Лекции печатные (Письменный Д.Т. - Конспект лекций по высшей математике), страница 34

DJVU-файл Лекции печатные (Письменный Д.Т. - Конспект лекций по высшей математике), страница 34 Теория функций комплексного переменного (ТФКП) (584): Книга - 4 семестрЛекции печатные (Письменный Д.Т. - Конспект лекций по высшей математике) - DJVU, страница 34 (584) - СтудИзба2015-05-14СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Письменный Д.Т. - Конспект лекций по высшей математике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория функций комплексного переменного (тфкп)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (тфкп и ои)" в общих файлах.

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 34 - страница

е. если кривые ! и 11 образуют в точке»о на плоскости» угол 9о=агй 7"'(»о), то такой же Угол 1Р = агй 7" (»о) бУДУт обРазовывать в точке юо кРивые Ь и Ь1, являющиеся отображениями кривых 1 и 11 на плоскости ю (см. рис. 75). Это свойство отображения ю = 7'(») называется свойством сохранения (консерваглизма) углов в точке»о. Отображение ю = 7'(»), обладающее свойством сохранения углов и постоянством растяжений в точке»о, называется камфор иным (т. е, ото- 198 Рис. 75.

бражением, сохраняющим форму). Если при этом сохраняется и направление отсчета углов, то такое отображение называется комформнмм огпображением 1-го рода; если направление отсчета углов изменяется на противоположное — конформнмм оптображением 2-го рода. Таким образом, если функция Д») является аналитической в некоторой точке »о комплексной плоскости » и в этой точке ее производная отлична от нуля, то отображение ю = Д») конформно в этой точке. Отображение ю = Д») называется конформным в области Ю, если оно конформно в каждой точке этой области.

Справедливо следующее утверждение: если функция ю = Д») аналитична в области П, причем во всех точках области ~'(») ф О, то отображение конформно в П; если отображение ю = Д») конформно в области Х>, то функция ю = 7'(») аналитична в П и во всех точках этой области у'(») ф О. ДО® ДОо Пример»8.6. Выяснить геометрическую картину отображения, осуществляемого функцией ю =, 2». О Решение: Отображение ю = 2» конформно во всех точках плоскости», т. к. ю' = 2 ~ О. Коэффициент растяжения в любой точке плоскости» равен 2. Так как агкю' = эгк2 = О, то направление при отображении не меняется.

Таким образом, отображение ю = 2» есть преобразование гомотетии с центром в нулевой точке (ю = 0 при» = 0) и коэффициентом гомотетии, равным 2. Пусть в каждой точке некоторой гладкой кривой Ь с началом в точке »о и концом в точке Я определена непрерывная функция Д»).

Разобьем кривую Ь на п частей (элементарных дуг) в направлении от »в к» точками»н»»,...,»„1 (см. рис. 76). З 29. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 29.1. Определение, свойства и правила вычисления интеграла В каждой «элементарной дуге» гь-1хь (й = 1,2,...,п) выберем про- извольную точку Сь и составим ин- тегральную сумму 2 7" (Сь)Ьгы где »=1 саге = «ь — гь-ы Предел такой интегральной сум- мы при стремлении к нулю длины наибольшей из элементарных дуг, если он существует, называется ин- гпегралом от функции 7" (г) по кри- вой (по ноигнуру) Ь и обозначается символом / 7(х) Нг. Ь Таким образом, Рис. 76.

(29.1) Покажем, что если Х вЂ” гладкая кривая, а 7(г) — непрерывная и однозначная функция, то интеграл (29.1) существует. Действительно, пусть 7 (г) = и(х; у) + Ы(х; у), г = х + 1у, Сь = хь + 1уы Тогда 7(Сь) = и(хь,уь) +10(хь,'уь), Ьгь = (хь+1рь) — (хь 1+цать 1) = Ьхь+14ры Поэтому 7(С»)Ь|ь — — ~~~ (и(хь, уь) + гэ(хь, уь)) (Ьхь + зЬуь) = ыы ь=1 (и(хь; уь)Ьхь — и(хь, 'уь) Ьуь) + 1 ~ (и(хь', уь)Ьхь + и(хь,' уь)Ьуь). Обе суммы, находящиеся в правой части последнего равенства, являются интегральными суммами для соответствующих криволинейных интегрэлов (см.

