Лекции печатные (Конспект лекций по высшей математике - Дмитрий Письменный), страница 37

В этом случае разложение функции 1(») в окрестности точки»о в степенной ряд не содержит нулевого члена, т.к. со = г(»о) = О. Если не только со — — О, но и сг — — с» = ... = с 1 — — О, а с ~ О, то разложение функции Д») в окрестности точки»о имеет вид Д») = с~(» — »о)™+ с~.н(» — »о)~~~ +... + си(» — »о)" + ° ° °, (30 9) а точка»о называется нулем кратности т (или нулем га-го порядка), Если гп = 1, то»о называется простым нулем. Из формул (30.8) для коэффициентов ряда Тейлора следует, что если»о является нулем кратности гп функции д(»), то Г'(»о) = )ч(»о) = ...

... = ~<~ 0(»о) = О, но ~<~)(»о) ~ О. В этом случае представление функции степенным рядом (30.9) можно переписать в виде 1(») = (» — »о)™у(»), где (30.10) р(») = с + с +1(» — »о) + ... Для функции ~р(») точка» = »о уже не является нулем, так как ср(»о) = = с,„ф О. Справедливо и обратное утверждение: если функция Г'(») имеет вид (30.10), где, т — натуральное число, а ~о(») аналитична в точке»о, причем у(»о) ф О, то точка»о есть нуль кратности гп функции Д»). ДОО 30.5. Ряд Лорана у(») = ~~', с (» — »о) (30.11) коэффициенты которого определяются формулой с„= —, ~ „~г д~ (я= О,х1,х2,...), У(0 2я1 У (с — »о) "+г (30.12) где Ь вЂ” произвольная окружность с центром в точке»о, лежащая внутри данного кольца.

Ряц (30.11) называется рядом Лорана для функции Д») в рассматриваемом кольце. Д Возьмем произвольную точку» внутри кольца г < (» — »о~ < В и проведем две окружности Ь1 и Ь» с центрами в точке»о так, чтобы точка» была между ними и каждая окружность находилась внутри данного кольца (см. рис. 85). Функция Г (») аналитична в кольце между окружностями Ь1 и Ьз и на самих окружностях. Поэтому по формуле Коши для многосвязной области 215 Теорема 30.5. Всякая аналитическая в кольце г < !» — »о( < В (О ~< г <»1 < оо) функция Д») может быть разложена в этом кольце в ряд имеем ~( ) = —. У вЂ” йб = — 4 (б — —, У вЂ” 1б, (30.13) 1 г До) 1 г Я) 1 г До) 2»г' С вЂ” » 2яг У ~ — » 2лг' .( ( — » ь|.ььг Ь'р »1 где обе окружности Ъ| и .бг обходятся против часовой стрелки.

Преобразуем слагаемые, стоящие в правой части равенства (30.13), рассуждая, как и при выводе формулы Тейлора. На окружности Ьг выполняется неравенство (» — »о~ <. < ~б — »о~, или ~» — и( < 1. Поэтому дробь можно 1о — »о ( представить в вцце 1 1 1 — (б — »о) — (» — »о) (б — о)(1 — ~а=-~) » — »о (» — »о) Тогда 2я(1-» 2я(1-»о 2гг( (4-»о) 2я( Ы-»о)" Проинтегрируем это равенство по контуру Ег. 1 УЫ) 1 М) +(» — «о) —. ~ 1 г Дс) „1.

г Я) ~К+...+(» — »о)" —. ~ „~,И~+..., 2»г' .( (с — »о)г Ы вЂ” »о) "+' ь» ьг (30.14) т.е. —. у ос = ~ с„(» — »о)", где 2»г',( »г с„= —, )( „+ НЕ (п=0,1,2,...) 1 г Я) (ь — »о) Ь, 1 1 — ( -")-(~-") (.—.)(1-Я) 1 ( — »о (ь — »о) + г+ + и+1+ » — »о (» — »о) (» — »о) Значит, '(') + ' ' " я)+ + — ' " "' я)+ 2яг' (» — »о) 2»г (» — »о) 2яг' (» — »о)"+ 1 УЫ) гьэ у(в) ( ) (здесь с„ф, так как функция Д»), возможно, не аналитична в точке»о). На окРУжности Ь| имеем (б — »о~ < (» — »о(, т. е.

