Лекции печатные (Конспект лекций по высшей математике - Дмитрий Письменный), страница 5

ап Это значение Ро является корнем уравнения р — у(р) = О (см (2 27)) Решение У = х У(ро) + ф(ро) ЯвлЯетсЯ особым длЯ УРавнениЯ (2.25) (см, понятие особого решения в п. 2.2). 25 Уравнение Клеро Рассмотрим частный случай уравнения Лагранжа при у(у') = у'. Уравнение (2.25) принимает вид (2.29) и называется уравнением Хлеро. Положив у' = р, получаем: у = хр + гд(р). Дифференцируя по х, имеем: р = р+ х — + ф'(р) ° —, или (х+ ф'(р)) — = О.

«р ! «р «р «х «х' «х (2.30) Если «д = О, то р = с. Поэтому, с учетом (2.30), ДУ (2.29) имеет общее « «х решение у = хе+ гр(с). (2.31) Если х + тг'(р) = О, то получаем частное решение уравнения в параметрической форме: х = — ф'(р), у = хр + го(р). (2.32) Это решение — особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в формуле общего решения уравнения. П Пример 9.18. Решить уравнение Клеро у = ху' + у'г.

( 1 Решение: Общее решение, согласно формуле (2.31), имеет вид у = ох+ от. Особое решение уравнения получаем согласно формулам (2.32) в виде г г г х=-2р, у=хр+рг Отсюдаследует:у=- — *, + 4,те у=- — *. ° 4' ' ' 4' Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков.

ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде Г(х;у;у~;уо) =0 (3.1) или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей про- изводной: у = 1(х; у;у ). (3.2) Будем в основном рассматривать уравнение вида (3.2): от него всегда можно перейти к (3.1). Решением ДУ (3.2) называется всякая функция у = аг(х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

гв 33. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 3.1. Основные понятия Общим решением ДУ (3.2) называется функция у = у(х; сг, сг), где с1 и сг — не зависящие от х произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям: 1. ~р(х; сг , 'сг) является решением ДУ для каждого фиксированного значения сг и сг. 2. Каковы бы ни были начальные условия ! У~ = Уо, У ~ = Уо, 1 х=гг г=го (3.3) существуют единственные значения постоянных с1 — — со и сг = сог такие, что функция д = у(х; со; сг~) является решением уравнения (3.2) и удовлетворяет начальным условиям (3.3).

Всякое решение у = ~о(х; со.сог) уравнения (3.2), получагощееся из общего решения у=со(х; сг, сг) при конкретных значениях постоянных сг —— с~о, сг = его, называется частным решением. Решения ДУ (3.2), записанные в виде Ф(х; у; сг, сг) =О, Ф(х; у; с|о; его)=О, называются общим и частным интегралом соответственно. График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральной кривой.

Общее решение ДУ (3.2) представляет собой множество интегральных кривых; частное решение — одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку (хо, .уо) н имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом у'(хо) = у'. Переписав ДУ (3.1) в виде г Р(х,у,у, (1+у ) У ) — О, видим, что ДУ второго порядка устанавливает связь между координатами точки (х;у) интегральной кривой, угловым коэффициентом Й = у' касао ю а р «иг= — г,,-; —, ° * ьс.в (1+у ) У геометрическое истолкование ДУ второго порядка. Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения ДУ (3.2), удовлетворяющего заданным начальным условиям (3.3), называется задачей Коши. Примем теорему без доказательства.

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ и-го порядка, которое в общем вице записывается ка г'(х;у;у';у";...;у("1) = О, Теорема 3.1 (существования и единственности задачи Коши). Если э уравнении (3.2) функция г (х; у;у') и ее частные производные („' и ~„', непрерывны в некоторой области Р изменения переменных х, у и д', то для всякой точки (хо, уо, уо) ЕР существует единственное решение у = у(х) уравнения (3.2), удовлетворяющее начальным условиям (3.3). или у~ ~ = 1(х;у;у;у;...;у~ ~) =О, (3.4) если его можно разрешить относительно старшей производной. Начальные условия для ДУ (3.4) имеют вид Р~ = Уо~ Р ~ = Ро Р ~ = Ро~ .

Р ~ = Ро Общее решение ДУ и-го порядка является функцией вцца (3.5) у = ~о(х; сн сз,..., с„), содержащей п произвольных, не зависящих от х постоянных. Решение ДУ (3.4), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных с1 = севы сз — с~о, ..., с„= сз, называется часганым решением.

