Лекции печатные (Письменный Д.Т. - Конспект лекций по высшей математике), страница 34

е. если кривые ! и 11 образуют в точке»о на плоскости» угол 9о=агй 7"'(»о), то такой же Угол 1Р = агй 7" (»о) бУДУт обРазовывать в точке юо кРивые Ь и Ь1, являющиеся отображениями кривых 1 и 11 на плоскости ю (см. рис. 75). Это свойство отображения ю = 7'(») называется свойством сохранения (консерваглизма) углов в точке»о. Отображение ю = 7'(»), обладающее свойством сохранения углов и постоянством растяжений в точке»о, называется камфор иным (т. е, ото- 198 Рис. 75.

бражением, сохраняющим форму). Если при этом сохраняется и направление отсчета углов, то такое отображение называется комформнмм огпображением 1-го рода; если направление отсчета углов изменяется на противоположное — конформнмм оптображением 2-го рода. Таким образом, если функция Д») является аналитической в некоторой точке »о комплексной плоскости » и в этой точке ее производная отлична от нуля, то отображение ю = Д») конформно в этой точке. Отображение ю = Д») называется конформным в области Ю, если оно конформно в каждой точке этой области.

Справедливо следующее утверждение: если функция ю = Д») аналитична в области П, причем во всех точках области ~'(») ф О, то отображение конформно в П; если отображение ю = Д») конформно в области Х>, то функция ю = 7'(») аналитична в П и во всех точках этой области у'(») ф О. ДО® ДОо Пример»8.6. Выяснить геометрическую картину отображения, осуществляемого функцией ю =, 2». О Решение: Отображение ю = 2» конформно во всех точках плоскости», т. к. ю' = 2 ~ О. Коэффициент растяжения в любой точке плоскости» равен 2. Так как агкю' = эгк2 = О, то направление при отображении не меняется.

Таким образом, отображение ю = 2» есть преобразование гомотетии с центром в нулевой точке (ю = 0 при» = 0) и коэффициентом гомотетии, равным 2. Пусть в каждой точке некоторой гладкой кривой Ь с началом в точке »о и концом в точке Я определена непрерывная функция Д»).

Разобьем кривую Ь на п частей (элементарных дуг) в направлении от »в к» точками»н»»,...,»„1 (см. рис. 76). З 29. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 29.1. Определение, свойства и правила вычисления интеграла В каждой «элементарной дуге» гь-1хь (й = 1,2,...,п) выберем про- извольную точку Сь и составим ин- тегральную сумму 2 7" (Сь)Ьгы где »=1 саге = «ь — гь-ы Предел такой интегральной сум- мы при стремлении к нулю длины наибольшей из элементарных дуг, если он существует, называется ин- гпегралом от функции 7" (г) по кри- вой (по ноигнуру) Ь и обозначается символом / 7(х) Нг. Ь Таким образом, Рис. 76.

(29.1) Покажем, что если Х вЂ” гладкая кривая, а 7(г) — непрерывная и однозначная функция, то интеграл (29.1) существует. Действительно, пусть 7 (г) = и(х; у) + Ы(х; у), г = х + 1у, Сь = хь + 1уы Тогда 7(Сь) = и(хь,уь) +10(хь,'уь), Ьгь = (хь+1рь) — (хь 1+цать 1) = Ьхь+14ры Поэтому 7(С»)Ь|ь — — ~~~ (и(хь, уь) + гэ(хь, уь)) (Ьхь + зЬуь) = ыы ь=1 (и(хь; уь)Ьхь — и(хь, 'уь) Ьуь) + 1 ~ (и(хь', уь)Ьхь + и(хь,' уь)Ьуь). Обе суммы, находящиеся в правой части последнего равенства, являются интегральными суммами для соответствующих криволинейных интегрэлов (см.

п. 10,1). При сделанных предположениях о кривой Ь и функции 7'(г) пределы этих сумм существуют. Поэтому после перехода к пределу (в последнем равенстве) при шах ~Ьгь~ -+ 0 получим: (29.2) Формула (29.2) показывает, что вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению криволинейных интегралов от действительных функций действительных переменных. 200 Формулу (29.2) можно записать в удобном для запоминания виде: / у (г) еЬ = / (и + гс) (е(х + г Ну).

(29.3) /,К(г) сЬ = / у(г(г))х'(С) «й. (29.4) ( й Действительно, считая г(г) непрерывной и дифференцируемой функ- цией,получаем / У( ) Ь= /(и+ )Ых+гду) = /(и+ге)(Х+гуг)а= У У(г(г)) (г)й. Приведем основные свойства интеграла от функции комплексного переменного. 1 / аз = я — го. в ( 1 х т~гг = ~М+ +авен = г1 — го+гг — г1+ +хь — г -1=к — го ° г=1 /и()+~.(» =/ () +/~.() 3- / аХ(г)сХг = а / ~(г)еЬ, а — комплексное число. 4. / У(г) еЬ = — / У(г) Нг, т. е. при перемене направления пути инте- в ьгрирования интеграл изменяет свой знак на противоположный (в других обозначениях кривой: / = — / ).

