1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (Лоудон 1973 - Квантовая теория света), страница 5

Для изучения взаимодействия между атомами и излучением необходимо ГЛАВА 1 проделать более сложный и тщательно продуманный эксперимент. Например, можно послать пучок излучения с частотой ы через полость и измерить дол!о интенсивности пучка, потерянную в полости. В типичном эксперименте усредненная за период плотность энергии излучения с частотой ы превышает тепловую часть плотности энергии ут(ы) на величину яре(ы), которая представляет вклад .некоторого внешнего источника электромагнитного излучения.

Следовательно, полная плотность энергии дается выражением )1' (м) Р~Г ( ) + Р" е (э). (!.53) В общем случае величина Уе(!а) является функцией координат внутри полости, а внешнее излучение не имеет пространственно-изотропного распределения, но сейчас эти свойства не учитываются. Вероятности поглощения и испускания фотона определяются следующим образом. Если атом находится в состоянии 2, то имеется конечная вероятность в единицу времени Аз! спонтанного перехода атома в нижнее состояние ! с испусканием фотона, обладающего энергией Ьы.

Теперь рассмотрим атом в состоянии !. В отсутствие какого-либо излучения с частотой ы переход атома в состояние 2 невозможен, поскольку в таком переходе энергия не сохраняется. Однако при наличии излучения с плотностью энергии У(ы) переход вверх ! -!-2 может произойти за счет поглощения фотона. Предположим, что скорость такого перехода пропорциональна У(ы) с коэффициентом пропорциональности Впь Эти два процесса интуитивно представляются разумными, но не столь очевидно, что присутствие излучения с плотностью энергии !р'(ы) увеличивает также скорость перехода из верхнего состояния в нижнее.

Однако позднее будет доказано, что такое увеличение скорости перехода должно иметь место, поэтому обозначим его через Вэ! У(а). Этот третий излучательный процесс называется вынужденным излучением. Скорости переходов для всех трех процессов показаны на фиг.

!.8. Необходимо подчеркнуть, что три коэффициента Эйнштейна Аз!, Вм и Вм определены таким образом, что ФОРмулА плАнкА для излучения и коэФФиц. эпнштепнл аа они не зависят от (Р(в). Коэффициенты Эйнштейна зависят только от свойств двух рассматриваемых атомных состояний, причем эта зависимость определяется методами квантовой механики (см.

гл. 3). Пока будем рассматривать эти коэффициенты как феноменологические постоянные. Пропорциональность скоростей поглощения и вынужденного излучения величине (у'(ы) справедлива только в том случае, когда плотность энергии медленно меняется с частотой гв вблизи частоты перехода. Рассмотрим влияние трех скоростей переходов на населенности УРовней У~ и /Уь УРавнение длЯ скоРостей изменения йг1 и Л'у имеет вид 1/У,~11 = — (Н,(11 = /у',Ал — 1у' В, 'уу (м) + + УЕВНВ'(а). (1,54) Это уравнение будет решено после обсуждения соотношений, существующих между коэффициентами Эйнш. тейна. Случай теплового равновесия Кинетическое уравнение (1.54) справедливо в общем случае, однако некоторые полезные результаты можно получить при рассмотрении специального случая теплового равновесия.

При любом условии равновесия населенности уровней постоянны, а поэтому из (1.54) получим Л',Аз, — /У,Вд,Ю (ы)+ И,В„В" (аз) =О. (!.55) Для теплового равновесия,- когда внешнее излучение, вводимое в полость, отсутствует, плотность энергии в (1.55) представляет собой просто тепловой вклад Рут(ьз), а решение уравнения (1.55) для этой вели шны имеет вид Ал 7 г ( А) ((у,/м,) В н — вы ' При тепловом равновесии населенности уровней йг~ и Уз связаны законом Больцмана /У,/У, = (д, ехр ( — (1В,))/(дз ехр ( — (1ВЕ)) = = (д,/дз) ехр (рвы), (1.57) 2 з .вм Гллвз ! (1.59) (1.60) М,/йг) В„= Вгп (йаз/пгвз) Вм — — А„ Таким образом, три коэффициента Эйнштейна являются взаимосвязанными, а скорости всех переходов между данной парой уровней могут быть выражены через значение одного коэффициента. Из (!.58) видно, что без введения процесса вынужденного излучения согласованность между теорией Эйнштейна и формулой Планка не могла быть достигнута.

