Лекции печатные (Письменный Д.Т. - Конспект лекций по высшей математике), страница 35

Можно показать, что если Г(з) есть некоторая первообразная для у(з), то совокупность всех первообразных у(з) определяется формулой Г(з) + С, где С = сопзс. Совокупность всех первообразных функций у(з) называется нео«тределенмыаз имгпегралом от функции у(г) и обозначается символом / у(з) 0Ь, т. е. пусть функция Г(з) = / у(з) 0«з есть первообразная функция для «0 1 у(з). Следовательно, / Дз) 0(з = Г(з) + С.

Положив здесь з = зе, по- 10 лучим 0 = Г(зв) + С (контур замкнется, интеграл равен нулю). Отсюда 204 С = — Г(яз), а значит, Полученная формула называется формулой Ньютона-Лейбници Интегралы от элементарных функций комплексного переменного в области их аналитичности вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и в действительном анализе. в~я Так, / е'дя = е'+С; ~я1пяпя = — спея+С; / Зязпя = 3 Я ~ = — 1 и 3~,— о т. д. Пример вз.2. Вычислить интегралы: а) у я — яр б) ~(з — зз)"<Ь (и ф — 1), где Ь есть окружность ради- я уса Н с центром в точке гз, обходимая против часовой стрелки (см.

рис. 81). („) Решение: а) Теорема Коши неприменима, т. к. функ- рис 31 ция — не аналитична в точке зз. Параметрические 1 З вЂ” Яо уравнения окружности Е есть х=хз+Всоя1, р=уз+Ня|п1, где О<1<2х. Следовательно, з = х+1у = хз+Н соя $+1уе+1Н я1п Г = (хз+1дз)+В(соя1+г я1п Ф) = аз+Я е". Таким образом, мы получили, что комплексно-параметрическое уравнение данной окружности есть я = го+ Н е*', 0 < г < 2я. Поэтому по формуле (29.4) получим: зк .

Н и зк / а ~~ 1/ 0 б) При и ~ — 1 имеем: ~ (я — яе)" и» = / (гя ° е' ) Н з' . е' й = Ь 0 ец" ~цс з и+1 $0 0 Ни-~-1 Ни+1 и+1 (соя 2х(и + 1) + з яш 2л(п + 1) — ез) = (1 — 1) = О. и+1 Итак, ~Ь = 2зъ', ~(з — «0)"<Ь = О, и — целое, п ~ — 1. З вЂ” Зо Ь Ь 205 29.3. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши Теорема 29.2. Пусть функция Д«) аналитична в замкнутой односвязной области Р и Ь вЂ” граница области Р. Тогда имеет место формула 1 Л«) (29.5) Интеграл, находящийся в правой части равенства (29.5), называется ммптегралом Лом«и, а сама эта формула называется имтпеаральмой формулой Ком«м. Формула Коши (29.5) является одной из важнейших в теории функций комплексного переменного. Она позволяет находить значения аналитической функции Д«) в любой точке «е, лежащей внутри области Р через ее значения на границе этой области.

( й Построим окружность 1« с центром в точке «е, взяв радиус т столь малым, чтобы данная окружность была расположена внутри области (чтобы 1„не пересекала Е). Получим двусвязную область Р1 (заштрихованную на рис. 82), ограниченную контурами Х и 1„в которой функция †(-)- аналитична. « — «е Тогда, согласно следствию 1 из теоремы Коши, имеем: У(«) г(«( Д«) ~Ь Х « — «о ~ « — «о ь Рис. 82. Отсюда следует: 1 ( П«) 4«1,~ У(«о) + У(«) — У(«о) 2яз' .Т « — «о 2х1 Х « — «о = —,.и") ~ —,, + —,., ~ й« 1 У(«) — У(«е) 1 ( Д«)с(« 2я4 ~ « — «е ь Но в ~« = 2яз (см.

пример 29.2). Следовательно, « — «о 1 г Д«) д«1 . 1 г У(«) — У(«е) = —..г" («е) ° 2я( + —, )1 г(«, 2яз' 3 « — «о 2хг' 2лъ' )' « — «о ь т. е. 1 г у(«)Ж т( ) 1 г у(«) — у(«е) „ 2яй Х « — «о 2яз Х « — «о ь тое где «е ŠР— любая точка внутри области Р, а интегрирование по контуру Ь производится в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки).

Оценим разность в левой части равенства (29.6). Так как аналитическая функция у(х) непрерывна в точке хс Е Р, то для любого числа е > О найдется число т > О такое, что при (х — зо~ < т (на окружности г„имеем )х — зо! = т) справедливо неравенство )Дх) — У(хе)( < е. Применяя свойство 6 об оценке модуля интеграла (п. 29.1), имеем: ! 1 1 «х) йх у( ) 1 Т 7(г) 7(го) 2тт' х — хо 2тгт ~ х — зо Ь 1 г Ях) — У(хо)! 1 е < — у гЬ < — -2ят = е.

