1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (Лоудон 1973 - Квантовая теория света), страница 4

Для рассматриваемой моды поля комплексное электрическое поле определяется формулами (1.23) и (1.33). Энергию поля удобно усреднить по периоду колебаний, поскольку изменение энергии за период обычно недоступно для измерения. Среднее за период легко находится с помощью теоремы, сформулированной в виде следующей задачи. ГЛАВА ! Задача 1.1. Теорема длл среднего за период. Покахсите, что если .Ф и Я являются комплексными величинами, изменяющимися со временем как ехр( — ип1), то среднее за период колебаний значение произведения вещественных частей .яй и Я дается выражением (йе .Ф) Х (йе йт) = — йе (зйЯ*), (1.36) где звездочка означает комплексное сопря- жение. Теорему для среднего за период можно применить к выражению для энергии (1.34), где электрический вектор для рассматриваемой моды поля находится из (1.23) и (1.33).

Если использовать соотношение (1.21) между величинами электрического и магнитного полей, то энергия поля запишется в виде (1.36) — еп~ Е (г1) ,'и а 1/. по полости Именно в этом месте вводится гипотеза квантования Планка. В классической теории энергия поля, определяемая формулой (1.32), может принимать любое положительное значение, поскольку амплитуда Е, в (1.33) может иметь любую величину. Поле Е(1), однако, удовлетворяет уравнению гармонического осциллятора (1.32). Если это уравнение рассматривать квантовомеханически (детали приводятся в гл. 6), а не классически, то энергия осциллятора может принимать только дискретные значения: Е„= (п + — ) лтп, п = О, 1, 2, 3, ....

(1.37) Мы соответственно припишем эти разрешенные значения электромагнитной энергии моды, определяемой формулой (!.36): — 80~ Е (г1) ! ллт = (и + л) йпт. (1.38) по полости ФОРМУЛА ПЛАНКА ДЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ И КОЭФФИЦ. ЭЙНШТЕПНА ЯЬ а Ьш Фнг. 1.4. Первые шесть внергетнческнк уровней лля квантового гармоянческого осннллятора.

Очевидно, что это условие квантования накладывает ограничения на возможные значения амплитуды Ее в (1.33). Однако обсуждать эти следствия сейчас нет необходимости; мы рассматриваем поля как классические величины и накладываем условие квантования только на энергию поля.

При более глубоком подходе электромагнитное поле необходимо рассматривать как квантовомеханическую систему, что сделано в гл. б, но для многих задач описанный выше полуклассический подход Ел является вполне адекват- ИЬ ным. а Ь~> Таким образом, сущность квантовой теории 9Ь поля излучения заключа- я ется в том, что с каждой фотона модой поля связывается квантовый гармонический осциллятор. Схема уров-, Ьначтоагсонао ней такого осциллятора фотона приведена на фиг.

1А. Ко- 2 аЬ~ гда энергия моды определяется выражением (1.38), соответствующий осцил- — а Ьга лятор находится в своем и-м возбужденном состоянии. При л=О осциллятор 1т у Ьта находится в своем основном состоянии, но в поле все же имеется конечная энергия '/таш. Это энергия нулевых колебаний, ее значение обсуждается в гл. б. В большинстве экспериментов результаты наблюдения зависят от того, насколько энергия возбуждения превышает энергию основного состояния. В состоянии с энергией Е„, кроме энергии нулевых колебаний, имеется и квантов с энергией Ьсо. Эти кванты называются фотонами. Поэтому, когда поле имеет энергию Е„, говорят об и фотонах, возбужденных в моду поля излучения.