В гл. 8 будет показайо, что этот процесс естественно возникает в строгой теории излучения фотонов. Сравнение формулы Планка (1.46) с выражением (1.60) показывает, что прн тепловом равновесии Вг,ур'т(а) =Аг1й. Иначе говоря, скорость вынужденного теплового излучения равна скорости спонтанного излучения, умноженной на среднее число фотонов в каждой моде поля излучения с'частотой перехода а. Сумма двух скоростей излучения имеет вид Виет (а) + Ам — — Аг, (и+ 1). (1.62) Интересно рассмотреть отношение двух скоростей излучения как функцию частогы фотона а.

Из (!.45) и (1.61) получим Аг1/Вг~у/тт (а) = 1/й = ехр (йа/йвТ) 1 ° (! 63) Здесь величина 8 определена в (1.40). Тогда из '(1.56)' йГт (а) = АгД(д,/дг) ехР Фйа) В~г — Вг1). (1.58) Последнее выражение для йтт(а) следует из определений коэффициентов Эйнштейна и применения распределения Больцмана к населенностям атомных уровней. Однако этот результат должен согласовываться с формулой Планка (1.46) для плотности энергии излучения при тепловом равновесии. Выражения (1,58) и (1.46) равны друг другу при всех температурах Т только тогда, когда выполняются соотношения ФОРМУЛА ПЛАНКА ДЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ И КОЭФФИЦ.

ЭИНШТЕИНА 35 1(ля полости, поддерживаемой прн комнатной темпера- гуре (Т = 300 К), показатель экспоненты йго)йнТ равен единице для излучения с длиной волны А 50 мкм, (1.64) которая соответствует частоте порядка 6 10" Гц в дальней инфракрасной области спектра. Следовательно, для излучения с длиной волны 50 мкм и большей, соответствующей микроволновой или радиочастотной области, выполняются неравенства йю « йаТ и Ам « ВЗ1%т(ю), (1.65) а для излучения в ближней инфракрасной, видимой, ультрафиолетовой илн рентгеновской областях— доз » йаТ и Аа, » Ва|угг(ю).

(1.66) Отсюда видно, что для частот, малых по сравнению с 6 1О'и Гц, скорость вынужденного теплового излучения значительно больше скорости спонтанного излучения, а для частот, больглих по сравнению с 6 1Огк Гц, скорость спонтанного излучения превосходит скорость вынужденного теплового излучения. Флуктуации числа фотонов Процессы поглощения и испускания фотонов вг1гзывают флуктуации числа фотонов в каждой моде поля излучения в полости. Флуктуации характеризуются определенным временным масштабом, который детально обсуждается в гл. 5. Однако некоторые усредненные свойства флуктуаций можно получить без знания их временных масштабов.

В дальнейшем будет использована эргодическая теорема статистической механики (см., например, (9)) '), согласно которой усредненные по времени величины эквивалентны величинам, усредненным по большому числу совершенно 'одинаковых систем, каждая из которых поддерживается в фиксированном состоянии. Воображаемый набор одинаковых систем назы- ') Эквавалснтноста средних Значений по ансамблю и по времени рассматривается в книге Киттеля 1101, 36 гллвх ~ вается ансамблем, системы в ансамбле распределены по всем их возможным состояниям в соответствии с распределением вероятностей для рассматриваемой системы.

В случае фотонов в определенной моде поля полости следует представить себе ансамбль, состоящий из одной и той же моды поля, находящейся в большом числе одинаковых полостей. В ансамбле каждая мода полости имеет некоторое фиксированное число фотонов.

Та часть мод полости, которые содержат и фотонов, определяется функцией Р„, приведенной в (1.42). Среднее число фотонов б уже было вычислено с помощью формулы (1.43). Результат этого вычисления (формула (1.45)) можно равным образом рассматривать как среднее по ансамблю или как среднее по времени числа фотонов в данной моде одной реальной полости. Согласно зргодической теореме, которая подробно обсуждается в гл. 5, оба средних значения равны. Распределение вероятностей Р„ можно также использовать для определения величины флуктуаций числа фотонов п относительно среднего значения и.