2т У 1х — хо! 2я т Так как е может быть выбран сколь угодно малым, а левая часть последнего неравенства не зависит от е, то она равна нулю: 1 г ~(з)гЬ вЂ” 7(хе) = О, 2кт' У х — хе откуда следует формула (29.5). Отметим, что интегральная формула Коши (29.5) справедлива и для многосвязной области: каждый из контуров обходится так, чтобы область Р оставалась слева.

Применяя интегральную формулу Коши, можно доказать следугощие теоремы-следствия. Таким образом, производная анаяитпической функции тпакзтсе явяяетпся анаяитпическот2 функцией Напомним, что из дифференцируемости действительной функции не следует даже существования второй производной (функция у = ~/х имеет производную в точке х = О, а производная этой функции --г — при х = О 1 1 не существует). 207 Ряд (29.8) называется рядом Тедлора функции Де) в точке «о. Ряд Тейлора дифференцируемой в точке ео функции существует и сходится к самой функции. Ряд же Тейлора для действительной функции Дх) может сходиться к другой функции или быть расходящимся. Замечание.

Формула и-й производной функции Де) может быть получена из формулы Коши Де) = —, ~ — д5 1 ° П0 (29.9) 2к1 г Š— х (в формуле (29.5) заменено е на б, ео на е) путем последовательного дифференцирования равенства (29.9) по % и. '~ Дс) 2к1 / (~ х)о+1 Формулы (29.5) и (29.7) можно использовать для вычисления интегралов по замкнутым контурам. Пример 89.Э.

Вычислить 4 -2 — ~ —, где а) Ь вЂ” окружность ~г~ = 1, б) у я+4' Ь вЂ” окружность |е — 1~ = 2. 1 е Решение: а) функция Де) = -т — является аналитической в области 1 х +4 (х! ( 1, В силу теоремы Коши имеем у -2 — = О. Г ~Ьх У е +4 б) На рисунке 83 предсйавлена область, ограниченная контуром интегрирования. В этой области ~е — 1~ ( 2 находится точка х = 21, в которой знаменатель подынтегральной функции равен нулю.

Пере- 1 пишем интеграл в виде )1 -2 — — — )( —, дх. 7 де 1" 1-21 Ух+4 Ух — 21 Ь Б' Функция Де) = . является аналитической в данной 1 я+21 области. Применяя интегральную формулу Коши (29.5), нахо- дим: Рис. 83. Пример в9.4. Вычислить ~ 9~~~ ~ сЬ. !.1=1 (.р Решение: Внутри круга и на его границе ~е~ = 1 функция Дх) = созе аналитична. Поэтому, в силу формулы (29.7), имеем соз е г соз х 2т1' — гЬ= у Иг= — (соз е)а~ =111( — соз е) = — я11 (е-О)2+1 2! ~ =о !г=о )4=1 (г(=1 Э 208 330. РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 30.1.

Числовые ряды Ряд ип =и1+ия+ "+ип+ "> п=1 (30.1) членами которого являются комплексные числа, называется числовым рядом (в комплексной области). Ряд (30.1) с комплексными членами ип = ап + йп можно записать в виде ип = ~ (ап + йп) = (а1 + й1) + (аз + йз) +... + (ап + йп) +..., п=1 где ап и Ьп (и = 1, 2, 3,... ) — действительные числа. п и и и Сумма Я„= ~ иь = ~ (аь+ 1Ьь) = 2 аь+1 2 Ьь первых и членов я=1 1=1 1=1 1=1 ряда (30.1) называется и-й частичной суммой ряда. Если существует конечный предел о последовательности частичных сУмм оп РЯДа: Я = 1пп оп = 1пп ~', аь + 1 11га 2 ЬЫ то Рнц (30.1) на=1 и->со ь зывается сходящимся, а о — суммой ряда; если 1пп о„не существует, то ряд (30.1) называется расходящимся.

Очевидно, что ряд (30.1) сходится тогда и только тогда, когда сходится каждый из рядов ая = а1+ аз+ .. + ап+ .. Е Еп1 (30.2) Ьь = Ь1 + Ьз + ... + Ьп + ... 1=1 При этом о = 51 + 1оз, где 51 — сумма ряда (30.2), а Яз — сумма ряда (30.3). Это означает, что исследование сходимости ряда с комплексными членами сводится к исследованию сходимости рядов (30.2) и (30.3) с действительными членами.

В теории рядов с комплексными членами основные определения, многие теоремы и их доказательства аналогичны соответствующим Определениям и теоремам из теории рядов с действительными членами. Приведем некоторые из них. Осгиагихом ряда (30.1) называется разность гп = ипг1 +ипат+...

= ~~1 иь = ~~1 аь+1 ~ ~Ьы Ь= +1 Ь= +1 Ь=п+1 909 Теорема 30.1 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд (30.1) схо- ДитсЯ, Яо его обЩий член ип пРи и -1 со стРемитсЯ к нУлю: 1пп ип = О. Ряд (30.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд ~!и !=!и!!+!иг!+" +! !+" (30.4) Теорема 30.2. Если сходится ряд (30.4), то абсолютно сходится ряд (30.1).