Лекции печатные (Конспект лекций по высшей математике - Дмитрий Письменный), страница 8

Имеем: й + 1 = О, к1 — — 1, йз = — г. Следовательно, у = с1 созх + сз з!пх. Найдем теперь частное решение у* исходного 41 уравнения. Оно ищется в виде (5.6): у' = с1(х) созх+ сг(х) ° зшх. Для нахождения с1(х) и сг(х) составляем систему уравнений вида (5.9): с',(х) созх+сг(х) з1пх = О, с)(х) ( — з!пх) + сг(х) ° созх = Решаем еег ' ~ созх гйпх( 1=~ . ~ = соз к+ з1п х = 1, ~ — зшх созх~ сов х 0 — з1пх з1п х = — $6х, сов х 0 Д1= 1 сов е Ь| с,(х) =— Ь ст(х),= /(-116х) дх = 1п(созх); сг(х) = — = 1, сг(х) = / 1 г(х = х. Запишем частное решение данного уравнения: у* = 1и ~ сов х( соз х+х з1п х. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид у = (у+у*) = сг созх+сг гйпх+созх ° 1п~созх~+х-з1пх.

° При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной следующая теорема, Д Действительно, (уг + уг) + аг(х) ' (р1 + уг) + аг(х) ' (уг + уг) = = ((у,*)н+ а1(Х) ° (у,*)'+ аг(Х) уг) + ((уг)о + а1(Х) (уг)'+ аг(Х) ° уг) = =,~г(х) +,6(х) = у(х). ° 5.3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коаффициентами и правой частью специального вида Рассмотрим ЛНДУ вгпороео порядка с настоянными коэффициентами, т. е. уравнение (5.10) где р и д — некоторые числа. Согласно теореме 5.1, общее решение уравнения (5.10) представляет собой сумму общего решения у соответствующего однородного уравнения 4г Теорема 5.2 (о наложении решений). Если правая часть уравнения (5.1) пред- ставляет собой сумму двух функций: у(х) = ~г(х) + уг(х), а у„* и уг — частные решения уравнений уо+а1(х) у'+аг(х) у = уг(х) и уо+а1(х) у'+аз(х)у =,5(х) соответственно, то функция у* = у,' + уг является решением данного уравнения.

и частного решения у* неоднородного уравнения. Частное решение уравнения (5.10) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных (п. 5.2). Для уравнений с постоянными коэффициентами (5.10) существует более простой способ нахождения у', если правая часть 1(х) уравнения (5.10) имеет так называемый «специальный вид»ч 1.

г'(х) = Р„(х) ° е * или П. г'(х) = е * (Р„(х) соз~Зх+ Я (х) вшах). Суть метода, называемого метподом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части г"(х) уравнения (5.10) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (5.10) и из полученного тождества находят значения коэффициентов. Случай 1.

Правая часть (5.10) имеет вид,г'(х) = Р„(х) е *, где а Е И, Р„(х) — многочлен степени и. Уравнение (5.10) запишется в виде (5.11) В этом случае частное решение у' ищем в виде: (5.12) где г — число, равное кратности а как корня характеристического уравнения й~+рй+ о = 0 (т. е. г — число, показывающее, сколько раз а является корнем уравнения йз+рй+д = 0), аЯ„(х) = Аох" +А~х" "+ ° +А„— многочлен степени и, записанный с неопределенными коэффициентами А; (ь' = 1„2,...,и).

Д а) Пусть а не является корнем характеристического уравнения й'+рй+о=О, т. е. а ф йпт. Следовательно, (у*)о = Яо(х) ° е *+ 2Щх) е"* а+ Я„(х) ° е * а~. После подстановки функции у" и ее производных в уравнение (5.11), сокращения на е *, получим: 1~п(х) + (2а+ реп(х) + (а~ + ра+ д) Яп(х) = Р„(х). (5.13) Слева — многочлен степени и с неопределенными коэффициентами, справа — многочлен степени п, но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему (и + 1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов Ао, Аы ..., А„. б) Пусть а является однократным (простым) корнем характеристического уравнения йз + рй+ о = О, т.

е. а = й4 ~ йз. В этом случае искать решение в форме у' = Я„(х)е * нельзя, т. к. аз + ра + о = О, и уравнение (5.13) принимает вид Я'„'(х) + (2а + р) ° Я'„(х) = Р„(х). 43 В левой части — многочлен степени (и — 1), в правой части — многочлен степени и.

