Лекции печатные (Конспект лекций по высшей математике - Дмитрий Письменный)

Дмит ий Письменный Конспект '1Г) по высшеи математике ~Д ДйРИС Праес РОЛЬФ МОСКВА 2000 ББК 22 1я73 П34 Все права защищены Никакая часть данной книги не может переиздаваться или распространяться в любой форме и любыми средствами, электронными или механическими, включая фотокопирование, звукозапись, любые запоминающие устройства и системы поиска информации без письменного разрешения правообладателя Письменный Д. Т.

П34 Конспект лекций по высшей математике. 2 часть. — М.: Рольф, 2000. — 256 с., с илл. 18ВХ 3-7836-0312.0 Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Вторая часть содержит необходимый материал по 9-ти разделам курса высшей математики, которые обычно изучаются студептаии на втором курсе вуза, а также дополнительные главы, необходимые при изучении специальных курсов — двойные, тройные, кряволинейные и поверхностные интегралы, ряды (от числовых до рядов Фурье), дифференциальные уравнения, а также злементы теории поля и теории функций комплексного переменного, основы операциснного исчисления.

Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется па доступном, по возможности строгом языке. пособие поможет студентам освоить курс высшей математики, подготовиться к сдаче зачетов и зкааменов по математическим дисциплинам. ЗР Рольф, 2000 18ВН 3-7836-0312-0 ОГЛАВЛ Е НИ Е Предисловие 9 9 9 11 11 13 15 18 21 25 26 26 28 31 32 34 36 38 39 39 40 46 47 47 49 51 ~1 32 ~3 34 з5 36 Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие сведения о дифференциальных уравнениях .. 1.1. Основные понятия 1.2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям...

Дифференциальные уравнения первого порядка..... 2.1. Основные понятия . 2.2. Уравнения с разделяющимися переменными.... 2.3. Однородные дифференциальные уравнения..... 2.4. Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли ., 2.5. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель . 2.6. Уравнения Лагранжа и Клеро. Дифференциальные уравнения высших порядков........ 3.1. Основные понятия . 3.2.

Уравнения, допускающие понижение порядка...., .. З.З. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков .. 3.4. Линейные однородные ДУ второго порядка......... 3.5. Линейные однородные ДУ и-го порядка............. Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами . 4.1. Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами . 4.2. Интегрирование ЛОДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами . Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) .

5.1. Структура общего решения ЛНДУ второго порядка....... 5.2. Метод вариации произвольных постоянных..........,..... 5.3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида..... 42 5.4. Интегрирование ЛНДУ в-го порядка (и ) 2) с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида . Системы дифференциальных уравнений............... 6.1. Основные понятия . 6.2.

Интегрирование нормальных систем............... 6.3. Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами .. 3 10. Криволинейный интеграл П рода 10.1. Основные понятия 10.2. Вычисление криволинейного интеграла П рода............ 10.3. Формула Остроградского-Грина 10.4. Условия независимости криволинейного интеграла П рода от пути интегрирования,............................ 10.5. Некоторые приложения криволинейного интеграла П рода 3 11. Поверхностный интеграл 1 рода .

11.1. Основные понятия 11.2. Вычисление поверхностного интеграла 1 рода.............. 11.3. Некоторые приложения поверхностного интеграла 1 рода.. 3 12. Поверхностный интеграл П рода. 12.1. Основные понятия 12.2. Вычисление поверхностного интеграла П рода ............. 12.3. Формула Остроградского-Гаусса........................... 12.4. Формула Стокса . 12.5. Некоторые приложения поверхностного интеграла П рода.

Глава Г17. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 3 13. Числовые ряды . 13.1. Основные понятия . 13.2. Ряд геометрической прогрессии...................... 13.3. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд . з7 38 39 Глава 11. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Двойной интеграл. 7.1. Основные понятия и определения........................... 7.2. Геометрический и физический смысл двойного интеграла . 7.3. Основные свойства двойного интеграла.................,...

7.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 7.5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. 7.6. Приложения двойного интеграла........................... Тройной интеграл 8.1. Основные понятия 8.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 8.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах 8.4.

Некоторые приложения тройного интеграла............... Глава П1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Криволинейный интеграл 1 рода................ 9.1. Основные понятия 9.2. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода............. 9.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла 1 рода. 57 57 58 59 60 63 65 67 67 69 71 74 77 77 79 80 82 82 84 86 88 91 93 93 94 97 99 99 101 103 105 107 109 109 111 з 14. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.... 114 114 116 117 118 121 121 122 123 Глава У.

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 133 137 137 19.2. Приближенное вычисление определенных интегралов..... 139 19.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений.... 140 Глава У1. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 3 20. Ряды Фурье. 144 20.1.Периодические функции. Периодические процессы ........ 144 145 148 148 21.2. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций..... 150 21.3. Разложение в ряц Фурье функций произвольного периода. 152 21.4.Представление непериодической функции рядом Фурье... 154 21.5. Комплексная форма ряда Фурье...........................

