1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (Давтян 1962 - Квантовая химия), страница 6

дввтвв 33 3. Оператор ы момента импульса микрочастицы. Момент импульса М частицы в классической механике определяется как векторное произведение радиуса-вектора г, проведенного от начала координат к частице, на импульс М = [ур], (3,14) где р =- пго — импульс частицы, и> и о — ее масса и скорость. Со- ставляющие момента количества движения в прямоугольных ко- ординатах могут быть представлены в следующем виде: М„= ур, — гр», М, = зр» — хр„ М, = хру — ур„ (3,15) где х, У, 2 — кооРдинаты и Р„Ру, Р,— пРоекции импУльса на эти координаты. Полный момент импульса можно представить через его составляющие следующим образом: (3,15) М вЂ” М,+М +М,, В квантовой механике момент импульса изображается операто- ром (3,17) где Р— векторный оператор импульса и г — радиус-вектор.

Заменяя составляющие импульса в уравнении (3,15) соответствующими квантово-механическими операторами (3,5), получим операторы составляющих момента импульса: М = [гР) ( д д» дг дх~ ' М,=!й у — — х— дг > (3,18) ~г Мг = М +Му+ М,= — йг ~[з — — у — ~ + [[, ду дз~ Для оператора квадрата момента импульса, согласно уравнениям (3,16) и (3,18), имеем: Операторы составляющих момента импульса не обладают свойством коммутативности.

В этом можно убедиться, исходя из выражений (3,18). В результате определения коммутаторов мы имеем: М» Му Му М» !й М Му М Му Му !й М М,М,— М, М, = >йМ, (3,20) Далее, нетрудно показать, что операторы" составляющих момента импульса коммутируют с оператором квадрата момента импульса: М»М' — М'М» = О, М М2 — М2М =О М М' — М'М вЂ” О. (3,21) Эти свойства коммутативности в квантовой механике имеют большое значение.

По признаку коммутативности можно определить собственную функцию одного оператора, если известна таковая для другого коммутирующего оператора. Так, можно доказать теорему, согласно которой, если два оператора коммутируют, то существует система функций, являющихся одновременно собственными функциямп обоих операторов. Операторы момента импульса обычно выражают в-сферических координатах. В этой системе координат [', д д 1 М „= !й з!п — + 1и д соз >р — ~, дд дч~ д д ! М = — )й соз ~р — — с!я д з)п >р — ! дд д»р ! (3,22) д М, = — >й —.

дчг ' х = гз!пдсоз<р, у = гз!пда!п~р, г = гсозд, где д — угол между осью г и радиусом- вектором г и ~р — угол между проекцией радиуса-вектора на плоскость ху и осью х (подробности см. з 8,3). В результате преобразования выражений (3,!8) и (3,19) из декартовой системы координат в сферическую,мы получаем сле. дующие выражения: з4 + х — — а — + у — — х— (3,19) " Чу 2 (3,23) где у𻻠— оператор Лапласа, выраженный в сферических координатах: ! д (, д~ 1 да (3,24) гйпО дб ! дд~ ' з!п»бдфа ' Теперь определим возможные собственные значения операторов М' и М,. Так как согласно (3,21) операторы Ма и М, коммутируют, то можно найти систему функций, являющихся одновременно соответственными функциями обоих операторов.

Пусть ф— есть собственная функция операторов М«и М,. По выражениям (3,22) и (3,23) эти операторы действуют только на О и ф и, следовательно, ф = ф(О ф). По третьему постулату (3,6) М«ф = ).м* »' . (3,25) Подставляя в это уравнение значение оператора М' из (3,23) и (3,24), получим 1 д (. дф~, 1 д«ф Х» — — з!и --',- —.— „+ — ф = О. (3,26) з!пб дб(, дб ~ ' гйп»О дф» а' Подробное описание метода решения уравнений, подобных (3,26), дано в главе П! 8 8 и 3 9). Свойства регулярных функций (непрерывность, однозначность и конечность) ставят определенное ограничение решениям уравнения (3,26).

Оказывается, что решения этого уравнения в пределах 0 (О (и, 0~ ф (2п существуют не при всех значениях !.а(а», а только при (3,27) м' — ((( ! 1) а'-' где ( — целое положительное число. Отсюда, собственные значения оператора квадрата момента импульса будут (((+ !)(,» (! = О, 1, 2,,), (3 28) и ),м — )('( ((-ь 1) Ъ; (( =. О, 1, 2,...) (3,29) В результате решения уравнения (3,26) попучаются собственные функции, соответствующие этим собственным значениям.

Они в нормированном виде выражаются посредством формулы 36 ф (О ) ='ъ((( )( ( '~~ Р, '1(сов б)е' '», (З,ЗО) 1( ((+ !л«У 4п где гп, — целое число, которое ограничивается только следующими значениями: М »р(О, ф) = Хм ф (О, ф), (3,32) Подставляя в это уравнение М, из (3,22), получаем — !Ь вЂ” = Хм,ф. дф дф Так как ф,(О, ф) является собственной функций, также оператора М„ то в результате подстановки ф из (3,30) в (3,33) мы имеем (3,33) ;Хм, = гп,й, (т( — — О, ~ 1,...

м'- !). (3,34) Следует отметить, что функция »р, (О, ф) одновременно не может быть собственной функцией также и операторов М„ М , ибо они не обладают свойством коммутативности. Однако, можно показать, что эта функция »р, является также собственной функцией оператора (М» -1- М»). 4. Операторы спина микрочастиц.