Задача Коши для ДУ п-го поряцка: найти решение ДУ (3.4), удовлетворяющее начальным условиям (3.5). Проинтегрировать (решить) ДУ и-го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того, заданы начальные условия или нет. Задача нахождения решения ДУ п-го порядка сложнее, чем первого. Позтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков. 3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является мегпод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже. Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

1. Пусть дано уравнение у ' = у(х). (3.6) Поряцок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у' = р(х). Тогда у" = р'(х) и получаем ДУ первого порядка: р' = у(х). Решив его, т. е. найдя функцию р = р(х), решим уравнение у' = р(х). Получим общее решение заданного уравнения (3.6).

На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения. ! Так как у" = (у')' = — "-, уравнение (3.6) можно записать в виде дх ' ау' = 1(х)дх. Тогда, интегрируя уравнение у" = у(х), получаем: у' = = / 1(х) дх, или у' = ~р1(х)+сы Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим: у = /(~р1(х) + с1) Ых, т, е, у = уз(х) + с1х + сз — общее решение данного уравнения. Если дано уравнение у~"~ = Дх), то, проинтегрировав его последовательно и раз, найдем общее решение , о-1 х" г уравнения: у = у„(х)+сг ф — — —, +сг „*, +.

+с . П Пример 3.1. Решить уравнение у~" = яп 2х. ( З Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим у = у яп2хдх = — -соз2х+ с„ )й 1 2 г 1 г 1 уо = 11 — -соз2хсЬ+ 1 с! дх = — -яп2х+ сгх+ сг, 1 2 .! 4 1 х' у' = — соз 2х + сг — + сгх + сз 8 2 1 хз хг у = — яп2х+ сг — + сг — + сзх+ сз.

16 б 2 П. Пусть дано уравнение ~~" = ~~в; !'). (3.7) не содерг!сагцее явно искомой функции у. Обозначим у' = р, где р = р(х) — новая неизвестная функция. Тогда уо = р' и уравнение (3.7) принимает вид р' = 1(х; р). Пусть р = )р(х; с! )— общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на у', получаем ДУ: у' = )р(х;сг). Оно имеет вид (З.б), Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение.

Общее решение уравнения (3.7) будет иметь вид у = / )р(х; сг) Их + сг. Частным случаем уравнения (3.7) является уравнение [Г- !)!') ] (3.8) не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом: у' = р(х), уо = р' = . Получаем уравнение р = 1(р) с <Ь ! дх' разделяющимися переменными. Если задано уравнение вида (3.9) которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на к единиц, положив у)~) = р(х). Тогда у)ь") = р', ...; у)") = р<" "> и уравнение (3.9) примет вид Г(х;р;р',...; р)" ь)) = О.

Частным случаем уравнения (3.9) является уравнение г'(х;у)" Ц;у)")) = О, или [!! ! !)...!':!Д С помощью замены у)" ') = р(х), убй = р' это уравнение сводится к ДУ первого порядка. Пример Я.й Решить уравнение уо — а- = О. х (,) Решение: Полагаем у' = р, где р = р(х), уо = Р'. Тогда р' — с = О. Это уравнение с разделяющимися переменными х -с = — *. Интегрируя, получим 1п)р! = 1п(х)+ 1п(с~), 1п(р) = х х' р х' = 1п ~с~х~, р = сзх. Возвращаясь к исходной переменной, получим у' = сзх, 2 у = с~ — *+ сз — общее решение уравнения. 2 П1.

Рассмотрим уравнение 1~/=: ~ьа ), которое не содержит явно незаеисимой переменной х. Для понижения порядка уравнения ввадем новую функцию р = р(у), зависящую от переменной у, полагая у' = р. Днфференцируем это равен- ство по х, учитывая, что р = р(у(х)): д(у') др(у) др(у) (у др(у) „ дх дх с~ Йх Ыд т. е. у = р -к. Теперь уравнение (3.10) запишется в виде р -с = ~(у; р). о д ау ду Пусть р = у(у; с~) является общим решением этого ДУ первого порядка.

Заменяя функцию р(у) на у', получаем у' = ~р(у;с~) — ДУ с разделяю- щимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравне- ния (3.10): / = х+сг. ~о(у; с~) Частным случаем уравнения (3.10) является ДУ 1гЯы ] Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: у' =р(у), о Я ау Так же поступаем при решении уравнения Г(у;у',уо;...;уйй) = О.

Его порядок можно понизить на единицу, положив у' = р, где р = р(у). По правилу дифференцирования сложной функции находим уо = р-Р. Затем ау найдем уо' = ~ (р ° р'„) = — (р р'„) -~ = р((р'„) + р ° р"о) и т. д. Замечание. Уравнение (3.8) также можно решать, применяя подста- новку у' = р, где р = р(у). П Пример Я.Я. Найти частное решение уравнения уо — (у')а+у'(у — 1) = О, удовлетворяющее начальным условиям: у(0) = 2, у'(0) = 2. 1 д Решение: Уравнение имеет вид (3.10). Положив у' = р(у), уо = р д получаем: ду' р — -р'+р(у-1) =О.