круге )зэ) < В ряд (30.5) сходится, вне этого круга — расходится; на окружности ~гэ~ = В могут располагаться как точки сходимости, так и точки расходимости ряда. Принято считать, что В = О, когда ряд (30.5) сходится в одной точке з = 0; В = оо, когда ряд сходится на всей комплексной плоскости. Кругом сходимости ряда (30.6) является круг (з — зо) < В с центром в точке з = зэ.

Радиус сходимости ряда (30.5) можно вычислить по формуле В = 1пп ~-Еа — ~ (или В = „), получаемой после применения 1 и-~оэ сячч 1пп " (с„! признака Даламбера (или Коши) к ряду из модулей его членов исходного ряда. Приведем (без доказательств) некоторые свойсгпва степенного ряда. 1. Сумма степенного ряда внутри круга его сходимости есть аналитическая функция.

2. Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать любое число раз. Полученный при этом ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. Пример 30.1. Найти область сходимости ряда 2 зи. я=о и' (,) Решение: Здесь с„= — м ся.ы = 1 1 и!' и+1!' В= 1пп — ~ = 1пп = 1пп (и+1) = ос, с„1, (и+ 1)! н-н:о с +~ ~ и-ню п1 ь->со т. е. В = оо.

Следовательно, областью сходимости является вся плоскость г. Пример ЯО.«. Найти область сходимости ряда 2 Ь-1)" „о и+1 2"' 2"+г и+ 2) („"1 Решение: Здесь В = 1пп = 2. Данный ряд сходится В о-+оо и+ 1)2 области )« — 1) < 2. Ф Пример 30.3. Определить радиус сходимости ряда 2 , '( — 1) "+' «и исследовать сходимость ряда в точках «г = О, «г = г, «з = 3 — 2г. (,а Решение: Воспользуемся признаком Даламбера. Здесь ~ го~ ) го+«~ „~ го+г~ ~- (и„) = —, (и„+г) =, 11ш — = 1пп го тУй ' 1/и+ 1' о-Роо ио ~ и — Р'о ~/и+ Ц«г" ~ Ряц сходится при всех «, удовлетворяющих неравенству фг < 1, т, е.

)«~ < 1. Кругом сходимости является круг с центром в точке « = 0 и радиусом 1. Точка «г —— 0 лежит внутри круга сходимости, в этой точке ряд сходится абсолютно. Точка «г = 1 лежит на границе круга сходимостн, в этой точке ряд может сходиться (абсолютно или условно) н расходиться. Подставляя значение «г = 1 в выражение общего члена ряда, получим о» ор г:рг ~:А г:е р ч рр р ,/и,/п,/й 7п' членом и„= — расходится согласно интегральному признаку Коши (те- 1 /й орема 14.5).

Следовательно, в точке «г = г степенной ряд 2 ( — 1)" "' « о=о туй расходится. Точка «з —— 3 — 21 лежит вне круга сходимости, ряд в этой точке расходится, ЗО.З. Ряд Тейлора 11«) = ~~',с (« — «о), рр= о (30 7) коэффициенты которого определяются формулами с„= = — ~ „, сК (и=0,1,2,3,...), ~'"'( ) ° я) кй 2я.г (б «о) "+' (30.8) где 1, — произвольная окружность с центром в точке «о, лежащая внутри круга. Теорема 30.4. Всякая аналитическая в круге )« — «о! < В функция 11«) может быть единственным образом разложена в этом круге в степенной ряд Рис.

84. 1 4:«О с — «(с — «о) — (« — «о) (с — «о) (1 — з~--*,~) 1 — 1 — ~о Так как (« — «о) < )с — «о), то ! — — п~ < 1, следовательно, выражение )Π— «О 1 1 — «о можно рассматривать как сумму членов бесконечно убываю- 1 — -*=-~ е-«« щей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем 1 Π— «О — — д.

