1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (Лоудон 1973 - Квантовая теория света), страница 9

Тонкий слой полости, перпендикулярный направлению распространения пучка. временнбй зависимости плотности энергии пучка 1Р. Поэтому уравнение (2.30) необходимо переписать для интенсивности. Левую часть уравнения (2.30) можно преобразовать, приравнивая скорость потерь энергии внутри слоя, определяемую левой частью уравнения (2.29) со знаком минус, скорости втекания энергии в слой через его границы. Если гав есть интенсивность пучка в интервале частот между в и в+ с(в, то, согласно фиг. 2.2, — (д/дг) (117 т/ва дг) = — а (д//дг) агг с(в, (2.31) или д)(У/дг = д//дг. (2.32) Для преобразования правой части уравнения (2.30) заметим, что коэффициент Эйнштейна В обычно определяется так же, как в гл. 1, где рассматривается электромагнитная волна„падающая на один атом в свободном ГЛАВА 2 пространстве, плотность энергии которой связана с электрическим полем уравнением, сходным с (1.51). Интенсивность, используемая в определении коэффициента поглощения, приведена в (2.10), поэтому сравнение формул (1.51) и (2.10) дает ))г = 1/ст!.

(2.33) Подставляя (2.32) и (2.33) в уравнение (2.30), получаем требуемое уравнение для пространственной зависимости 1: д1/дз = — (/У, — Мз) Г (в) (Вйо/)гг!)) 1. (2.34) Для вырожденных энергетических уровней последнее уравнение обобщается путем введения множителя дт/д~ для члена й!ь Однако последующий анализ ограничен случаем д! = дм где дополнительный множитель равен единице.

Решение уравнения (2,34) более сложно, чем это может показаться на первый взгляд, так как сами величины У~ и й!з зависят от (г' и, следовательно, от 1. Согласно (2.23) и (2.33), /У, — /Уз= УА/(А + 2В)УГ) = й1А/(А+ (2ВТ/ст))), (2.35) и уравнение (2.34) можно переписать в виде =('+ — ) — =- ! I 2ВТх дТ ФВГЛАВ(в] (2.36) 1 (, Асп ) да усч Здесь мы пренебрегли слабой частотной зависимостью величины А по сравнению с быстрым изменением функции В(ы); показанной на фиг. 2.4.

Рассмотрим решение уравнения (2.36) в двух предельных случаях. Как было показано выше в этой главе, для всех обычных световых пучков второй член в скобках левой части уравнения (2,36) (равный 2ВУ/А) много меньше единицы.' Если этим членом пренебречь, что соответствует пренебрежению числом возбужденных атомов ЛГм то уравнение (2.36) можно проинтегрировать и получить 1 (г) = 1ч ехр ( — Кг), (2.37) ТЕОРИЯ ПРОСТЫХ ОПТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 59 где К = МВйсоР (о)/Р сть (2.38) Выражение (2.37) совпадает с (2.11), поэтому коэффициент поглощения К (2.38) совпадает с коэффициентом поглощения, определенным в (2.12). Измерение затухания пучка позволяет непосредственно получить коэффициент поглощения. Из (2.38) видно, что величина К изменяется с частотой таким же образом, как изображенное на фиг. 2.4 распределение частот атомных переходов, но только умноженное на дополнительные зависящие от частоты коэффициенты.

Для экспериментального определения зависимости К от частоты о необходимо использовать световые пучки переменной частоты, частотный интервал которых узок по сравнению с распределением частот переходов. Теория Эйнштейна не дает информации о форме линии поглощения. Интегрирование по в обеих частей уравнения (2.38) после перенесения множителя Ьга/сч в левую часть уравнения приводит к равенству ~ (Ксг~/йга) аа = УВ/Р'. (2.39) Здесь была использована нормировка функции формы линии г(ы).

Следовательно, измерение значений К и т1 дает возможность экспериментального определения величины В. Для разреженного атомного газа значение т1 близко к значению показателя преломления для свободного пространства, равного единице. Ширина большинства линий поглощения мала по сравнению с теми частотами ы, для которых величина К весьма велика, поэтому на ширине линии поглощения значение аз почти не меняется. В этом случае величина В прямо пропорцио-нальна площади под кривой зависимости К от частоты гз.

Функциональный вид К обсуждается в гл. 4. Результат (2.39) можно переписать через интеграл мнимой части восприимчивости т" по частотному распределению рассматриваемой линии поглощения: ~ т," г1га = 6УВ/Р. (2.40) Здесь были использованы формулы (2.6) и (2.12). ГЛАВА 2 г>0 Теперь рассмотрим решение уравнения (2.36) в другом предельном случае светового пучка очень большой интенсивности, когда 2ВГР)А много больше единицы, а зависимость атомных населенностей от йг становится нелинейной, как описывалось раньше. В этом случае первым членом в скобках уравнения (2.36) можно пренебречь и получить следук>щее решение: 1 (з) — ~„= — (>УАдер (а>)>>2$') г.

