1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (Лоудон 1973 - Квантовая теория света), страница 10

Решения уравнений '(2.47) и (2.48) имеют вид Л' (Ам + ВП))г) г (2 50) 1— Агз (Агз + Агг) + Вггаг (Агз + Агз) Агг— г>Г (А гз + Вг г ЕГ) г (2.51) Агз (Азз+ Агг) + Вггй' (Агз + Агз) Атомный газ, для которого выполняется условие '(2А9), может усиливать излучение с плотностью энергии ))г. При некоторых соответствующих изменениях знака эта теория сходна с вышеизложенной теорией поглощения света. Структура выражения для Агг — Агг, полученного из (2.50) и (2.51), сходна со структурой выражения для Агг — Мг в случае поглощения, определяемого формулой (2.35). Из (2.50) н (2.51) следует, что для небольших интенсивностей усиливаемого пучка величина Л',— — Уг фактически не зависит от (Р. В этом слУчае интенсивность пучка растет экспоненциально с расстоянием, проходимым пучком в газе. С другой стороны, для высоких интенсивностей пучка величина Лг — Агг обратно пропорциональна интенсивности пучка, а переход между уровнями 1 и 2 приближается к насыщению.

При этом усиление уменьшается и интенсивность пучка растет с расстоянием только линейно. Подробные результаты для двух предельных случаев даны в следующей задаче. Задача 2.1. Показать, что в случае усиления аналогом уравнения (2.36) является следузощее выражение: = ~ 1 + — ) — = 6, (2.52) )г !хд7 1с дс где 1 Агз (Агз + Аг~) сч (2 53) Аи+ Агз Вг, 6— г(Агз — Агг) НВггдег (зг) (2 54) Агз(Азз+Азг) Рсг) Общее решение уравнения (2.52) определяется выражением !и (Ц1с) + ((1 — 1,Щ = 6е, (2.55) ГЛАВА 2 которое в предельных случаях низкой и высокой интенсивности преобразуется к виду 1(г) = 1о ехр (6г) (1 « 1,) (2.56) и 1 (г) = 1о+ 1с6г (1» 1,). (2.57) Общее решение для двух значений 1з представлено на фиг.

2.7. ба ~ Р ,~ ~бО О 10 15 Сг Фиг. 2.7. Кривые, иллюстрирующие рост интенсивности электромагнитной волны в усиливающей среде для двух значений отноще- ия )о1гс. Легко видеть область вксоонеокиаььнаго н линейного роста. Птнктнрпак кри. вак иостраена на основе выражении (2.55Ь Описанный выше усилитель света называется трехуровневым лазером. Лазер может так же работать, как самовозбуждающнйся осциллятор, поскольку даже если плотность энергии (р первоначально отсутствует, то благодаря вероятности спонтанного перехода Аз может появиться излучение с частотой оь Такой осциллятор может создавать световые пучки очень высокой интенсив- ТЕОРИЯ ПРОСТЫХ ОПТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ б5 ности (см.

табл. 2.1), поэтому нелинейные эффекты, связанные с насыщением активного перехода, играют важную роль в определении характеристик выходного пучка. Возможны другие типы лазеров, в которых используются более сложные схемы энергетических атомных уровней. Теория трехуровневого лазера, кратко описанная выше, значительно расширена в гл.

10. Давление излучения Каждый из фотонов, образующих бегущую электромагнитную волну с волновым вектором й, обладает импульсом ак. В этом отношении их поведение аналогично поведению других частиц в квантовой механике и согласуется с соотношением де Бройля между длиной волны и импульсом частицы. В любом взаимодействии фотонов с другими частицами полный импульс должен сохраняться. Реальность импульса фотона была замечательно продемонстрирована Комптоном, наблюдавшим в 1922 г.