! ь — — о ~ < 1. Тогда (» — «о Проинтегрируем это равенство почленно по контуру Ьг) 1 ° 1Ы) ггС = 2хг С вЂ” » ь, = (» ) . 1 Ы) ггС+ (»»о) . 1 УЫ)Ы»о) ггпу+ .. 1 1 22гг' 2ггг ь, Ьб 1 г " +( — ) '"'" —. у и)к-")" к+" = 2хг г' ОО 1 ( — »вГ" —.

~ Пс)(с — » )" 'гК, О=! "Ь) т. е. — —, у — ггС = 2 ', с „(» — »е) ", где г ~(~1 22гг,) ~ — » Ь'2 (30.15) О=О называется правильной частью ряда Лорана; этот ряц сходится к аналитической функции 11(») внутри круга ~» — »е~ < Л. Вторая часть ряда Лорана, т. е. ряд 12(»)~»~ ( )О 2 О=1 называется главной часпзью ряда Лорана; этот ряд сходится к анали- тической функции 1»(») вне круга )» — »з~ > т, 217 с „= —, )Ь „+121( (я=1,2,3,...). УЫ) 2 У (~-„)-"+1 ь, Подставив разложения (30.14) и (30.15) в равенство (30.13), получим СО ОО -)-ОО д») = ~~) с„(» — »з)и + ~ с „(» — »з) " = ~~) с„(» — »о)".

О=О О=! О= — ОО Формулы для коэффициентов с„и с „можно объединить, взяв вместо контура Ь1 и Ез любую окружность 1 с центром в точке»е, лежащую в кольце между Ь1 и Ь» (следует из теоремы Коши для многосвязной б ): „= 2. à — )Гб)„ббб) =2,22,22,...). 2'"1 у Ы»о) ь Можно доказать, что функция Д»), аналитическая в данном кольце г < )» — »е) < Л, разлагается в ряд Лорана (30.11) единственным образом. Ряд Лорана для функции П») = ~~ сч(» — »о)" = '~ с„(» — »е)" + ~ 22=-ОО О=О О=1 ( состоит из двух частей. Первая часть ряда Лорана, т.

е. ряц ~1(») = ~ с„(» — »е)", +СО Внутри кольца г < !з — зо! < В ряд 2 с„(з — зо)" сходится к аналитической функции Дз) = ~г(з) + Яг). В частности, если функция Дз) не имеет особых точек внутри круга !г — зо! < В, то ее разложение в ряд Лорана обращается в ряц Тейлора. Замечание. На практике при разложении функции в ряд Лорана используют известные разложения основных элементарных функций; дробь вида разлагается в ряд, являющийся рядом геометрической проз — зе грессии; дробь вида — — ~, где и > 1 — целое, разлагается в ряд, ко- 1 (з — зо) торый получается из ряда геометрической прогрессии последовательным дифференцированием (Й вЂ” 1) раз; сложная дробь представляется в виде суммы простейших дробей.

П 1 Пример ЯО.ф. Разложить в ряд Лорана функцию 7(з) = е' в окрестности точки зе = О. О Решение: Воспользуемся известным разложением М Я и е"=1+ — + — +...+ — +..., 1! 2! и! справедливым на всей комплексной плоскости. Положив и = 1, получим з' 1 1 1 е' =1+ — + — +...+ — „+..., в~О. 1!з 2!зз и!з" Пример 30.5. Разложить в ряд Лорана функцию Дз) = — т — — в 1 — з — 6 окрестности точки зз = О. (,) Решение: Функция имеет две особые точки: г1 — — — 2 и гз = 3. Она аналитична в областях: а) О < )з! < 2; б) 2 < )з! < 3; в) !з! > 3. Представим функцию Дг) в виде Дз) = — ~ — — — ).

