1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (Лоудон 1973 - Квантовая теория света), страница 3

Использование тождества Ч ° ЧХН=О (1.6) позволяет исключить Е и Н из уравнений (1.2) и (1.3) и получить уравнение непрерывности Ч Я+ — =О. дС (1.6) Для среды, содержащей только связанные заряды, величины а и 1 можно выразить через поляризацию Р обычным способом (6): а= —.7 ° Р, дР Я= —. дГ ' (1.7) (1.8) Классическая теория электромагнитного излучения основана на уравнениях Максвелла, переживших введение квантовой механики. В гл. 6 мы увидим, что в строгой квантовой механике электрическое и магнитное поля Е и Н заменяются операторами. Тем не менее квантовомеханическая теория электромагнитного поля основана на уравнениях Максвелла. Классическое описание электрического и магнитного полей будет сохранено в первых пяти главах.

Гипотезу квантов можно косвенно ввести в классическую теорию как дополнительное условие при вычислении энергии электромагнитного поля. Электромагнитное поле будет далее рассматриваться только в немагнитных средах, где уравнения Максвелла имеют вид ФОРмулА плАнкА для излучения и кОэФФиц. эйнштейнА !7 Формулы (1.7) и (!.8) согласуются с уравнением непрерывности (!.6). С учетом (!.7) и (1.8) уравнения Максвелла (1.2) и (1.3) принимают вид ЧХН= д (еЕ+Р), (1.9) Ч ° (еоЕ+ Р) =О. (1.10) Эти уравн=ния используются в последующих главах; сейчас рассматривается электромагнитное поле в свободном пространстве, где уравнения (1.2) и (1,3) записываются следующим образом: ЧХН=ео дЕ (1.1 !) Ч ° Е = О.

(1.12) Уравнение для электромагнитных волн в свободном пространстве получается исключением Н из уравнений (!.!) и (1.1 !): ЧХЧХЕ= си дм 1 д'Е (1. 13) Здесь скорость света с определяется выражением с=(еоро) '*. (1.!4) Использование тождества ЧХЧ ХЕ =Ч(Ч ° Е) — Ч', (1.15) дает уравнение ! д-"Е (!.!6) Магнитное поле Н удовлетворяет точно такому же уравнению.

Возможными решениями волновых уравнений являются плоские бегущие волны Е (г!) = Е, ехр (й ° г — !ит), (1.17) Н (г!) = Но ехр (й ° г — (ат). (!.18) Здесь волновой вектор й может быть ориентирован в произвольном направлении, а его модуль определяется формулой (1.19) й = оо/с. 18 ГЛАВА т При комплексной форме записи поля всегда следует помнить, что физически измеримыми являются только его вещественные части, Для решений, данных в (1.17) и Фнг. 1.1.

Относительные направлении векторов и, Н и и длн электромагнитной волны. '(1.18), исходные уравнения Максвелла (1.1) и (1.! 1) принимают вид )г ХЕ=ароН, )с Х Н = — соеоЕ. (1.20) Следовательно, векторы !с, Е и Н должны быть взаимно ортогональпыми, как показано на фиг. 1.1, а величины полей связаны соотношением О = (ео/Ро) А Е.

(1.21) Для каждого направления волнового вектора к имеются два независимых направления поляризации электрического вектора Е. В случае электромагнитной волны, занимающей ограниченную прямоугольную область пространства, решения уравнения (1.!6) удобнее взять с вещественными пространственными частями, которые можно записать в виде Такие же решения существуют для магнитного поля Н(г!). Теперь для каждого значения волнового вектора !с ФормулА плАнкА для излучения и кОЗФФиц. ЭинштеннА 19 имеются семь решений, соответствующих различным' комбинациям синусов и косинусов; при этом вектор гс находится в положительном октанте (где все его составляющие й, йи и й, положительны).

Плотность мод поля в полости Электромагнитное излучение обычно удобно рассматривать как заключенное в полости. Хотя некоторые эксперименты со светом проводятся в точно определенной оптической полости, выделение какой-либо реальной экспериментальной полости часто является невозможным. Тем не менее полость удобно вводить в теоретическое рассмотрение для ограничения исследуемого пространства конечным объемом.

Это служит лишь теоретическим приемом, и конечные результаты обычно не зависят от размера, формы и природы предполагаемой полости '). Для максимального упрощения вычислений была выбрана полость в форме куба со стороной 1., направление осей которого показано на фиг. 1.2. Стенки полости предполагаются идеально проводящими, поэтому тангенцнальная составляющая поля должна соответственно равняться нулю на границах полости.. Формула Планка описывает спектральное распределение электромагнитного излучения внутри полости в тепловом равновесии при температуре Т. Это излучение называется излучением черного тела; оно обладает таким же частотным распределением, как и излучение идеального черного тела при температуре Т, Вычисление частотного распределения состоит из двух частей.

Сначала определяется координатная зависимость поля в полости и находится выражение для числа различных мод возбуждений поля. Во второй части рассматривается временная зависимость поля и вычисляется энергия каждой возбужденной моды при температуре Т. ') Плотность термодинамических функций, описывагощих равновесное тепловое излучение, не зависит от размеров, формы и природы стенок полости только в том случае, когда линейные размеры полости много больше средней длины волны равновесного излучении.