Если электромагнитная энергия в моде увеличивается (умень ГЛАВА ! м ~„». Оп )ОУ Оа И( ЛО ~О( УгО О2) )аг ())г оуЦугс ч/2 4У Ю~ ~Т О' тТ ч6' т6 ~/5 (8' Фиг. 1тй Схема энергетических уровней гармонического осциллятора для первых десяти мод поля, расположенных в порядке увеличения частоты. Этн моды соответствуют десяти наиболее близким к началу координат тачкам на битт. ВЗ. строга говоря, дл» тота ~~обы учесть для каждого вентора к две независимые поляризации, каждый уровень должен быть нарисован дважды, возрастания частоты. Отметим, что для каждого из этих осцилляторов имеются две моды с независимыми поля- ризациями. Формула Планка В тепловом равновесии при температуре Т вероятность теплового возбуждения осциллятора моды на а-й возбужденный уровень дается обычным множителем Больцмана ехр (- рЕп) ехр ( — рплю) ехр ( — аЕп) ~ ехр (- йлйы) (1.39) шается) на один квант, то говорят, что был рожден (уни.

чтожен) фотон. На фиг. 1.5 показано несколько нижних уровней гармонических осцилляторов, связанных с первыми десятью модами поля и расположенных в порядке формилл планка для изличвния и коээенц. эннштвнна 27 где (1=1/й,т, (1.40) а йв — постоянная Больцмана. При написании формулы (1.39) было использовано выражение для квантованной энергии (1.37) и опущен член '/а Вот, имеющийся во всех экспонентах числителя и знаменателя выражения (1.39). Формула Планка не зависит от энергии нулевых колебаний, и к тому же в 1900 г. существование нулевых колебаний Планку было неизвестно. Отметим, что при применении теплового распределения Больцмана к гармоническому осциллятору каждому уровню был приписан одинаковый вес и не учитывалось различие в числах фотонов, соответствующих разным уровням. Такой метод корректен для нахождения свойств фотонов при тепловом равновесии ').

Знаменатель выражения (1.39) представляет собой геометрическую прогрессию, которую можно легко просуммировать: ~ ехр( — рпйет) = (1 — ехр( — рйот)) . (1.4!) Следовательно, (1,43) поэтому необходимо вычислить сумму ~, пехр( — рпйат) = — (д/д(рйот)) ~ ехр( — рпйот) = а и = ехр ( — рйот) (! — ехр ( — рйсо)); (1.44) при этом была использована формула (1.41). Среднее число фотонов, полученное из (1.43), имеет вид й= 1 ехр (рвет) — 1 ' ( ) 1. 45 ~) Си.

также аиааиа Д, Тер Хаара в сборнике 161, Р„= ехр( — рпйот)(1 — ехр( — рйот)). (1.42) Таким образом, среднее число фотонов й, возбужденных .в моду поля при температуре Т, дается выражением п= ~ пр„, а ГЛАВА ! Этот важный результат представляет собой функцию распределения Планка. Ее зависимость от частоты осциллятора или фотона Гз показана на фиг. 1.6. Результаты (1.80) и (1.45), определяющие соответственно число мод поля излучения в единице объема с частотой в интервале от о до о + Йо и среднюю энергию иЬы каждой такой моды при температуре Т, можно объединить для нахождения средней плотности энергии излучения 1рт(ы)с(Го в этих модах при температуре Т: Ут (и) йо = ЦЬГАР„Г(в = ПЬГаз ЬФ62сз = (1.46) ~~'с~ ехр[йЬв) — ! ' Последнее выражение есть формула Планка для плотности энергии излучения Юг(ГЛ).

Зависимость величины Ут(в) от (1Ьы приведена на фиг. 1.7. В случае высоких и низких температур формула Планка немного упрощается. При йвТ )) Ьв экспоненту можно разложить в ряд и получить Я7 (м) ж Газ/язсзй (й Т )) Ьм). (1.47) Эта формула для плотности энергии излучения была получена Рэлеем (7) в 1900 г. незадолго до того, как Планк нашел правильное выражение.