яв вл 5. / г (г) еЬ = /,((г) еЬ+ / Дг) еЬ, где Ь = Ь1 + Ьг, т. е. интеграл ь в, в, по всему пути Ь равен сумме интегралов по его частям Ь| и Ьг. б. Оценка модуля интлеграяа. Если ~Дг)~ < М во всех точках кривой Ь, то / у(г) аг < М(, где 1 — длина кривой Ь. зо1 Я Если х = х(г), у = у(С), где г1 < г < гг — параметрические уравнения кривой Ь, то г = г(г) = х(г)+гу(г) называют номпяекснъьм параметпричесним уравнением кривой о; формула (29.3) преобразуется в формулу 1.й Действительно, и в и У(Сь)Хгвв < ~ ~!,1(Сь)ХМ~ < М ~~~ ~Ьвь~ < М(, где 2 (Ьвв( — длина ломаной вохвхв...

х„, вписанной в кривую Х. ° в=1 Все приведенные свойства интеграла функции комплексного переменного непосредственно вытекают из его определения (29.1) и представления (29.2). Пример 99.1. Вычислить 1 = ) авив, где Х вЂ” полуокружность ь ф = 1, 0 < вгк х < я (см. рис. 77).

О~ Решение: Используя формулу (29.3), имеем: ь ь Ь -1 -1 — — — 2х 2 ~/1 — тз — 1/1 — хв + — агсв1пх) ~ 2 2 )~1 2~~ 2 Используя формулу (29.4), имеем (х = совг+1яп8): в и +гсов1) й = в — -(1 — сов2Ф)й+в) 01пгсов1й= У 2 о о — -$+ — вш28) ~ +1-япв 1~ = — —. ° 2 4 )~о 2 о 2 Рис.

77. 1 = / япг(-в1пг о (..в Докажем теорему, предполагая непрерывность производной Х'(х) (это упрощает доказательство). По формуле (29.2) имеем: )1 1(х)ох = ~ игах — иду+ в ~ 0Нх+ ийу. В силу аналитичности 7(в) = и + 1и и непрерывности Х'(в) в односвязной области Х1, функции и = и(х;у) и и = и(х;у) непрерывны и дифферен- 202 29.2. Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл.

Формула Ньютона-Лейбница тг +7г +тг Ьтг тг 77 7г тг т. к. каждый нз разрезов (дуг) уг и 7г при интегриро- вании проходится дважды в противоположных на- правлениях. Поэтому получаем: Рис. 78. / 7'(х) гЬ = ~ ~(х)гЬ+ )г Дх)сЬ+ ~ Дх)<Ь = О, г ь ь1 ьг т.е. интеграл от аналитической в замкнутой многосвязной области Р функции 7(х) по границе области Р, проходимой в положительном направлении, равен нулю. Замечание.

Изменив направление обхода внутренних контуров 7| н 1г, будем иметь ~,7'(х)гЬ = )г Дх)гЬ+ ~ у(х) гЬ, где все контуры (Ь, ь ьг ьг Х г и Ьг) обходятся в одном направлении: против часовой стрелки (или по часовой стрелке). В частности, если Дх) аналитична Ь в двусвязной области, ограниченной контурами Г и г и на самих этих контурах (см. рис. 79), то ~ 1'(г) гЬ = ~ У(х) <Ь, т. е.

«интеграл от функции у(х) по внешнему контуру 1 равен интегралу от функции у(х) по внутреннему контуру Ы (контуры Г, и г обходят в одном направлении). Рис. 79 203 цируемы в этой области и удовлетворяют условиям Эйлера-Даламбера: у- = †.~ и ~- = д-. Эти условия означают равенство нулю интедн д(-Ы Яэ дн Зя ~Б др дх' гралов ~ них — вар и ~ вгЬ + иду (см.

теорему 10.3). Следовательно, ь ь ф 1(х)гЬ = О. ь Теорема Коши допускает распространение на случай многосвязной области. Рассмотрим для определенности трехсвязную область .Р, ограниченную внешним контуром Т и внутренними контурами Тч и 1г. Выберем положительное направление обхода контуров: при обходе область Р остается слева (см. рис.

78). Пусть функция 7" (х) аналитична в области Р и на контурах Г, Г| и .Ог (т. е. в замкнутой области Р; функция называется аналитической в замкнутой области Р, если она аналитична в некоторой области, содержащей внутри себя область Р и ее границу б). Проведя два разреза (две дуги) уг и уг области Р (см. рнс. 78), получим новую односвязную область Ры ограниченную замкнутым ориентированным контуром Г, состоящим из контуров Г, г.ы Ег и разрезов уг и 7г: Г = Ь + уг+ + Ь| + уг+ + Ьг + 7г + уг . По теореме Копги для односвязной области ~ у(г) гЬ = О, но Следствие 29.1.

Если у(з) — аналитическая функция в односвязной области Р, то интеграл от нее не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от начальной точки ге и конечной точки з пути интегрирования. (.й Действительно, пусть 11 и ьа — две кривые в области Р, соединяющие точки зз и з (рис. 80). По теореме Коши ~ 2(з)сЬ = О, т.е. / 1(з)00«+ / 1(з)0«з = О, ь,ч-ь; с, ь, или / Г(з) 0Ь вЂ” / у(з)0Ь = О, откуда / Г(з)0«з = / у(з)0Ь. ° В таких случаях, когда интеграл зависит только от начальной точки и конечной точки пути интегрирования, пользуются обозначением / у(з) «Ь = / у(з) «Ь. Если здесь за- Ь 10 Рис.

80. фиксировать точку зв, а точку з изменять, то / у(з) Из будет «а 1 функцией от з. Обозначим эту функцию через Г(з): Г(з) = / у(з)сЬ. 10 Можно доказать, что если функция у(з) аналитична в односвязной области Р, то функция Г(з) также аналитична в Р, причем Функция Г(з) называется тзервообразной для функции у(г) в области Р, если Г'(г) = у(а).