1/ 1 1 5~в — 3 в+2 а) В круге )з! < 2 (рис. 86) имеем: — = -- —, = — -'~1+ — + — з+...) ~здесь (П < 1, т.е. ф < 3), .-З З1--; З~ З Зз ") ~ ~З вЂ” — = — — —, = — -~ 1 — — + — — .. ) рдесь ~ — — ~ < 1, т. е. ф < 2) . в+2 21+$ 2~, 2 2з ) !, ~ 2! Следовательно, У(з)= = — — Г~ — +! — 1)" — !з"=- — + — з — — зз+..., зз-г-6 5 х- 1,3"+' 2вы) 6 36 27 8 =о ряд Лорана функции Дз) обращается в ряд Тейлора. ггв Рис. 88. Рис. 87. Рис. 86. б) В кольце 2 < Ц < 3 (рис. 87) имеем: 1/ = — -/~1+-+ —,+" 0 ~ <3), — 3 3(, 3 3' 1 1 1 1 / 2 29 '1 1 2 29 = — ~1 — — + — — ...) =+- — — + — —... Щ > 2). 1 + й х х хз ''' х хз хз Следовательно, =о ь=е в) В области ф > 3 (рис.

88) имеем: 1 1 1 1/ 3 3~ , = ~1+ +,+... ф)>3), г — 3 з 1 — з г1, г ь 1 1 1 1/ 2 29 = — — = — ~1 — — + — —... (~~~ > 2). +2 1+2 Следовательно, / 3п 2п и=в ч=е 30.6. Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции Как уже знаем, особой точкой функции Дв) называется точка, в которой функция не является аналитической. Особая точка х = хе функции Дх) называется изолированной, если в некоторой окрестности ее функция Дз) не имеет других особых точек. Если хе — изолированная особая точка функции Дх), то существует такое число В > О, что в кольце 0 < )х — хе! < Л функция 1'(г) будет аналитической и, следовательно, разлагается в ряд Лорана (30.11): 0О с „ 1(в) = 2 с„(х — хе)" + 2 7 — -~к.

И=О „-1 1х — коз 219 Прн этом возможны следующие случаи: 1) Ряд Лорана не содержит главной части, т. е. в ряде нет членов с отрнцательнымн показателямн. В этом случае точка го называется устпранимой особой тпочной Функции Дг). 2) Разложение Лорана содержнт в своей главной части конечное число членов, т. е. в ряде есть конечное число членов с отрицательными показателямн. В этом случае точка го называется полюсом функции 11»). 3) Разложение Лорана содержит в своей главной части бесконечное множество членов, т. е.

в ряде есть бесконечно много членов с отрицательными показателями. В этом случае точка го называется сущестпвенно особой тпочной функции Дг). Укажем особенности поведения аналитической функции Дг) в окрестности особой точки каждого типа. Устранимые особые точки Если»о — устраннмая особая точка, то в окрестности точки го разложение (30.11) имеет вцц Д») = 2 с„(г — го)". Это разложение справедлио=о во во всех точках круга )г — »о) < Л, кроме точки г = го.

Еслн положить Дго) = со, где со = 11т Д») (т. е. определить функцию Дг) в точке го), то «-««о функция Д») станет аналитической во всем круге ~г — го~ < Л (включая его центр г = го); особенность точки го устраняется, точка го становится правильной точкой функции Д»)). Из равенства 1пп Дг) = со (со ~ со) следует, что в достаточно малой «+«« окрестности устраняемой особой точки го функция 1(г) является ограниченной. Справедливо н обратное утверждение: изолированная особая тпочка г = »о являетпся рстпранимой, если существует конечный предел 1пп Дг) = А.

« — ««о Полюсы 1 ОЭ Дг) = ((» — го) ~ с (г — »о)" + с т(г — го) " + 1» — »о) п=о + с г1» — »о) + ... + с ) р( ) « (г) ( )о«> (30.16) гго Если»о — полюс, то в окрестности точки го разложение (30.11) имеет вндД») = 2 с„(» — го)" + ' +=-~ — ~+...+, м,,гдес ф0. г — »о (г — го) я — го) В этом случае полюс го называется полюсом тп-го порядка функции Д»); если тп = 1, то полюс го называется прося»им. Запишем последнее равенство в виде где д(«) — аналитическая функция, причем д(«о) = с ~ О.