Рассмотрение величины поправок, обусловленных конечными размерами полости, см. в работе Вй], — Прим. ред. ГЛАВА ! 20 Первая часть вычислений является полностью классической. Решение уравнений Максвелла, взятое нз (1.22) и удовлетворяющее граничным условиям, имеет следующие составляющие: Е„(г!) = Е„(/) сов (пт„х/Е) яп (пт„у/Е) я п (пт,г/Е), Еи (г!) =- Еи (!) в!п (пт„х/Е) сов (птиу/Е) яп (пт,г/Е), (1.23) Е, (г!) = Е,(!) в!п(пт х/Ь) в!п(птир/Е) сов(пт,г/Е), где величина Е(!) не зависит от координат и т„, ти,т,=0,1,2,3,... (1.24) Кроме того, на целые числа т накладывается ограниче. ние, состоящее в том, что одновременно равняться нулю Фиг.

!.2. Геометрия оптической полости. может только одно из них, так как если два или три числа и равны нулю, то поле Е(г!) также равно нулю н в полости нет электромагнитного поля. Легко проверить, что поле Е(г!), определенное в (1.23), удовлетворяет граничным условиям на стенках полости, например Е„(г!) = О при у = О, Ь и я = О, Е. Граничным условиям можно было бы полностью удовлетворить при замене косинусов синусами, однако при этом было бы невозможно удовлетворить уравнению ФОРМУЛА ПЛАНКА ДЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ И КОЭФФИЦ. ЭИНШТЕИНА Р! Максвелла (1.12) во всей полости. Для решения (1.23) это уравнение ведет к условию Е„(!) (лч„/Е) + Еу (!) (луу/Е) + Е, (!) (лу,/Е) = О. (1.25) Волновой вектор й определяется своими составляющими й„= лу„/Е, йу — — луу/Е, й, = лч,/Е; (1.26) при этом уравнение (1.25) принимает вид 1с Е(!) =О.

(1.27) Последнее уравнение выражает просто условие ортогональности поля Е(!) волновому вектору к, и для каждого значения к опять имеются два независимых направления Е(!). Граничные условия выделяют дискретные значения компонент волнового вектора, определяемые целыми числами ух, уу и у.. Каждый набор целых чисел (ух, уу, у,) определяет моду поля излучения в полости и с учетом двух направлений поляризации соответствует двум степеням свободы поля. Любое возбуждение электромагнитного поля можно представить в виде суммы таких мод поля. Разрешенные значения вектора й можно изобразить в виде трехмерной точечной решетки, причем постоянная решетки равна л/Ь. На фиг.

1.3 показана часть решетки, для которой числа у„ту и у, не превышают 4. Теперь следует получить выражение для числа мод поля с величиной волнового вектора, лежащей между значениями я и й+ пя. Искомое число просто равно числу точек решетки в октанте сферического слоя, ограниченного поверхностями с радиусами й и й+ Н.

Предполагая объем слоя достаточно большим по сравнению с объемом свободного пространства (л/Л)', окружающего каждую точку решетки, найдем, что требуемое число мод поля определяется следующей формулой: — (4 йЧй)( /Ц Х 2. (1.28) Здесь последний множитель учитывает две возможные поляризации. По определению плотность мод поля рАЫ есть число мод поля в единице объема полости, волновой вектор ГЛАВА 1 которых лежит в определенной области. Поэтому из (1.28) получим , ,1ь ьг ~ь1пг (1.29) Этот результат справедлив в общем случае и не зависит от природы полости, использованной для его получения. Фиг.

1.3. Разрешенные волновые векторы 1с нлн полости в форме куба со стороны б. Отметим, что тачки, а которык дае или три компоненты а„, а„н В обращались бы а нуль, отсутстауют.. Соотношение (1.19) между й и от позволяет преобразовать (1.29) в выражение для плотности мод р с(ш с частотами, лежащими между значениями ш и от+ с!оп р с(ш — а с(ш/н с (1.30) В следующих главах встретятся выражения, которые необходимо просуммировать по модам поля. Используя ФОРМУЛА ПЛАНКА ДЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ И КОЭФФИЦ. ЭЙНШТЕИНА 2З плотность мод из (1.29) и (1.30), такие суммы можно преобразовать в интегралы по й или ен ~ -» ~ ()гйз/пз) дй — » ~ (УаЦл'сз) да, (1.31) где )г — объем полости и при суммировании в левой части (1.3!) для каждого волнового вектора й учитываются две независимые поляризации.

Квантование энергии поля 0 пространственной зависимости электромагнитного поля уже сказано достаточно. На второй стадии вычислений определяется величина энергии, запасенной в каждой моде поля при температуре Т. Уравнение для временнбй зависимости электрического поля получается путем подстановки решений (1.23) в волновое уравнение (1.16). Используя (1.19), получаем дзЕ (1)/д1з = — азЕ (Г). (1.32) Решение этого уравнения простого гармонического движения можно выбрать в виде Е (1) = Ез ехр ( — (в1), (1.33) где Еа — постоянный вектор, который в классической электромагнитной теории может иметь произвольную величину. Согласно классической теории, энергия электромагнитного поля определяется интегралом — (Е„ЕА+ роН') г()г (1.34) где Е и Н вЂ” значения вещественных электрического и магнитного полей.