сохранение импульса при рассеянии фотонов электронами !Комптоновское рассеяние кратко рассматривается в гл. !!). Комптон использовал взаимодействие рентгеновских фотонов со свободными электронами, когда эффекты фотонного импульса особенно важны. Однако импульс фотонов может привести к интересным следствиям даже при взаимодействии фотонов видимого диапазона, обладающих небольшой энергией, с относительно тяжелыми атомами. Рассмотрим влияние импульса фотонов на три основных взаимодействия пучка света с атомным газом, показанные на фиг. 2.1. В процессе поглощения от светового пучка к поглощающему атому передается импульс ьк.

В результате атом приобретает параллельную пучку скорость йй!М, где М вЂ” масса атома. Если возбужденный атом впоследствии переходит в основное состояние за счет вынужденного испускания, то испущенный фотон уносит импульс йй, параллельный падающему пучку, а атом теряет приобретенную ранее скорость. Однако если возбужденный атом впоследствии переходит в основное состояние за счет спонтанного испускания, то направление импульса, унесенного испущенным з з«мз ГЛАВА 3 66 фотоном, с равной вероятностью лежит в любом участке полного телесного угла 4п, центр которого находится в атоме.

Таким образом, атом приобретает скорость отдачи в некотором случайном направлении, поэтому предварительно приобретенная атомом компонента скорости в среднем не теряется. Отсюда следует, что каждое поглощение фотона, за которым следует спонтанное испускание, в среднем передает от фотонов к атомам импульс Ьй. Это утверждение справедливо независимо от того, достигла ли система «атом+ излучение» стационарного состояния или нет.

В этом заключается отличие от передачи атомам энергии возбуждения в»з, которая, как было подчеркнуто в связи с формулой (2,24), уменьшается при достижении стационарного состояния. Передача импульса атомам эквивалентна давлению, производимому на газ излучением. При наличии плотности излучательной энергии (г' на частоте в, резонансной переходу между атомным основным состоянием и одним из возбужденных состояний, скорость изменения полного атомного импульса П пропорциональна разности между скоростями поглощения и вынужденного излучения г(П!Г(( = йй (У, — йг») ВМ7.

(2.58) В стационарном состоянии, когда выполняется уравнение (2.28), скорость передачи импульса принимает внд дП/~й = йййг,А, (2.59) откуда явствует прямая пропорциональность между с(П/д( и скоростью спонтанного излучения, ожидаемая из приведенного выше обсуждения. Задача 2.2. Оцените скорость передачи импульса в зависимости от величин (г' и 1 для эксперимента, описываемого уравнением (2А9), когда световой пучок падает на газ из атомов, находящихся в начале эксперимента в своих основных состояниях.

Рассмотрите результат в предельных случаях большого н малого значений йУ, большого и малого времени й ТЕОРИЯ ПРОСТЫХ ОПТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 67 Эшкин 12] наблюдал действие давления излучения при ускорении частиц, много больших, чем описанные здесь атомы. Он использовал шарики из латекса диаметром порядка 1 мм, взвешенные в воде и облучаемые лазерным световым пучком.

По-видимому, аналогичные эффекты должны наблюдаться при давлении излучения на атомы газа, откуда можно получить некоторые полезные следствия. Например, в газе, состоящем из смеси атомов двух типов, из которых атомы только одного типа имеют переход на частоте ит, падающий световой пучок оказывает давление только на атомы этого типа. Следовательно, с помощью подходящего устройства камер можно было бы осуществлять разделение атомов двух типов (21.

В частности, поскольку электронные энергии возбуждения разных изотопов одного атома, вообще говоря, немного различны, то этот метод можно было бы использовать для разделения изотопов. Другое применение давления излучения следует из передачи импульса фотонов лазерного пучка электронам проводимости полупроводника (31 Ускоренные таким образом электроны создают заметный ток, и этот эффект можно использовать для измерений интенсивности лазерных световых импульсов.

