Лекции печатные (Конспект лекций по высшей математике - Дмитрий Письменный), страница 4

Следовательно, с(с(х) = д(х) ехр ( /р(х) гЬ) г1х. гДяя удобства записи пользуемся обозначением ег<г> = ехр(с (я)). 19 Интегрируя, находим: с(х) = / д(х) ехрЦр(х) Нх) Их + с. Подставляя выражение с(х) в равенство (2.14), получим общее решение ДУ (2.11): у = Цд(х) ° ехр(/ р(х) дх) ° Нх + с~ ехр( — ~р(х) Их). Естественно, та же формула была получена методом Бернулли (ср. с (2.13)). 1Хример х.д. Решить пример 2.8 методом Лагранжа.

(„1 Решение: Решаем уравнение д'+ 2хд = О. Имеем — = -2х Нх, или Ди у = с е * . Заменяем с на с(х), т. е. решение ДУ у'+ 2ху = 2х ищем в виде у = с(х) е * . Имеем у' = с'(х) е ' +с(х) е * ( — 2х). Тогда с'(х) ° е * — 2хс(х) е * +2хс(х) е * =2х, т.е. с'(х) ° е * =2х, или с(х) = /2х е* Нх, или с(х) = е* +с. Поэтому д = (е* +с) е *, или у = 1+ с е * — общее решение данного уравнения. Замечание. Уравнение вида (х Р(у) + Я(д)) д' = В(у), где Р(у), Я(д), В(у) ф Π— заданные функции, можно свести к линейному, если х считать функцией, а д — аргументом: х = х(у). Тогда, пользуясь равенством пц ~-(~ д~„> ... дв яш' х'„' линейное относительно х уравнение.

Его решение ищем в виде х = н и, где и = и(д), е = с(д) — две неизвестные функции. Пример 8.10. Найти общее решение уравнения (х+ д) у' = 1. О Решение: Учитывая, что у = -„от исходного уравнения переходим к 1 х' линейному уравнению х' = х + у. Применим подстановку х = и о. Тогда х' = и' е+ и о'. Получаем: и' е + и е' = и с + д, или и' е + и(е' — е) = у, Находим функцию е: в' — о = О, —" = оу, с = е". Ю Находим функцию ьс и' е"+и О = д,т. е. и' = у е ", илии = / у е "ч1у. Интегрируя по частям, находим: и = — у е " — е " + с.

Значит, общее решение данного уравнения: х=и с=( — у е "— е ~+с) е", или х = — д — 1+ с е". ао Уравнение Я. Бернулли Уравнение вида у'+р(х) у=д(х)-у", пей, п~О, п~1 (2.15) называется ураенениен Бернулли. Покажем, что его можно привести к линейному. Если и = О, то ДУ (2.15) — линейное, а при и = 1 — с разделяющимися переменными. В общем случае, разделив уравнение (2.15) на у" ф О, получим: ,у " у +р(х) у "~ =д(х). (2.16) Обозначим у "+' = х.

Тогда х' = — "~ = (1 — и) у " у'. Отсюда находим дх у " у' = х . Уравнение (2.16) принимает вид 1 — х'+ р(х) з = д(х). Последнее уравнение является линейным относительно ж Решение его известно. Таким образом, подстановка г = у "+' сводит уравнение (2.15) к линейному. На практике ДУ (2.15) удобнее искать методом И. Бернулли в виде у = и о (не сводя его к линейному). 2.5. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель Уравнение (2.17) Р(х; у) дх + О(х; у) ду = О называется уравнением е полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции и(х; у), т. е.

Р(х; у) 4х + Я(х; у) ду = г(и(х; у) . В этом случае ДУ (2.17) можно записать в вице ди(х; у) = О, а его общий интеграл будет: и(х;у) = с. (2.18) Приведем условие, по которому можно судить, что выражение Ь = Р(х; у) дх + Я(х; у) ду есть полный дифференциал. 21 Необходимость Д Пусть Ь есть полный дифференциал, т. е. Р(х; у) дх + Я(х; у) ду = ди(х; у). Учитывая, что ди(х; у) = и дх+ и ду (см.

Часть 1, п. 44.3), имеем: ди ди Р(х;у) = —; Я(х;у) = —. дх' ' ду' Дифференцируя эти равенства по у и по х соответственно, получаем дги ду дх ду дх ду дх' А так как смешанные частные пРоизводные о — д- и о —.~- Равны междУ д'и д'и ох ду Эу ~х собой (см. Часть 1, п., 44.2), получаем (2.19). Достаточность Пусть в области Р выполняется условие (2.19).

Покажем, что существует функция и(х;у) в области Р такая, что Йи(х;у) = Р(х; у) дх+ Я(х;у) ф. Найдем эту функцию. Искомая функция'должна удовлетворять требованиям: — = Р(х;у) и — = Я(х;у). ди ди дх ' ду (2.20) Здесь произвольная постоянная с = ~р(у) зависит от у (лнбо является числом). В решении (2.21) не известна лишь у(у).

Для ее нахождения продифференцируем функцию (2.21) по у: — = (/ Р(х; у) дх) + у'(у). Используя второе равенство (2.20), можно записать: Я(х;у) = (~Р(х;у)сх) +у'(у). Отсюда у'(у) = Я(х;у) — (/ Р(х;у) Йх) (2.22) В равенстве (2.22) левая часть зависит от у. Покажем, что и правая часть равенства зависит только от у. Если в первом уравнении (2.20) зафиксировать у и проинтегрировать его по х, то получим: и(х;у) = /Р(х;у)дх+~о(у).

