Лекции печатные (Конспект лекций по высшей математике - Дмитрий Письменный), страница 2

Такие уравнения называются дифференг1иальными (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Так, решением уравнения у' = /1х) является функция у = г'(х)— первообразная для функции /1х). Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях ~ДУ). Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенны.гс в противном случае — ДУ в частных производных. Далее будем рассматривать только обыкнрвенные ДУ.

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения. Например, уравнение уо' — Зуо + 2у = 0 — обыкновенное ДУ третьего порядка, а уравнение хгу' + 5ху = уг — первого порядка; у г' = х ° г„'— ДУ в частных производных первого порядка. Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ вЂ” интегральной кривой.

Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к диффе- ренциальным уравнениям. 1.2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Задача 1 Материальная точка массы т замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости 1'. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 с после начала замедления, если Ъ'(О) = 100 м/с, а Р"(1).= 50 м/с. (~1 Решение: Примем за независимую переменную время г, отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки ъ' будет функцией 1, т.

е. г' = г'(г). Для нахождения ъ'(8) воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механики): т а = Р, где а = г'(г) — есть ускорение движущегося тела, Р— результирующая сила, действующая на тело в процессе движения. Задача 2 Найти кривую, проходящую через точку (4; 1), зная, что отрезок любой касательной к ней, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам. (~1 Решение: Пусть М(х; у) — произвольная точка кривой, уравнение которой у = у(х).

Для определенности предположим, что кривая расположена в первой четверти (см, рис. 1). Для составления дифференциального уравнения воспользуемся геометрическим смыслом первой производной: Сйа есть угловой коэффициент касательной; в точке М(х;у) он равен д', т. е. у' = фа. Из рисунка видно, что 18(~МВС) = . Но МС Рис. 1.

$8(~МВС) = 18(180' — а) = — 18 о, МС = у. По условию задачи АМ = МВ, следовательно, ОС = СВ = х. Таким образом, получаем — 18 а = к или у' = — и. Решением полученх х' ного дифференциального уравнения является функция у = — (гипербола). х Решение будет приведено в п. 2.2 (пример 2.4). Другие задачи Можно показать, что: ° закон изменения массы радия в зависимости от времени («радиоактивный распад») описывается дифференциальным уравнением — = — к т, где и > 0 — коэффициент пропорциональности, гп(г)— Ига ~й масса радия в момент 1; 1О В данном случае г' = — И'з, к > 0 — коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается).

Следовательно, функция У = 'г'(1) является решением дифференциального уравнения пз . Г = — к ° 1~э или 1" = — — Ъ'з. Здесь т — масса тела. Как будет показано ниже (пример 2.5), И =, где с — сопз1. ь .1+с' т Найдя зависимость скорости от времени, легко найти скорость точки через 3 с после начала замедления.

Найдем сначала параметры — и с. Согласно условию задачи, имея ем: У(0) = — = 100 и Ъ'(1) = — = 50. Отсюда с =— 1 1 — "+с 100' т 100' Следовательно скорость точки изменяется по закону г' = —. Поэтому 100 1+ 1' Ъ'(3) = 25 м/с. ° «закон охлаждения тел», т. е. закон изменения температуры тела в зависимости от времени описывается уравнением — = Й(Т вЂ” 8о) где <(Т ей 1 Т(г) — температура тела в момент времени г, й — коэффициент пропорциональности, 8а — температура воздуха (среды охлаждения); ° зависимость массы х вещества, вступившего в химическую реакцию, от времени $ во многих случаях описывается уравнением — = к ° х дх Ф где к — коэффициент пропорциональности; ° «закон размножения бактерий» (зависимость массы т бактерий от времени $) описывается уравнением т', = к т, где к > О; ° закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над уровнем моря описывается уравнением -~ = — Й р где р(й) — атмое( <(й сферное давление воздуха на высоте й, к > О.

Уже приведенные примеры указывают на исключительно важную роль дифференциальных уравнений при решении самых разнообразных задач. 22. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2.1. Основные понятия Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде г'(х;у;у~) = О.

(2.1) Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию у и ее производную у'. Если уравнение (2.1) можно разрешить относительно у', то его записывают в виде у = Дх;у) (2.2) и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной. Мы в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ.

Уравнение (2.2) устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (х; у) и угловым коэффициентом у' касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ у' = з'(х; у) дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Оху. Таково геометрическое истолкование ДУ первого порядка. Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить у' = с, т. е. у(х; у) = с.