Следовательно, вместо быстрого экспоненциального уменьшения интенсивности, определяемого для небольших интенсивностей коэффициентом В, в (2.41) мы имеем линейное уменьшение >'(г) с расстоянием г вдоль по. лости со скоростью, определяемой коэффициентом А. Уменьшение поглощения по мере приближения атомного перехода к насыщению обусловлено приближением скорости рассеяния энергии пучка Л>,Ада к ее максимальному значению >/2>УА»о. Любое дальнейшее увеличение интенсивности пучка 7 не может привести к пропорциональному увеличению скорости рассеяния, а поэтому относительное изменение Т при прохождении через газ уменьшается.

Макроскопическая теория поглощения, основанная на уравнениях Максвелла, в условиях насыщения неприменима. При измерениях коэффициента поглощения К, очевидно, следует избегать насыщения, если результаты будут описываться на основе теории, приводящей к уравнению (2.39), (2.4!) Инверсия населенностей: лазер Согласно уравнению (2.34), интенсивность пучка при прохождении через атомный газ растет в том случае, когда число возбужденных атомов >У2 превышает число атомов в основном сосгоянин >>>>. Зависимость роста интенсивности от г точно такая же, как в (2.34), только теперь коэффициент поглощения отрицателен. Условие >у2 ) >>'> известно как условие инверсии населенностей или как условие отрицательной температуры, поскольку из применения распределения Больцмана (1.5>) к случаю Ж2 ) Л» следует, что температура Т отрицательна.

В более общем случае вырожденных энергетиче- теория простых оптических процессов б1 ских уровней условие роста интенсивности пучка есть А>г ) (ат/а~)А>ь Конечно, при тепловом равновесии инверсия населенностей никогда не может быть достигнута, а раньше мы показали, что этого нельзя достигнуть и с помощью резонансного поглощения света на частоте перехода двух состояний. Однако инверсии населенностей для уровней 1 и 2 можно достичь с помощью экспериментов, использующих другие энергетические уровни А В атома. В самом простейшем >и гг способе используются три ! уровня.

Чтобы сделать ана- Вг Р~~ лнз наиболее простым, рассмотрим случай, когда все три 1сз Аз уровня являются невырожденными. Х Схема переходов показана на фиг. 2.б. Теперь основное состоЯние атома обозначим как скорое;и""керехолоии"идлт уровень 3, а его первое и вто- трсхуроииего усилители рое возбужденные состояния— света. как уровни 1 и 2. Для возбуждения перехода 3- 2 используется пучок с плотностью энергии.1Тр, поэтому А!г атомов находятся в возбужденном состоянии 2.

Используемый таким образом световой пучок называется накачкой, относительное число атомов А!г1!!, возбужденных накачкой, обычно мало и имеет величину порядка 1О-а. Следовательно, переход 3 — 2 далек от насыщения. Атом на уровне 2 может излучать свет, совершая переходы вниз 2 — и! или 2- 3, а атом на уровне 1 может вернуться в основное состояние 3. Ниже будет показано, что для определенных значений коэффициентов Эйнштейна можно достичь условия Л', ) А>~ и, следовательно, усиливать свет с частотой со = (Ег — Ед!!>. Уравнения, описывающие скорости переходов в трехуровневой системе, являются простыми обобщениями кинетических уравнений для двухуровневой системы. Все виды переходов показаны на фиг. 2.б.

Коэффициенты Эйнштейна должны иметь индексы, обозначающие те 62 ГЛАВА 2 уровни, к которым они относятся. Предположим также, что, кроме излучательной энергии пучка накачки, имеется свет с частотой в и некоторой плотностью энергии 1р'. Допустим, что только три рассматриваемых уровня населены, поэтому У1 + Уг + Уз = У (2.42) Три кинетические уравнения имеют вид ~ У~ИГВ = УаАм УрАм + + МУрВи (Уз Уз) — У'Вм (Уз У1) (2 43) ЫУ,/Л = У,Ам — У,Ам + ФВм (Уз — У~) (2. 44) ПУз® = УгАзз + У~Ам (ХррВез (Уз Уг) (2.45) В соответствии с формулой (2.42) сумма трех скоростей равна нулю. В стационарном состоянии все временные производные можно положить равными нулю.

Получающиеся в результате уравнения позволяют найти решения для населенностей уровней Уь Уз и Ум выраженные через У, 1р' и ((рр. Эти выражения несколько громоздки, и основные свойства стационаРных решений можно объяснить более просто следующим образом. Определим скорость накачки Г как ЖрВзз (Л з Уе)IУ (2А6) Отсюда УГ есть скорость, с которой атомы под действием накачки переводятся в состояние 2. Тогда условия стационарного состояния из уровней (2.44) и (2.45) принимают вид У,(А„+ В„~') = У, (А, + В,®') (2,47) и УзАзз + У1А з = УГ (2.48) Из (2.47) сразу видно, что для выполнения неравенства Уг ) У, должно удовлетворяться условие Ам С Аьь (2.49) Короче говоря, атомы, возбужденные в состояние 2, должны относительно медленно переходить в состояние 63 ТЕОРИЯ ПРОСТЫХ ОПТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 1, откуда они быстро переходят в основное состояние.