(2.21) Для этого продифференцируем правую часть по х и убедимся, что производная равна нулю. Действительно, — (Я(х;у) — — (/Р(х; у) г(х)) = — — — ( — (/Р(х; у) г1х)) = д д дД д д д д (д (/ ' )) д д дс7 д д дЯ д д(~ дР = — — — =0 дх ду в силу условия (2.19).

Из равенства (2.22) находим ~р(у): ~о(у) = / (Я(х;у) — — (/Р(х; у) г(х)) Йу+ с, с — сопзФ. д ду Подставляя найденное значение для <р(у) в равенство (2.21), находим функцию и(х;у) такую, что Ыи(х;у) = Р(х;у)сЬ+Ч(х;у)Ну. ° Таким образом, при решении ДУ вида (2.17) сначала проверяем выполнение условия (2.19).

Затем, используя равенства (2.20), находим функцию и(х; у). Решение записываем в виде (2.18). Пример х.11. Решить уравнение у' = — г — кг. 5 — 2х Зу +х О Решение: Запишем уравнение в дифференциальной форме: (2ху — 5) Ых + (Зуг + хг) Ну = О. Здесь Р(х; у) = 2ху — 5, 9(х; у) = Зуг + хг. Проверяем вьтолвение усло- дР Яд дР д9 ду ' дх ' ду дх ' Следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Условия (2.20) будут здесь выглядеть как ди ди — =2ху — 5,— =Зу +х .

дх ' ду Отсюда имеем ° и(х;у) = /(2ху — 5) Нх = хгу — 5х+ у(у); — = (хгу — 5х + ~р(у))' = х + у'(у). ду Р Далее Зуг+ г г+ с(„) г(„) Зуг р(у) = уз + сг, и(х; у) = хгу — 5х+ уз + сы Общим интегралом является хгу — 5х+ уз + сг — — сг, или хгу — 5х+ уз = с, где с = сг — сы Э Если условие (2.19) не выполняется, то ДУ (2.17) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением его на некоторую функцию г(х; у), называемую интегрирующим множителем.

Чтобы уравнение 1(х; у) Р(х; у) г(х+ г(х; у) Я(х; у) ду = О было уравнением в полных дифференциалах, должно выполняться условие д д ду ' ' дх — (г(х;у) . Р(х;у)) = — (е(х;у) О(х;у)). Выполнив дифференцирование — Р+ — 1 = — Я+ ф 1 и приведя дС дР д4 ду ду дх х подобные слагаемые, получим де де 7дЯ дР; — Р- — О=4~ — — — ).

(2.23) ду дх ~дх ду)' Для нахождения г(х; у) надо проинтегрировать полученное ДУ в частных производных. Решение этой задачи не простое. Нахождение интегрирующего множителя может. быть упрощено, если допустить существование г как функции только одного аргумента х либо только у.

Пусть, например, г = г(х). Тогда уравнение (2.23) принимает вид ,14 Рда дР~ де % — 'е. — — ег' = Е ~ — — — (, или — = —" — * — Ых. 1х' = '~дх ду!' Отсюда (2.24) ЭР Вд При этом выражение должно зависеть только от х. ду ог Аналогично получаем, что если 4 = г(у) (Е не зависит от х), то дя эг го=-~(/ -"Ф). а подынтегрвльное выражение должно зависеть только от у. Пример 2.1х. Решить уравнение (хз — у) е(х+(хзуг+х) ду =О. 1 у Решение: Здесь д' = — 1; — = 2хуз+ 1, т. е. д~ ф — -. Однако оу — э, — 1 — 2ху — 1 — 2 г хзу +х х зависит только от х. Следовательно, уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от х, выражение которого может быть получено при помощи формулы (2.24). В нашем случае получим, что 2 1 Е(х) = ехр( — / — дх) = ехр( — 21п 1х1) = —.

х х 24 Умножая исходное уравнение на 1 = -т, получаем: 1 х (1 — — ",) Ь+ (у'+ -)1у = О, т. е. уравнение в полных дифферЕнциалах! Решив его, найдем, что общий интеграл заданного уравнения имеет вид х+ — + — = с. у у х 3 2.б. Уравнения Лагранжа и Клеро Рассмотрим дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно производной. К ннм, в частности, относятся уравнения Лагранжа и Клеро. Уравнение Лагранжа Уравнение вида у = х ~о(у') +ф(у ), (2.25) где ~о и ф — известные функции от у' = а, называется уравнением Ых' Лавронова. Введем вспомогательный параметр, положив у' = р. Тогда уравнение (2.25) примет вид (2.26) Дифференцируя по х, получим: — = У(Р) + х У'(Р) ° — + Р'(Р) ау аР ~ ар г(х гЬ ах' т е Р— У(Р) =(х Ф(Р)+4~'(Р)) ~В,или Ы (Р— У(Р)) — — х ~Р'(Р) = ф'(Р).

Щ3 (2.27) Уравнение (2.27) есть линейное уравнение относительно неизвестной функции х = х(р). Решив его, найдем: (2.28) х = Л(р;с). Исключая параметр р из уравнений (2.26) и (2.28), получаем общий интеграл уравнения (2.25) в виде у = у(х; с). Отметим, что, переходя к уравнению (2.27), мы делили на . При етом ф могли быть потеряны решения, для которых — и = О, т. е. р = ро —— сопзФ.