Таким образом, Π— «О 1 1 « — «о (» — »о)' (« — «о)" — + 2 + з+ '+ +... — 4 — «о Ы вЂ” «о) Ы вЂ” «о) Ы вЂ” «о)" Умножим обе части этого равенства на величину —.7'(() и проинтегриру- 1 2кз' ем его почленно по контуру 1„. Получим: — — — к+( -") —.~, к+ 1 П0 1 УЫ) 1 Пб) 2кз' ~ — «2«гз' ь' — «о 2«гз' (~ — «о)2 ! + (« — «о) — )) 2 1 «() 1 )(ь) з~ь+ .. +(««О) „+, Н('+..., 2кз (с «о) 2т' 2 (Π— «о) .. л*) = й)* - *.) 1 ~ -~1)4, - г)*) = х )* - *.г,- =о 2«г«' / (1 — »о)"+ ' ««=О 1 „=« .

« — ф««) = °,1,2,...).И у ф Р У У)2«1«), у- М) К 2дз 2 (~ — «о)" чим представление коэффициентов ряда через и-е производные функции у(и) г у(«) вточке«о) с = О (и=0 1 2" ). п. Таким образом, мы получили разложение функции у(«) в степенной ряд (30.7), коэффициенты которого определяются по формулам (30.8).

Докажем единственность этого разложения. Допустим, что функция у(«) в круге ~« — »о) < «)1 представлена другим степенным рядом у(«)=ь +ь1(««о)+ь2( О) +...+ь (» «о) +... 212 Степенной ряд (30.7) называется рядом Тейлора для функции 7(«) в рассматриваемом круге. ( Ь Возьмем произвольную точку «внутри данного круга и проведем окружность с центром в точке «О и радиусом г < Л так, чтобы точка «находилась внутри круга ~« — «О~ < г (см. рис. 84).

Так как функция 1(«) аналитична в круге ~« — «о~ < г и на его границе 1„то ее значение в точке «можно найти по формуле Коши (29.9): Д«) = —. у — дс, где ( — точка на окружности 1,. Имеем: г ~(~1 Последовательно дифференцируя почленно этот ряд бесконечное число раз, будем иметь: У (з) = 61 + 262(з — зо) + 36з(з — зо) +... + пЬ ь(ъ — зо)" 1 + " ~л(г) = 2Ь2 + 3 26з(х — зо) +...

+ п(п — 1)6„(з — зе)" 2 +..., 7"'(з) = 3 2Ьз+ .. +п(п — 1)(п — 2)Ьп(з — зо)" з+ 1 ~!"!(з) = и! Ь„ + (и + 1)! 6„4.1 ° (Ь вЂ” го) + ..., ДОо Полагая в этих равенствах, а также в исходном ряде з = зе, получагл/ У!"!'зе' найденные коэффициенты Ь„ряда с коэффициентами ряда (30.7), устана- вливаем, что Ь„= с„(п = О, 1, 2,... ), а это означает, что указанные ряды совпадают. Функция Дз) разлагается в степенной ряд единственным образом.

° Приведем разложения некоторых элементарных функций в ряд Тей- лора (Маклорена): з е* = 1+ — + — + — +..., 1! 2! 3! 3 б 7 сбит=я — — + — — — +..., 3! 5! 7! 2 4 6 соек= 1 — — + — — — + ..., 2! 4! б! з !п(1+2) = х — — + — —..., 2 3 о о(о — 1) 2+ о(о — 1Но — 2) з+ 1! 2! 3! Первые три разложения справедливы во всех точках комплексной плоскости, последние два — в круге ф < 1. Заменив я на 42 в разложении функции е*, получим: )2 (; )з е" =1+ — + — + — + ° 1! 2! 3! т. е. формулу Эйлера е'* = соз з + 1 сйп ж 30.4.

Нули аналитической функции 214 Как показано выше, всякая функпня Дз), аналитическая в окрестности точки зе, разлагается в этой окрестности в степенной рцц (30,7): коэффициенты которого определяются по формулам (30.8). Точка»о называется кулем фуюсции Д»), если г(»о) = О.