Сначала более подробно исследуем вид распределения Р„. Подставляя из (1.45) ехр( — (Ив) = и)(1+ и) в (1.42), получаем выражение Р = (и) /(1 + п) (1.68) которое удобно для изображения зависимости Р от а для данного значения 5. Некоторые примеры такой зависимости приведены на фиг. 1.9. Вероятность Р„дает распределение результатов, которые были бы получены для большого числа последовательных измерений числа фотонов в выбранной моде полости.

Из приведенных зависимостей видно, что значение п = 0 всегда имеет наибольшую вероятность реализации, а величина Р„монотонно уменьшается с ростом п. Это уменьшение обусловлено уменьшением больцмановской вероятности заселения высших уровней гармонического осциллятора моды. Вероятность Р„не имеет какой-либо особенности при п = й, среднее значение не соответствует какому-нибудь пику в распределении Р„. чзлуктуацию числа фотонов ФОРмулА плАнкА для излучения и кОэФФиш эинштейнА 37 можно характеризовать среднеквадратичным отклонением распределения ол. По определению (Ьл)'= 2 (и — й) Рл =па — (й)з.

(1.69) л Второй момент распределения пз может быть найден точно таким же методом, какой был использован в (1.44) О,Х 0,4 О,Г 0,2 0,7 Рл 0,2 0 0,7 00 2 4 0 8 10 72 74 фиг. 1.9. Распределение вероятностей для числа фотонов в одной моде поля излучения для трех значений среднего числа фотонов Л. для определения первого момента й. Используя (1.4!) и (!.45), получаем п'=2 и'Рл = = (1 — ехр ( — ()йат)) (д/д (ййоз))а 2; ехр ( — Длйоз) = "Р(Р~ !+ =й+2(й)'. (1.7О) [ехр (рйм) — 11' ГЛАВА 1 зв С учетом этого результата для и' среднеквадратичное отклонение принимает вид Лп = ((й)'+ й) ь.

(1.71) Видно, что величина флуктуации числа фотонов и всегда больше среднего значения й в соответствии с большой шиоипой распределения вероятностей, показанного на фиг. !9. Для больших п выражение (!.7!) стремится к виду Лп = й+ —, (й >) 1). ! 2 (!.72) или й Д|Л 2/(82У( к!Л 2)' (1.74) Здесь, как и на фиг. 1.8, д и У обозначают соответственно кратности вырождения и населенности двух атомных уровней с разностью энергий йы.

Тогда выражение (1.68) можно переписать следующим образом; (1.75) и распределение фотонов при тепловом равновесии полностью выражено через величины, связанные с атомными энергетическими уровнями. Конечно, населенности уровней Л!! и Л!2 также испытывают флуктуации, обусловленные испусканием и по- Теория экспериментов по счету фотонов детально описана в гл. 9. Необходимо отметить, что результаты, полученные выше на основе эргодической теоремы, строго справедливы только для идеализированного эксперимента, в котором число фотонов измеряется ' мгновенно. В любом реальном эксперименте имеются ограничения, определяемые временем разрешения аппаратуры, а полученные результаты зависят от относительных величин времени разрешения и временнбго масштаба, характеризующего флуктуации числа фотонов.

В заключение укажем другой способ записи распределения вероятностей Р„ для тепловых фотонов. Исключая экспоненту из (1.57) и (!.67), получаем п2(1 + й) а1ЛI2/а2Л 1 (1.73) ФОРМУЛА ПЛАНКА ДЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ И КОЭФФИЦ. ЭИНШТЕИНА 39 глощением фотонов атомами. Величины У, и Жъ которые появились в приведенных выше уравнениях, строго говоря, представляют собой средние населенности атомных уровней. На протяжении всей книги наибольшее внимание будет уделено свойствам фотонов, а не атомов, поэтому флуктуации величин Л~1 и йГЗ специально не исследуются. Случай высоких частот В последующих главах основной интерес для нас будут представлять излучательные процессы, которые играют важную роль в экспериментах с использованием электромагнитного излучения в ближней инфракрасной, видимой и ультрафиолетовой областях спектра. Для таких экспериментов плотность энергии 1РЯ(ы) светового пучка от внешнего источника всегда намного больше плотности энергии йт(ы) теплового излучения внутри оптической полости.