Доо 11 П Пример й1. С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения у' = 2х. О Решение: Уравнение изоклин этого ДУ будет 2х = с, т. е. изоклинами здесь будут прямые, параллельные оси Оу (х = $). В точках прямых проведем отрезки, образующие с осью Ох один и тот же угол гг, тангенс которого равен с. Так, при с = О имеем х = О, фо =-О, поэтому а = О; при с = 1 уравнение изоклины х = 1 поэтому Гй а = 1 и а = 45"; при с = — 1: х = — —, ~3 о = — 1, а = — 45', при с = 2: х = 1, Сй а = 2, а = агой 2 ко 63 и т. д. Рис.

2. Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них рцц стрелочек, наклоненных к оси Ох под определенным углом (см. рис. 2), по их направлениям строим линии. Они, как видно, представляют собой семейство парабол. ДифференциаЛьное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме: (2.3) Р(х; у) 4х + Я(х; у) г(у = О, где Р(х; у) и О(х; у) — известные функции.

Уравнение (2.3) удобно тем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. любую из них можно рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида записи ДУ можно перейти к другому. Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множеству решений (отличоющихся друг от друга постоянными величинами). Легко догадаться, что решением уравнения у' = 2х является функция у = хз, а также у = хз + 1, у = хз — ~/2 и вообще у = хз + с, где с — сопзС.

Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным условиям. Условие, что при х = хо функция у должна быть равна заданному числу уо, т. е. у = уо называется начальным условием. Начальное условие записывается в виде у(хо) = уо или у~ = уо. 1й=й (2.4) Обгцмм ремгемием ДУ первого порядка называется функция у = = у(х; с), содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям: 1. Функция у(х; с) является решением ДУ при каждом фиксированном значении с. 2. Каково бы ни было начальное условие (2.4), можно найти такое значение постоянной с = со, что функция у = р(х; со) удовлетворяет данному начальному условию. тХасгпквьм решением ДУ первого порядка называется любая функция у = у(х; со), полученная из общего решения у = ю(х; с) при конкретном значении постоянной с = со.

Коли общее решение ДУ найденов неявном виде, т. е. в виде уравнения Ф(х;у;с) = О, то такое решение называется частным интегралом ДУ. Уравнение Ф(х; у; со) = О в этом случае называется частным интегралом уравнения. С геометрической точки зрения у = у(х;с) есть семейство интегральных кривых на плоскости Оху; частное решение у = у(х; со) — одна кривая из этого семейства, проходящая через точку (хо, уо). Задача отыскания решения ДУ первого порядка (2.3), удовлетворяющего заданному начальному условию (2.4), называется задачем Хаши. Теорема 2.1 (существования и единственности решения задачи Коши).

Если в уравнении (2.2) функция у(х; у) и ее частная производная у„'(х;у) непрерывны в некоторой области Р, содержащей точку (хо, уо), то существует единственное решение у = ~р(х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (2.4). (Без доказательства). Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку (хо уо). Рассмотрим теперь методы интегрирования ДУ первого порядка определенного типа.

2.2. Уравнения с разделяющимися переменными Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение вида Р(х) дх+ Я(у) ду = О. (2.5) В нем одно слагаемое зависит только от х, а другое — от у. Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем: / Р(х) дх+ / Я(у) ду = с — его общий интеграл. Пример в.х.

Найти общий интеграл уравнения х дх+ у ду = О. чд Решение: Данное уравнение есть ДУ с разделенными переменными. Поэтому / х дх — / у ду = сг или — — У = сы Обозначим с = см х 2 2 2 Тогда хг — уг = с — общий интеграл ДУ. Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид Р1 (х) - Я1(у) . дх + Рг(х) Яг(у) ду = О. (2.6) Особенность уравнения (2.6) в том, что коэффициенты при Ых и ду представляют собой произведения двух функций (чисел), одна из которых зависит только от х, другая — только от у.

Уравнение (2.6) легко сводится к уравнению (2.5) путем почленного деления его на Я1(у) Рз(х) ~ О. Получаем: Р. (х) ~з(у) Г Р1(х) 1 ~~Ь) — общий интеграл. Замечания. 1. При проведении почленного деления ДУ на Я1(у) Рз(х) могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение 1„11(у) Рз(х) = О и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения, — особые решения. 2.