Теория таких экспериментов должна строиться на основе зонной структуры полупроводников, однако основной процесс является другим проявлением импульса фотонов '). ЛИТЕРАТУРА 1, Рапи(зйу ат. К. П„Р!птнрз М„С!азз(са! е!ес1пспу апб гпаепе- 1!згп, Адд!зоп-%ез1еу, )(еад!пе, 1955, р. 161. 2. АзУип А., Рьуз. )(еч.

1.еп., 24, 156 (1970). 3. П!Ьзоп А. Г., К!Тпгп!!! Л!. Р., (Ра!Лег А. С., Арр!. Рпуз., Ее(1., 17, 75 (1970). 4'. Терапии А. Н., Фотоника молекул красителей, изд-во «1!вука», 1967. 5*. Эгикин А., УФН, 11О, 101 (1973). б*. Аскараян Г. А., УФН, 110, 115 (1973). ') Краткое н ясное наложение проблемы давления лазерного излучения имеется в работах (5, 6). — Прим. ред. Глава 3 Квантовая теория коэффициента Эйнштейна В Коэффициенты Эйнштейна можно рассматривать как феноменологические параметры, определяемые экспериментальным путем для интересующих нас атомных переходов. В то же время поглощение и непускание света атомами можно исследовать теоретически, пользуясь метолами квантовой механики.

Результаты исследования удобно представлять в виде теоретических выражений для коэффициентов Эйнштейна. Хотя эти выражения часто непригодны для точных оценок, они позволяют судить о тех факторах, которые влияют на величину коэффициентов Эйнштейна, а иногда и определять их относительную величину для соответствующих переходов. В настоящей главе коэффициент Эйнштейна В вычисляется на основе квантовой механики. При этом используется полуклассическая теория, в которой электромагнитное поле описывается классически, а атомные состояния — квантовомеханически. Точно такие же выражения для коэффициентов Эйнштейна получаются и в том случае, когда как атом, так и свет рассматриваются квантовомеханически (см.

гл. 8). Как и в предыдущей главе, будем предполагать, что тепловое возбуждение высоколежаших атомных состояний отсутствует и что единственными атомными уровнями, участвующими во взаимодействии с излучением, являются основное состояние атома и одно из его возбужденных состояний, которое отстоит от основного состояния по энергии на расстояние, равное энергии светового кванта. Поэтому в дальнейшем все атомы могут рассматриваться как квантово- квлнтовля теория коэффицивнтл эинштепнл в вв механические системы, имеющие только два эффективных уровня, со всеми вытекающими отсюда упрощениями теории.

Квантовая механика процессов, зависящих от времени Коэффициент Эйнштейна В дает скорость, с которой изменяется во времени состояние системы в процессах поглощения и вынужденного испускания. Соответствующее квантовомеханическое рассмотрение должно начинаться с рассмотрения временнбго волнового уравнения (см., например, (1]) МЧ' = тй дЧт/дй (3.1) Здесь Ж вЂ” квантовомеханический гамильтониан, зависящий, вообще говоря, от времени, а Ч' — зависящая от времени волновая функция.

В этой книге везде знаком Л в дальнейшем обозначаются величины, являющиеся квантовомеханическими операторами. Рассмотрим сначала изолированный атом в отсутствие поля излучения. В этом случае гамильтониан атома Жа слагается из кинетической и потенциальной энергий составляющих его частиц и не зависит явным образом от времени.

В учебниках по квантовой механике') показано, что при не зависящем от времени гамильтониане, подобном Увв, волновое уравнение (3.!) имеет решения вида Чг„(г1) = ехр ( — аЕ„ЦИ) Ф, (г). (3.2) Зависящая от времени волновая функция Ч"„оказывается произведением зависящего от времени фазового множителя и не зависящей от времени волновой функции ф„(г), которая удовлетворяет уравнению на собственные значения энергии Еал Яатр„(г) = Е„тр„(г). (3.3) В этом уравнении индекс и означает решения, соответствующие различным значениям энергии Е„, а аргумент ') См, работу (1], стр. 38.