Чтобы получить тождество многочленов в решении у', нужно иметь многочлен степени (и + 1). Поэтому частное решение у' следует искать в виде у* = х Я„(х)е * (в равенстве (5.12) положить г = 1). в) Пусть и является двукратным корнем характеристического уравнения ал + рй + а = О, т. е. а = й~ = йз. В этом случае о~ + ра + а = 0 и 2а + р = О, а поэтому уравнение (5.13) принимает вид Я„"(х) = Р„(х). Слева стоит многочлен степени и — 2.

Понятно, чтобы иметь слева многочлен степени и, частное решение у* следует искать в виде у* = х 9„(х)е * (в равенстве (5.12) положить г = 2). Случай й. Правая часть (5.10) имеет вид 1(х) = е ' ° (Р„(х) ° сов 1)х + Я,„(х) з!и рх), где Р„(х) и Я,„(х) — многочлены степени и и ги соответственно, а и,д— действительные числа. Уравнение (5.10) запишется в виде у" +ру'+ ау = е * (Р„(х) соз11х+ Я,„(х) з1пбх).

(5.14) Можно показать,.что в этом случае частное решение у' уравнения (5.14) следует искать в виде (5.15) где г — число, равное кратности а + 111 как корня характеристического уравнения й~+ра+д = О, М~(х) и Ф~(х) — многочлены степени 1 с неопределенными коэффициентами, 1 — наивысшая степень многочленов Р„(х) и Я (х), т. е. 1 = шах(и, ги). Замечанил. 1. После подстановки функции (5.15) в (5.14) приравнивают много- члены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.

2. Форма (5.15) сохраняется и в случаях, когда Р„(х)=0 или ц (х)=0. 3. Если правая часть уравнения (5.10) есть сумма функций вида 1 или П, то для нахождения у* следует использовать теорему 5.2 о наложении решений. Пример Б.й Найти общее решение уравнения у" — 2у'+ у = х — 4. (,'з Решение: Найдем общее решение у ЛОДУ ун — 2у' + у = О.

Характеристическое уравнение кз — 2Й + 1 = 0 имеет корень й~ —— 1 кратности 2. Значит, у = с~ е*+ сз . х . е*. Находим частное решение исходного уравнения. В нем правая часть х — 4 = (х — 4) ее'* есть формула вида Рг(х).ез'*, причем а = О, не является корнем характеристического уравнения: а ~ йы Поэтому, согласно формуле (5.12), частное решение у* ищем в виде у* = Я~(х) ее'*, т. е. у* = Ах+В, где А и  — неопределенные коэффициенты. Тогда (у')' = А, (у')а = О.

Подставив у', (у*)', (у*)" в исходное уравнение, получим — 2А+ Ах+ В = х — 4, или Ах+ ( — 2А+В) = х — 4. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: < А=1, — 2А+ В = — 4. Отсюда А = 1, В = — 2. Поэтому частное решение данного уравнения имеет виду* = х — 2. Следовательно, у = (у+ у') = сге*+сгхе*+х — 2— искомое общее решение уравнения.

Пример 5.8. Решить уравнение уо — 4у' + 13у = 40 соз Зх. <„1 Решение: Общее решение ЛНДУ имеет вид у = у+у'. Находим решение однородного уравнения у: уо — 4у'+13у = О. Характеристическое уравнение кг — 4к+ 13 = 0 имеет корни йг — — 2+ 31, кг = 2 — Зг. Следовательно, у = ег* (сг сов Зх + сг . в1п Зх). Находим частное решение у*. Правая часть ЛНДУ в нашем случае имеет вид 7'(х) = ео' (40 соя Зх+ 0 зш Зх). Так как сг = О, В = 3, а+,Вг = 31 не совпадает с корнем характеристического уравнения, то г = О.

Согласно формуле (5.15), частное решение ищем в виде у" = А сов Зх+В в|в Зх. Подставляем у' в исходное уравнение. Имеем: (у')' = — ЗАзшЗх+ ЗВсовЗх, (у') о = — 9А сов Зх — 9В в1п Зх. Получаем: — 9А соя Зх — 9В яш Зх — 4( — ЗА вш Зх + ЗВ соз Зх) + + 13(АсозЗх+ В вшЗх) = 40созЗх, или ( — 9А — 12В+ 13А) соя Зх+ ( — 9В+ 12А+ 13В) сйпЗх = 40 сов Зх+ О. в!и Зх. Отсюда имеем: 4А — 12В = 40, 12А+ 4В = О. Следовательно, А = 1, В = — 3. Поэтому у* = сов Зх — 3 вшЗх. И наконец, у = ег*(сг совЗх+сг в(пЗх)+созЗх — Зв1пЗх — общее решение уравнения. Пример 5.4.

(Длл самостпоятельного решения.) Для предложенных дифференциальных уравнений получить вид частного решения: а) уо — Зу' + 2у = 5 + е*; б) уо — 2у'+ у = 2; в) уо + 4у = в1п2х+ сов 7х; г) уз+ у = 5соя2х — хяш2х; д),уо — Зу' = хг — 1+ сов х. Ответы: а) А+х-В е*; б) А; в) х(Асов 2х+Вяш2х)+Ссов7х+Рвш 7х; г) (Ах+В) сов2х+ (Сх.+Р)я1п2х; д) х(Ахг+Вх+ С)+Рсоях+Ев1пх.

45 Рассмотрим линейное неоднородное ДУ и-го (и > 2) поряцка у("~+аг(х) у~" П+аг(х) ° у~" ~~+ +а„(х) у = у(х), где а1 (х), аг (х), ..., а„(х), Г (х) — заданные непрерывные функции на (а; Ь). Соответствующее ему однородное уравнение имеет вид у~"1+а1(х) у~" П+ '+а„(х) ° у = О. Частное решение у* ЛНДУ и-го порядка может быть найдено, если известно общее решение у однородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных.

Оно ищется в виде у* = сг(х) уг(х) + сг(х) уг(х) + + с„(х) у„(х), где у;(х), 1 = 1,п, — частные решения, образующие фундаментальную систему, однородного уравнения. Система уравнений для нахождения неизвестных с;(х) имеет вид сгуз + сгуг + сзуз + ' ' + спуь = О) 4,у', +4уг+сзуз+" +с',у' =О сгу1 + сгуг + сзуз + ' ' '+ спЬ~ .~(х). Однако для ЛНДУ и-го порядка с постоянными козффиииеншами, правая часть которого имеет специальный вид, частное решение у* может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.

Метод подбора частного решения у* уравнения у~"~+р,у'™+" +р„у = Г(х), где р; — числа, а правая часть у(х) имеет специальный вид, описанный в п. 5.3 для случая п = 2, переносится без всякого изменения и на случай уравнения, имеющего порядок и > 2. Пример з.5. Решить уравнение уги — у' = 2х. (,з Решение: Находим у: /з, О, йг = 1, йзя = -- ж — г, 2 2 ГЗ 1 + сз зш — х) . 2 ) Ь4 ь-О Й(Й вЂ” 1) (Й~ + й + 1) = О, Йг —— за у = с1 + сге* + е г ( сз соз — х 2 5.4.

Интегрирование ЛНДУ и-го порядка (и > 2) с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Находим У*: 1(х) = 2х (= ее'*, Рг(х)) > т = 1, У' = х(Ах + В) = Ахг + Вх, отсюда (у*)' = 2Ах+ В, (у*)" = 2А, (у*)тл = О, (у")~~ = О. Тогда — (2Ах + В) = 2х. Отсюда А = -1, В = О и получаем у" = — хг. Следовательно, функция ~ГЗ 1 с4 з1п — х) — х 2 ) 1, 7,ГЗ у = (у+у*) =сг+сге*+е г ~сзсоз — х+ 2 является общим решением уравнения. З 6. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 6.1. Основные понятия = ~2(х; Ун Уг,..., У„), = Ях;упуз,...,У„), (6.1) Ф- д = 1„(х;ун уз;...;У„), называется нормально71 систпемов ДУ.

При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций. Замечание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения высших порядков можно привести к нормальной системе вида (6.1). Так, система трех ДУ второго порядка г — т —— Г2(Х;У;г;$;Х;У;г ), дх й (2 — = Рг(х)у;г;З;х',у',х')> пз 2 — т — — Рз(х;у;г;г;х;у 7х ), 3 .... 1. 1.

оз 47 Д ля решения многих задач математики, физики, техники (задач динамики криволинейного движения; задач электротехники для нескольких электрических цепей; определения состава системы, в которой протекают несколько последовательных химических реакций 1 порядка; отыскания векторных линий поля и других) нередко требуется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим систему.