Согласно экспериментальным и теоретическим данным, многие микрочастицы имеют собственные механические моменты импульса. Этот собственный механический момент принято называть спином частицы (происхождение от английского глагола (о зр(п — вертеть), Для того, чтобы получить согласие с экспериментальными данными, необходимо было допустить, ~то собственные значения квадрата спина частицы, отвечающие оператору квадрата спина Ю'", должны быть выражены уравнением, подобным таковому для собственных значений квадрата механического момента импульса (3, 28), т.

е. (3,35) или Я = )»»з(э+1) А, где 5 — собственное значение спина, а з — целое или полуцелое число. Собственные значения компонента спина в определенном 37 пг,=О, ~1, ~2, ...-'-(; ((=1, 2, 3,...). (331) Символ ((и,! означает абсолютное значение числа т, Р', '(сов О)— так называемый «присоединенный полипом Лежандра» (см. подробно в ~ 7). Собственное значение оператора М, определяется уравнением 212)4 (3,41) 5' = 5„'+ 5,'+ 5',. (3,42) т,й= ~ — й. 1 (3,43) (3,37) 2т,р, 'е,7л ро = 2тос' (3,38) 5за = — йоа, 5'()= — во(1, 3 ° =3 4 ' 4 (3,44) Ю а= — йа,5 () = — Ю()„ 1 1 г 2 > г сои р =. 2 78 — —— 2МО с (3,39) сои р = — 1,9- —, 2Мо с ЮО 5т — Я, 5, = И Ю„ 5,5„— 5„5, = !й 5„. (3,40) (3,48) Далее, можно показать, что направлении, паприме, в н ример, в направлении внешнего магпитнш'о поля, также могут прин п ипимать только определенные значения, а именно„ только целое или полуцолос значения в единицах Ъ.

Если собственное значение компонента спина в напРавлении внешнего магнитного поля есть т,/Ь то возможны следующие значения т;, т, = з, (з — 1), (з — 2)..., О, ... (з — 2), (з — 1), — з. (3,38) Следовательно, во внешнем магнитном поле спин может ориентироваться так, что его компонент т,й может принимать только одно из этих 2з + ! значений. Число т, называется с п и н о в ы м квантовым числом, У электрона, протона, нейтрона и позитрона спин з равен '/О. Вообще, как правило, целочисленным спином обладают атомные ядра с четным массовым числом; ядра же с нечетным массовым числом имеют полуцелый спин. С собственным механическим моментом частицы связан магнитный момент, который ориентирован одинаково или противоположно к нему.

Компоненты магнитного момента в направлении внешнего магнитного поля могут принимать только определенное значение: где т, — спиновое квантовое число и р для электрона по величине равно одному магнетону Бора с отрицательным знаком, т. е. Здесь т„— масса электрона и с — скорость света. Значение (3, 38) впервые было получено Н. Бором на основании элементарной квантовой теории и поэтому называется магнетоном Бора. Выражение (3,37) показывает, что, подобно тому, как всякий заряд является кратным заряду электрона, магнитный момент электрона является кратным магнетоном Бора.

Для протона и для нейтрона соответственно р имеет следующие значения: где М,— масса протона. Гипотеза о спине с числом з = 1/2 была введена Уленбеком и Гаудсл~итол~ для объяснения тонкой структуры атомных спект- 38 ров и других явлений. Так как для электрона з = 1/2, то по формуле (3,38) Полный спин может быть выражен через его проекции обычной формулой Согласно последним уравнениям, проекция спинового момента электрона иа любую ось (в качестве этой оси мы можем принять направление внешнего магнитного поля) может иметь зна- чение Таким образом, спиновое квантовое число электрона может принять только значения т, = 1/2 и т = — !/2.

о О Аналогично операторам момента импульса М„, М„, М, и М Паули ввел операторы спина электрона Ю„, 5,„5, и 5'. Согласно формулам (3,41) и (3,43) оператор 5' имеет только одно собственное значение 3/4 до, а оператор 5, имеет два собственных значения, а именно, !/2$ и — 1/28. Пусть а есть собственная функция спина (спиновая собственная функция), соответствующая спиновому квантовому числу т, = 1/2 и р — спиновая собственная функция, отвечающая т, = — 1/2.

Тогда, согласно третьему постулату (3,6) Предполагается, что правила перестановки (коммутирования), полученные для операторов момента импульса, применимы также для операторов спина. Тогда аналогично уравнениям (3,20) можно иметь: (Юн — !Я ) а =- Ър, (ބ— 15~) Р = О, (Яа + !Ют) а =- О, (Ха+!э )р=да, и отсюда 1 $'~.Ф(т ) тр'арп'т (3,46) (4,2) Если функция нормирована, то (4,3) Я, = — Ър, Ю„6 = — Ътв, 1 1 (3,47) Ю а = — (тар, Ю„6 = — — !Ва. 1 1 (3,48) Л= ч~~Л,гва(Ла), т (4,3а) причем ~~'.~ва(Л,.) = 1. (4,4) щ(Л) Ю, ) в(Л)с0. (4,5) ) ар*(.трдт =Л ) вр врН; Л = ~ Лш (Л) с(Л, (4,6) 41 40 2В о. к.

давтян где 1= )/ — 1. Эти уравнения позволяют определить действие операторов Ю„ Ю на спиновые собственные функции а и 6. В самом деле, путем сложений и вычитаний выражений (3,46) можно найти, что Далее, исходя из этих общих правил, можно показать действие операторов Ю„, Ют,... (Ю Ю, — Ю,Ю„)...