п. 10,1). При сделанных предположениях о кривой Ь и функции 7'(г) пределы этих сумм существуют. Поэтому после перехода к пределу (в последнем равенстве) при шах ~Ьгь~ -+ 0 получим: (29.2) Формула (29.2) показывает, что вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению криволинейных интегралов от действительных функций действительных переменных. 200 Формулу (29.2) можно записать в удобном для запоминания виде: / у (г) еЬ = / (и + гс) (е(х + г Ну).

(29.3) /,К(г) сЬ = / у(г(г))х'(С) «й. (29.4) ( й Действительно, считая г(г) непрерывной и дифференцируемой функ- цией,получаем / У( ) Ь= /(и+ )Ых+гду) = /(и+ге)(Х+гуг)а= У У(г(г)) (г)й. Приведем основные свойства интеграла от функции комплексного переменного. 1 / аз = я — го. в ( 1 х т~гг = ~М+ +авен = г1 — го+гг — г1+ +хь — г -1=к — го ° г=1 /и()+~.(» =/ () +/~.() 3- / аХ(г)сХг = а / ~(г)еЬ, а — комплексное число. 4. / У(г) еЬ = — / У(г) Нг, т. е. при перемене направления пути инте- в ьгрирования интеграл изменяет свой знак на противоположный (в других обозначениях кривой: / = — / ).

яв вл 5. / г (г) еЬ = /,((г) еЬ+ / Дг) еЬ, где Ь = Ь1 + Ьг, т. е. интеграл ь в, в, по всему пути Ь равен сумме интегралов по его частям Ь| и Ьг. б. Оценка модуля интлеграяа. Если ~Дг)~ < М во всех точках кривой Ь, то / у(г) аг < М(, где 1 — длина кривой Ь. зо1 Я Если х = х(г), у = у(С), где г1 < г < гг — параметрические уравнения кривой Ь, то г = г(г) = х(г)+гу(г) называют номпяекснъьм параметпричесним уравнением кривой о; формула (29.3) преобразуется в формулу 1.й Действительно, и в и У(Сь)Хгвв < ~ ~!,1(Сь)ХМ~ < М ~~~ ~Ьвь~ < М(, где 2 (Ьвв( — длина ломаной вохвхв...

х„, вписанной в кривую Х. ° в=1 Все приведенные свойства интеграла функции комплексного переменного непосредственно вытекают из его определения (29.1) и представления (29.2). Пример 99.1. Вычислить 1 = ) авив, где Х вЂ” полуокружность ь ф = 1, 0 < вгк х < я (см. рис. 77).

О~ Решение: Используя формулу (29.3), имеем: ь ь Ь -1 -1 — — — 2х 2 ~/1 — тз — 1/1 — хв + — агсв1пх) ~ 2 2 )~1 2~~ 2 Используя формулу (29.4), имеем (х = совг+1яп8): в и +гсов1) й = в — -(1 — сов2Ф)й+в) 01пгсов1й= У 2 о о — -$+ — вш28) ~ +1-япв 1~ = — —. ° 2 4 )~о 2 о 2 Рис.

77. 1 = / япг(-в1пг о (..в Докажем теорему, предполагая непрерывность производной Х'(х) (это упрощает доказательство). По формуле (29.2) имеем: )1 1(х)ох = ~ игах — иду+ в ~ 0Нх+ ийу. В силу аналитичности 7(в) = и + 1и и непрерывности Х'(в) в односвязной области Х1, функции и = и(х;у) и и = и(х;у) непрерывны и дифферен- 202 29.2. Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл.