155 з 22. Интеграл Фурье. 158 163 165 165 165 14.1. Признаки сравнения рядов . 14.2. Признак Даламбера. 14.3. Радикальный признак Коши. 14.4. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд 115. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды............. 15.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница........ 15.2. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. 15.3. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов ................ 3 16. Функциональные ряды ..

16.1. Основные понятия . 3'17. Сходимость степенных рядов . 17.1. Теорема Н. Абеля . 17.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда........ 17.3. Свойства степенных рядов . 3 18. Разложение функций в степенные ряды...................... 18.1.Ряды Тейлора и Маклорена 18.2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена) 3 19. Некоторые приложения степенных рядов....................

19.1. Приближенное вычисление значений функции.......... 20.2.Тригонометрический ряд Фурье з 21. Разложение в ряд Фурье 2х-периодических функций .. 21.1. Теорема Дирихле . Глава УП. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 3 23. Основные понятия теории поля. 324. Скалярное поле. 24.1. Поверхности и линии уровня . 24.2. Производная по направлению.. 125 125 126 126 127 129 130 130 24.3.

Градиент скалярного поля и его свойства .. 3 25. Векторное поле. 167 169 25.1. Векторные линии поля. 169 25.2. Поток поля. 170 25.3.Дивергенция поля. Формула Остроградского — Гаусса....... 173 25.4. Циркуляция поля . 175 25.5.Ротор поля. Формула Стокса . 3 26. Оператор Гамильтона. 177 180 27.1. Соленоидвльное поле .

27.2. Потенциальное поле . 27.3. Гармоническое поле .. 181 183 185 Глава УП1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 3 28. Функции комплексного переменного............................. 28.1. Основные понятия 28.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. 28.3. Основные элементарные функции комплексного переменного. 28.4. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Эйлера-Даламбера.................. 28.5. Аналитическая функция.

Дифференциал....,............. 28.6.Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении...,..........,........ 3 29. Интегрирование функции комплексного переменного........... 29.1. Определение, свойства и правила вычисления интеграла .. 29.2. Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.................... 29.3.

Интеграл Коши. Интегральная формула Коши............ з 30. Ряды в комплексной плоскости. 30.1. Числовые ряды 30.2. Степенные ряды ЗО.З.Ряд Тейлора 30.4. Нули аналитической функции 30.5. Ряд Лорана . 30.6.Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции. 331. Вычет функции. 31.1. Понятие вычета и основная теорема о вычетах............. 31.2.

Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов . 186 186 187 192 195 197 199 199 202 206 209 209 210 212 214 215 219 223 223 224 26.1.Векторные дифференциальные операции первого порядка. 180 26.2. Векторные дифференциальные операции второго порядка. 180 3 27. Некоторые свойства основных классов векторных полей........ 181 Глава 1Х. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСх1ИСЛЕНИЯ 3 32. Преобразование Лапласа . 32.1.Оригиналы и их изображения. 32.2.

Свойства преобразования Лапласа ..'....................... 32.3. Таблица оригиналов и изображений........................ 3 33, Обратное преобразование Лапласа 33.1. Теоремы разложения 33.2. Формула Римана-Меллина...............:................. '3 34. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем .. Приложения .. 227 227 230 241 243 243 245 247 250 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее пособие предназначено в первую очередь для студентов инженерно-технических специальностей; может быть полезным для всех категорий студентов, изучающих в том или ином объеме высшую математику.

Оно представляет собой конспект лекций в 2 частях. Вгпорая чаешь адресована в основном второкурсникам. Набор освещаемых вопросов хорошо виден из оглавления. Данный конспект содержит необходимый материал по 9 разделам курса высшей математики и дополнительным главам, необходимым при изучении специальных курсов. Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке. Пособие может быть использовано студентами также для самостоятельного изучения соответствующего материала, является базой для подготовки к сдаче зачетов и экзаменов по математическим дисциплинам. Кроме того, книга должна помочь студенту и в тех случаях, когда он что-то не успел записать на лекции, какие-то лекции были пропущены, в чем-то трудно (или нет времени) разобраться по другим учебникам, когда некоторые вопросы кслишком длинньш в его конспектах или много фактического материала, который следует изучить за ограниченное количество времени.

Автор надеется, что данный курс лекций будет полезен и преподавателям, а использование данного пособия буде~с способствовать более глубокому изучению студентами курса высшей математики и смежных дисциплин. Список обозначений: О Ф вЂ” начало и конец решения примера или задачи; Д И вЂ” начало и конец доказательства; Я— — важные определения Н ® — кобратите особое внимание! » В рамку заключены формулы, которые важно помнить. Глава !. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ З 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 1.1. Основные понятия При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные.