Лекции печатные (Конспект лекций по высшей математике - Дмитрий Письменный), страница 10

или 1 — 2к+ )зз — 4 = О, )з~ — 2к — 3 = О, )зз — — — 1, )хз = 3. Частные решения данной системы ищем в виде Р; = а1е"'*, у = де"'* н у, = азеь'*, Р( ) = бзе"хх. Найдем а, и Д (1 = 1,2). При )з~ = — 1 система (6.8) имеет вид < (1 — ( — 1))а) — )8 = О, — 4а1+(1 — ( — 1))Д = О, т. е. 2а1 —,Вз —— О, — 4а1+2Д =О.

Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим а1 = 1, тогда Д = 2. Получаем частные решения Рз(') = е * и Рз(') = 2е *. При )гз = 3 система (6.8) имеет вид -2аз -,бз = О, — 4аз — 2,9з = О. Положим аз = 1, тогда бз = — 2. Значит, корню кз = 3 соответствуют частные решения: ( ) зх ( ) 2езх Общее решение исходной системы, согласно формуле (б;10), запишется в виде: Рз = с1е *+ сзез*, Рз — — 2с1е ' — 2сзез*.

Случай Я. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: йз = а+ Й, )хз = а — Й, йз. Вид частных решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1. Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять нх линейные комбинации (п. 4.1, случай 3), применяя формулы Эйлера; в результате получим два действительных решения, содержащих функции вида е'* сов бх, ехх гйпбх. Или, выделяя действительные и мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим два действительных частных решения (можно показать, что они тоже являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно-сопряженный корень йз = а — Й не даст новых линейно независимых действительных решений.

Пример 6.4. Найти частное решение системы Уз + РЗ~ ~Ь 8~- = — УЗ+УЗ вЂ” РЗ, -Р =3Р, +У„ удовлетворяющее начальным условиям: уз(0) = 7, Рз(0) = 2, уз(0) = 1. 53 О Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение: 1 — й — 1 0 1 0 1 — й — 1 3 1 — й =О, 3 1 — й ~0 1 — й (1 — й)(йг — 2й+ 4) — (й — 1) = О, (1 — й)(йг — 2й+ 5) = О, йз =1, йг = 1+2г', йз =1 — 2з'. Для йг = 1 получаем: 0 аз + 11г + 0 ° 7г = О, — аз+О А — тъ =О, 0 аз+3)1г+О уг — — 0 (см. (6.8)). Отсгода находим: рд — — О, аг = 1 (положили), 'уз — — — 1. Частное решение системы: у, = е*, уг = О, уз ' = — е*.

Для йг = 1+ 21 получаем (см. (6.8)): — 21аг+,Зг = О, — аг — 2цуг — уг = О, 3)3г — 2зуз = О. Отсюда находим: аг = 1 (положили), фг = 2з, тг = 3, Частное комплексное решение системы: у~~ ~ = еО+гй* у~ ~ = 21еО+гй* рз~ ~ = Зер+гй* В найденных решениях выделим действительную (Ве) и мнимую (1ш) части: Уг( ~ = ей+го* = е*(сов2х+(вш2х), Веу~~ ~ —— е*соз2х, 1гпуг( ) = е*вш2х; уг~ ~ — — 2ге~г+гй* = е*(2зсов2х — 2вш2х), 'В.ерг( ~ = — 2е'зш2х, 1шуз~ ~ = 2е*сов2х; рз~ ~ = Зер+гй* = е*(3сов2х+ 13зш2х), Веуз( ~ =Зе*соз2х, Хшуз~ ~ = Зе'вш2х. Квк уже отмечено, корень йз —— 1 — 21 приведет к этим же самым решениям. Таким образом, общее решение системы имеет вид уг = сге*+ сге сов2х+сзе*з1п2х, уг = сг 0 — 2сге*з1п2х+ 2сзе*сов2х, уз = — сг е* + Зсг е* сов 2х + 3сз е* вш 2х.

< 7 = сг + сг + О, 2=0 †О+2> 1 = -сг + Зсг + О, =«сг=5, сг=2, сз=1. 54 Выделим частное решение системы. При заданных начальных условиях получаем систему уравнений для определения постоянных см сг, сз. Следовательно, искомое частное решение имеет вид у1 = 5е*+ 2е* сов 2х+ е* в|и 2х, уг = — 4е*вш2х+ 2е*сов2х, уз = — 5е*+ бе* сов2х+ Зе*в1п2х.

Пример 6.5. Решить систему уравнений: У1 Уз+Уз = Уз + Уг — Уз, — "з = — уз+ 2уз О Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение 1 — й — 1 1 1 1 — й — 1 Π— 1 2 — й =О, (1 — йК2 — 2й — й+ йг — 1) — 1( — 2+ й + 1) = О, йз — — 2, йг = йз = 1. Корню й1 —— 2 соответствует система (см.

(6.8)): — аз — рз +.и — — О, а1 —,61 — и = О, — 11з =,О, )1з =О, аз — "и — — О Полагая уз = 1, находим а1 = 1. Получаем одно частное решение исходной системы: у~ 1 = ег* у~ ~ = О у~ ~ = ег* 1 ~ г > 3 Двукратному корню й = йг = йз = 1 (пз = 2) соответствует решение вцца уз~ ' ) = (А + Вх)е*, уг~ ' 1 = (С + Юх)е*, уз~ ' ) = (Е + Ех)е*.

Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы: В ° е* + (А + Вх)е' = (А + Вх)е* — (С + Вх)е* + (Е + Гх)е*, В е*+ (С+ Вх)е* = (А+ Вх)е*+ (С+ Вх)е* — (Е+ Рх)е*, Р ° е' + (Е+ Ех)е* = — (С+ Ьх)е*+ 2(Е+ Рх)е*, Случай 8. Характеристическое уравнение имеет корень й кратности т (т = 2,3). Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде: а) если пз = 2, то Уз = (А+Вх)е~*, Уг = (С+Ох)е" Уз =(Е+гх)е б) если т = 3, то у1 = (А+ Вх+ Схг)е"*, уг = (Ю+ Ех+ г'х )е * Уз = (С + Нх + Фхг) ее*.

Это решение зависит от пг произвольных постоянных. Постоянные А, В, С,..., М определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через пз из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим т линейно независимых частных решений системы (6.6). или, после сокращения на е* ф О и группировки, < ( — Е)х+ В+ С вЂ” Е = О, ( — Г)х+ А —  — Е = О, ( — Р)х + С + Р— Е = О. Эти равенства тохСцественно выполняются лишь в случае, когда  — У=О,  — У=О, В+С вЂ” Е=О, А —  — Е=О, С+У вЂ Е. Выразим все коэффициенты через два из них (т = 2), например через А и В. Из второго уравнения имеем Г = В.

Тогда, с учетом первого уравнения, получаем 1) = В. Из четвертого уравнения находим Е = А — Ю, т. е. Е = А — В. Из третьего уравнения: С = Š— В, т. е. С = А —  — В, или С = А — 2В. Коэффициенты А и  — произвольные. Полагая А = 1, В = О, находим: С = 1, В = О, Е = 1, Р = О. Полагая А = О, В = 1, находим; С = — 2, 1) = 1, Е = — 1, Р = 1.

Получаем два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корню и = 1: (2) (2) (2) у1 = хе*, уз( ) = ( — 2+х)е*, у( ) = ( — 1+х)е*. Записываем общее решение исходной системы: у2 = сзез*+ сзе'+ сзхе*, уз = сзе* + сз(х — 2)е*, Уз = сзе * + сзе* + сз(х — 1)е*. Глава 11. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 37. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 7.1.

Основные понятия и определения Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл. Пусть в замкнутой области Р плоскости Оху задана непрерывная функция г = 7'(х; у). Разобьем область 1) на п «элементарных областей» Р; (1 = 1,п), площади которых обозначим через Ьбп а диаметры (наиболыпее расстояние между точками области) — через д; (см.

рис. 3). В каждой области Р; выберем произвольную точку М;(хну,), умнежим значение 7(х,", у;) функции в этой точке на ЬЯ; и составим сумму всех таких произведений: .) (х1', у1)ЬЯ1 + ) (хг, 'уз)Ь52 + ' '+ ~(хо) уо)Лбов ,((х;; у;)Ьбь (7.1) е=1 Эта сумма называется интегральной суммой функции 7" (х; у) в области Р. Рассмотрим предел интегральной суммы (7.1), когда п стремится к бесконечности таким образом, что таха -) О. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области .Р на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойни и ингпегролом от функции .7(х; у) по области Р и обозначается ~~ 7' (х; у) е(х с~у (или 0 7'(х; у) е(5) .

и о Таким образом, двойной интеграл определяется равенством 0,7(х; у) е(хе1у = 1)т ~> 7'(х;; у;) ° ЬЯе. (7.2) о 1мах е;-+О) )=1 Рис. 3 В этом случае функция 7"(х; у) называется интпегрируемой в обласгпи Р; Р— область интегрирования; х и у — переменные интегрирования; сне(у (или е(5) — элеменгп площади. Для всякой ли функции 7 (х; у) существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь без доказательства.

57 Теорема 7.1 (достаточное условие интегрмруемости функции). Если функция г = 7(х; у) непрерывна в замкнутой области Р, то онг интегрируема в этой области. Замечания. 1. Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций. 2. Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области Р функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область Р на площадки прямыми, параллельРис.

4. ными координатным осям (см. рис. 4). При этом Ьо; = Ьх; Ьун равенство (7.2) можно записать в виде Ч у 1х; у) г1х г1у = 1пп ~7'1х;; у;) Ьх; Ьуь о (пзахА-~0) г=г ?.2. Геометрический и физический смысл двойного интеграла Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу. хп у1 58 Обь цилиндрического тела Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью г = 71х; у) > О, снизу — замкнутой областью Р плоскости Оху, с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Оз, а направляющей служит граница области Р )см. рис.