Формула Рэлея является классическим пределом, который получается из формулы Планка при устремлении квантовой постоянной Планка Ь к нулю. Прн низких температурах, когда ИэТ « Ьв, экспонента очень велика, и поэтому (г'Г(в) ж (Ьв'(и'сз) ехр( — бйв) (лзТ « ЬГА). (1.48) Оба приближения формулы Планка непригодны в том случае, когда величина ЬГа сравнима с ЬаТ, т. е.

РЬГа 1. Максимум теплового распределения энергии излучения приходится на частоту ым м которую можно найти, дифференцируя выражение (!.46) по а. В результате получим (1.49) ЬГэ„„, = 2.8йвТ. о т г г /3 Тт газ Фиг. 1.6. Среднее число тепловых фотонов й с частотой ы, воз- бужденных при температуре Т 9= *чйпТ). о гБ х 7е то РТзгзз Фиг. 1.7. Формула Планка для зависимости плотности энергии влектромагнитного излучения от частоты ы н температуры Т(р =ЧйвТ'З. зо ГЛАВА 1 Последнее выражение представляет собой один из способов записи закона смещения Вина (8], открытого в 1893 г.

Полная плотность энергии фотонов в полости получается интегрированием выражения (1А6): ол Г о о Здесь для определенного интеграла было подставлено его значение л'/15. Пропорциональность полной плотности энергии четвертой степени температуры является законом Стефана — Больцмана для излучения, который был сформулирован в 1879 г. Если Ет(г() есть полное электрическое поле, определяемое всеми модами поля излучения в полости при температуре Т, то полную плотность электромагнитной энергии можно записать в другом виде с помошью формулы (1.36): о ~йУГ (м) т(то = ('/и)') ~ е,~ Вг (г/) ~'т(Р. (1.51) о по полости Эквивалентность выражений (!.51) и (1.50) будет использована в гл.

3. Коэффициенты Эйнштейна А и В Механизмом, с помощью которого можно изменять число фотонов в полости, является поглощение или непускание фотонов атомами или молекулами стенок полости. Рассмотрим основные процессы взаимодействия между электромагнитным излучением и атомами. Эти процессы можно исследовать на основе простой феноменологической теории, развитой Эйнштейяом. Теория Эйнштейна позволяет качественно понять множество излучательных процессов, например поглощение и рассеяние света атомами и усиление световых пучков в лазерах.

Теория Эйнштейна основана на некоторых физически разумных постулатах относительно поглощения и испускания фотонов атомами. Все эти постулаты можно строго доказать с помощью квантовомеханического рас- ФОРмулА плАнкА для излучения и коэФФиц. эйнштеннд 81 смотрения процессов взаимодействия (см. гл. 8). Однако в теории Эйнштейна квантовая механика явно не используется, за исключением того, что атомные энергетические уровни считаются дискретными, а энергию электромагнитного поля удобно (хотя это и несущественно) рассматривать как квантованную.

Проще рассматривать взаимодействие излучения не с атомами стенок полости, а с некоторыми атомами или Ег ° йг1 уг Егэ гуг1 Уг Спонпганное Поглог4ение Вынужденное испускание испускание Фиг. 1.8. Три основных вида излучательиых процессов. молекулами, помещенными внутри полости. Допустим, что в полости находится газ, состоящий из г1' одинаковых атомов, причем каждый атом имеет пару связанных состояний с энергиями Е| и Ег, и пусть йсо = Ег — Еи (!.52) Для такой системы возможны процессы с сохранением энергии, в которых фотоны с частотой го испускаются или поглощаются атомами, совершающими переходы между двумя состояниями.

Допустим, что два атомных уровня являются мультиплетами с кратностью вырождения д1 и дг, .всеми остальными атомными уровнями для простоты пренебрежем. Числа У1 и Лгг атомов в состояниях с энергиями Е1 и Е, будем называть населенностями соответствующих уровней. Схема уровней приведена на фнг. !.8. С точки зрения эксперимента замкнутая полость, содержащая атомы и тепловое излучение, не представляет собой особенно интересную систему.