Формула Ньютона-Лейбница тг +7г +тг Ьтг тг 77 7г тг т. к. каждый нз разрезов (дуг) уг и 7г при интегриро- вании проходится дважды в противоположных на- правлениях. Поэтому получаем: Рис. 78. / 7'(х) гЬ = ~ ~(х)гЬ+ )г Дх)сЬ+ ~ Дх)<Ь = О, г ь ь1 ьг т.е. интеграл от аналитической в замкнутой многосвязной области Р функции 7(х) по границе области Р, проходимой в положительном направлении, равен нулю. Замечание.

Изменив направление обхода внутренних контуров 7| н 1г, будем иметь ~,7'(х)гЬ = )г Дх)гЬ+ ~ у(х) гЬ, где все контуры (Ь, ь ьг ьг Х г и Ьг) обходятся в одном направлении: против часовой стрелки (или по часовой стрелке). В частности, если Дх) аналитична Ь в двусвязной области, ограниченной контурами Г и г и на самих этих контурах (см. рис. 79), то ~ 1'(г) гЬ = ~ У(х) <Ь, т. е.

«интеграл от функции у(х) по внешнему контуру 1 равен интегралу от функции у(х) по внутреннему контуру Ы (контуры Г, и г обходят в одном направлении). Рис. 79 203 цируемы в этой области и удовлетворяют условиям Эйлера-Даламбера: у- = †.~ и ~- = д-. Эти условия означают равенство нулю интедн д(-Ы Яэ дн Зя ~Б др дх' гралов ~ них — вар и ~ вгЬ + иду (см.

теорему 10.3). Следовательно, ь ь ф 1(х)гЬ = О. ь Теорема Коши допускает распространение на случай многосвязной области. Рассмотрим для определенности трехсвязную область .Р, ограниченную внешним контуром Т и внутренними контурами Тч и 1г. Выберем положительное направление обхода контуров: при обходе область Р остается слева (см. рис.

78). Пусть функция 7" (х) аналитична в области Р и на контурах Г, Г| и .Ог (т. е. в замкнутой области Р; функция называется аналитической в замкнутой области Р, если она аналитична в некоторой области, содержащей внутри себя область Р и ее границу б). Проведя два разреза (две дуги) уг и уг области Р (см. рнс. 78), получим новую односвязную область Ры ограниченную замкнутым ориентированным контуром Г, состоящим из контуров Г, г.ы Ег и разрезов уг и 7г: Г = Ь + уг+ + Ь| + уг+ + Ьг + 7г + уг . По теореме Копги для односвязной области ~ у(г) гЬ = О, но Следствие 29.1.

Если у(з) — аналитическая функция в односвязной области Р, то интеграл от нее не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от начальной точки ге и конечной точки з пути интегрирования. (.й Действительно, пусть 11 и ьа — две кривые в области Р, соединяющие точки зз и з (рис. 80). По теореме Коши ~ 2(з)сЬ = О, т.е. / 1(з)00«+ / 1(з)0«з = О, ь,ч-ь; с, ь, или / Г(з) 0Ь вЂ” / у(з)0Ь = О, откуда / Г(з)0«з = / у(з)0Ь. ° В таких случаях, когда интеграл зависит только от начальной точки и конечной точки пути интегрирования, пользуются обозначением / у(з) «Ь = / у(з) «Ь. Если здесь за- Ь 10 Рис.

80. фиксировать точку зв, а точку з изменять, то / у(з) Из будет «а 1 функцией от з. Обозначим эту функцию через Г(з): Г(з) = / у(з)сЬ. 10 Можно доказать, что если функция у(з) аналитична в односвязной области Р, то функция Г(з) также аналитична в Р, причем Функция Г(з) называется тзервообразной для функции у(г) в области Р, если Г'(г) = у(а).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее