Лекции печатные (Конспект лекций по высшей математике - Дмитрий Письменный), страница 6

др ду зо Так как р ~ О (иначе у' = О, что противоречит начальному условию у' = 2), то -„— р+ у — 1 = Π— получили линейное ДУ первого порядка. ду Проведем решение полученного линейного ДУ методом Бернулли (п. 2.4). Полагаем р = и о. Имеем: и'и + ио' — ио + у — 1 = О, или и'о+ и(о' — о) = 1 — у. Подберем функцию о так, чтобы о' — о = О. Тогда —" = ду, о = е". Ю Получаем: и' е" +и 0 =1 — у, т.е. г(и = (1 — у) е "г(у. Интегрируя это равенство, находим, что и = — (1 — у) е "+ е "+ сг.

Следовательно, р=из=(( — 1+у)е "+е "+сг) е+", илн р=сге" +у. Заменяя р на у', получаем: у' = сз ° е" + у. Подставляя у' = 2 и у = 2 в это равенство, находим с|. 2 = сге + 2, сг —— О. Имеем у' = у. Отсюда у = сзе*. Находим сз из начальных условий: 2 = сзео, сг — — 2. Таким образом, у = 2е' — частное решение данного ДУ 3.3.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Основные понятия Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям. Уравнение вида Ьо(х)урй + Ь1(х)у~" О + ° ° + Ь„(х)у = д(х), (3.11) где Ьо(х) зЕ О, Ь1(х),..., Ь„(х), д(х) — заданные функции (от х), называется линейным ЯУ и-го тьорлдка. Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции Ьо(х), Ь1(х),..., Ь„(х) называются коэффициентами уравнения (3.11), а функция д(х) — его свободным членом. Если свободный член д(х) = О, то уравнение (3.11) называется ли- . нейным однородным уравнением; если д(х) 1Е О, то уравнение (3.11) называется неоднородным.

Разделив уравнение (3.11) на Ьо(х) ф О и обозначив Ь1(х) Ь„(х) д(х) Ьо(х) ''''' Ьо(х) " ' Ьо(х) запишем уравнение (3.11) в виде приведенного: урй + аг(х)у~" ') + аз(х)у~" '~ + + а„(х)у = у(х). (3.12) Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (3.12) и считать, что коэффициенты и свободный член уравнения (3.12) являются непрерывными функциями (на некотором интервале (а; Ь)). При этих условиях справедлива теорема существования и единственности решения ДУ (3.12) (см.

теорему. 3.1). з1 3.4. Линейные однородные ДУ второго порядка Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка: (3.13) и установим некоторые свойства его решений. (.Э Подставим функцию у = с1у1 + сту2 и ее производные в левую часть ЛОДУ (3.13). Получаем: (с1у1 + сзу2)' + а1(х) ° (с1у2 + сзу2)'+ а2(х) (с1уь + сзу2) = = с1у,"+ сзу2'+ а1(х) ° (с1у', + сзу2) + а2(х) (с1у1 + сту2) = = с1(у",+а1(х) у', +а2(х) у)+с2(у2'+а1(х)у', +а2(х)у2) = =сз О+с2 0=0, так как функции уз и у2 — решения уравнения (3.13) и, значит, выражения в скобках тождественно равны нулю. Таким образом, функция у = с1у1 + сзу2 также является решением уравнения (3.13). Из теоремы 3.2, как следствие, вытекает, что если у1 и у2 — решения уравнения (3.13), то решениями его будут также функции у = у1+ у2 и у=с ум Функция (3.14) содержит две произвольные постоянные и является решением уравнения (3.13).

Может ли она являться общим решением уравнения (3.13)? Для ответа на вопрос введем понятие линейной зависимости и линейной независимости функций. Функции у1 = у|(х) и у2 = у2(х) называются линейно независимыми на интервале (а; 5), если равенство (3.15) а1у1 + оту2 = О, где аы а2 е И, выполняется тогда и только тогда, когда о2 — — а2 = О. Если хотя бы одно из чисел а1 или а2 отлично от нуля и выполняется равенство (3.15), то функции уз и у2 называются линейно зависимыми на (а;6).

Очевидно, что функции у2 и у2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т. е. для всех х Е (а;6) выполняется равенство п1 = Л, или у1 — — Луз, Л = сопв1. у2 32 Например, функции уг = Зе* и уг = е* линейно зависимы: кь = 3 = Уг = сопзФ; функции У1 и уз = ег* — линейно независимы: кь = -$,— = Зе * ф Уг е* ~ сопз$; функции У4 = з1пх и уг = сов х являются линейно независимыми: равенство сгг вшх + ог созх = О выполняется для всех х б й лишь при ог = ог — — О (или уг = гкх ф сопзг). Уг Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан (1О. Вронский — польский математик).

Для двух дифференцируемых функций у1 — — уг(х) и уг = уг(х) врон- скиан имеет вид И'(х) = Имеют место следующие теоремы. Теорема 3.3. Если дифференцируемые функции у1 (х) и уг(х) линейно зависимы на (а; Ь), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю. Ц Так как функции У1 и уг линейно зависимы, то в равенстве (3.15) значение а1 или ог отлично от нУлЯ. ПУсть о1 ~ О, тогда Уг —— — оаУг, поэтомУ ог для любого х б (а; Ь) ал а1 Уг Уг Теорема 3.4. Если функции У1(х) и уг(х) — линейно независимые решения уравнения (3.13) нэ (а; Ь), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль, Доказательство теоремы опустим.

Из теорем 3.3 и 3.4 следует, что еронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала (а; Ь) тогда и только тогда, когда частные решения линейно независимы. Совокупность любых двух линейно независимых на интервале (а;Ь) частных решений уг(х) и уг(х) ЛОДУ второго порядка определяет фундаментпальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация у = огу1(х) + огуг(х) Пример Я.Е. Частные решения у1 — — з1пх и уг = созх, уз = 2зшх и ул = 5 сов х (их бесчисленное множество!) уравнения у" + у = О образуют фундаментальную систему решений; решения же уе = О и уе = сов х — не образуют.

зз Теперь можно сказать, при каких условиях функция (3.14) будет общим решением уравнения (3.13). Теорема З.б (структура общего решения ЛОДУ второго порядка). Если два частных решения уг — — рг(х) и уг = уг(х) ЛОДУ (3.13) образуют на интервале (а; Ь) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция (3.16) у = сгрг + сгрг, где сг и сг — произвольные постоянные. Д Согласно теореме 3.2, функция (3.16) является решением уравнения (3.13). Остается доказать, что это решение общее, т.

е. что из него мож- но выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям ! у~ =ро у ~ =уз~ !х=го к=~а (3.17) где хо Е (а; Ь). Подставив начальные условия (3.17) в решение (3.14), получим систему уравнений уо = сгрг(хо) + сарг(хо) уо = с1уг(ха) + сгуг(хо)~ где уо = у(хо), уо = р'(хо), с неизвестными сг и сг.

Определитель этой системы уг (ха) уг(хо) Р1 (хо) уг(хо) хо равен значению вронскиана гг'(х) прн х = хо. Так как решения У1(х) и рг(х) образуют фундаментальную систему решений на (а; Ь) н хо Е (а; Ь), то, согласно теореме 3.4, И'(хо) ф О. Поэтому система уравнений имеет единственное решение: о 1 уа уг(хо)1 о 1 1уг(хо) Ро1 сг=с,= —,, ~, сг=сг=— Й(хо) ро уг(хо)~ Иг(хо) 1уг(хо) уа~ Решение у = согуг (х) +сагуг(х) является частным решением (единственным, в силу теоремы единственности) уравнения (3.13), удовлетворяющим начальным условиям (3.17). Теорема доказана.

3.5. Линейные однородные ДУ и-го порядка Полученные результаты можно распространить на линейные однородные дифференциальные уравнения и-го порядка, имеющие вид УОО+ а1(х):р~" О+аг(х) .у~" г~+ +а„(х) у = О. (3.18) 34 П Пример Я.Б.

На основании теоремы 3.5 общим решением уравнения у" + у = О (см. пример 3.4) является функция у = с1 е(п х + сг соз х. 1. ЕСЛИ фУИКЦИИ У! — Уг(Х), У2 = У2(Х),..., Ун — У!!(Х) ЯВЛЯЮТСЯ ЧЕСТ- ными решениями уравнения (3.18), то его решением является и функция У = с! Уг + сгуг + . ° + с ьуь. 2. Функции уы уг,..., У„называются линейно независимыми на (а; б), если равенство агу! + огуг + + сг„у„= О выполняется лишь в случае, когда все числа ои = О (2 = 1,2,...,Я); в противном случае (если хотя бы одно из чисел си не равно нулю) функции ум уз,...,у„— линейно зависимы.

3. Определитель Вронского имеет вид Ун ! Уе !! Ун Уг У) рн Уг Уг н И"(х) = (!!-1) !!! — 1) У! Уг !и — 2) Ун 4. Частные решения ум уз,..., У„уравнения (3.18) образуют фундаментальную систему решений на (а; б), если ни в одной точке этого интервала вронскиан не обращается в нуль, т. е. И'(х) ф О для всех х б (а; б).

5. Общее решение ЛОДУ (3.18) имеет виду = С!у!+сгуг+ +с Ун, где с; (2 = 1,..., Я) — произвольные постоянные, у; — частные решения уравнения (3.18), образующие фуццаментвльную систему. О Решение: Найдем И'(х): х2еи х хг 1 х+1 хг+2х 1 х+2 хг+4х+2 хе* зя е* (х + 1)е* (хг + 2х)е* е* (х + 2)е* (хг + 4х + 2)е* И!(Х) = 1 х хг О 1 2х = ез* (4х+ 2 — 4Х) = 2ез*. О 2 4х+2 = 3* Ясно, что И'(х) 2Е О для всех х е )и. Следовательно, данные функции образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ третьего порядка. В общем виде ЛОДУ третьего порядка выглядит так: угн + аг(х)уе + аг(х)у' + аз(х)у = О. Подставив функции уыуг,уз в это уравнение, получим систему из трех УРавнений относительно фУнкЦий аг(х), аг(х), аз(х). Решаи ее, полУчим ЛОДУ унч — Зу" + Зу' — у = О; его общее решение: у = сге*+ сгхе*+ сзхге*.

35 Я Пример 3.6. Показать, что функции У2 — — е*, уг = х е*, уз = хг е* образуют фундаментальную систему решений некоторою ЛОДУ третьего порядка (дополнительно: составить это уравнение). 34. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯ Н Н ЫМ И КОЭФФИ ЦИ ЕН ТАМ И 4.1. Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ПОДУ с постоянными хоэффициенгпаПусть дано ЛОДУ второго порядка (4.1) где р и д постоянны. Для нахождения общего решения уравнения (4.1) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему (см.

теорему 3.5). Будем искать частные решения уравнения (4.1) в виде у = еь*, где й — некоторое число (предложено Л. Эйлером). Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у' и уо в уравнение (4.1), получим: хз е"*+ р й еь*+ д е"* = О, т. е. е"' ° (хз+рх+д) =О, или хз+рх+д = 0 (е"* ф 0). (4.2) Уравнение (4.2) называется харахгперистичесхим уравнением ДУ (4.1) (для его составления достаточно в уравнении (4.1) заменить у", у' и у соответственно на Йз, Й и 1).

При решении характеристического уравнения (4.2) возможны следующие три случая. Случай 1. Корни й~ и хз уравнения (4.2) действительные и различные: з ~, ~ й, (~ = В- — д > О). В этом случае частными решениями уравнения (4.1) являются функции у~ = е"'* и уэ — — еь". Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы), т. к. их вронскиан вы э еьаэ И'(х) = ь, ь, — — Ь~е~"'+ '1* — М~е("'+ь')' = еом+ь'~* (йз — й~) ф О. Следовательно, общее решение уравнения (4.1), согласно формуле (3.15), имеет вид (4.3) Пример 4.1.