1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (Давтян 1962 - Квантовая химия), страница 4

е. А~,(х) = О, А7з(х) = О, то с, АУ, (х) + сз А[, (х) = А [г, Г, (х) + о, Уз(х)] = О. Следовательно, линейная комбинация частных решений уравнений, содержащих линейные операторы, также является его решением. Важнейшим линейным оператором, который часто встречается в физике, является оператор Лапласа. Он обозначается либо символом 17'(набла в квадрате), либо символом Ь и определяется выражением ~ 1 (х, у, х)= — -- -',-,, +— д-1, 87 д7 (2,5) Отметим еще некоторые важнейшие свойства операторов, в том числе линейных операторов.

Сумма двух операторов 5 = А + В, примененная к функции [ (х), может быть определена следующим образом: 5~(х) = (А + В)~(х) = А~(х)+ В~(х). (2,6) Произведение же операторов Р=А В, примененное к функции [(х), определяется равенством (2,7) Р~ (х) = А В Р (х) = А [ В~ (х)1. В общем случае порядок расположения операторов имеет существенное значение, В выражении (2,7) функция [(х) сначала подвергается действию оператора В, а затем к полученному результату применяется оператор А. Например, если А — оператор д умножения 7(х) на х, а В = —, то дх' АВ)(х)=х дх (2,8) (2,4) 19 18 Если А и В представляют собой линейные операторы, то линейчая комбинация этих операторов и их произведение, т.

е. 5=г,А+с,В, Р=сА В и ВА1(х)=7(х)+х дух) АВ = ВА. А А...А=А", А А — '=-А-'А=у=б, (2,9) или в сокращенном виде и*Войт = ') оГ*и*г(т, (2,!! ) В !'=Ц, (2,12) Как видно из этих примеров, АВ!" (х) и ВА)(х) существенно отличаются между собой. Операторы, обладающие такими свойствами, называются н е к о м и у т и р у ю щ и м и. В этом случае разность А — ВА называется к о м м у т а т о р о м операторов А и В. Если же операторы Л и В таковы, что АВ=ВА, то они обладают свойствами к о м м у т а т и в н о с т и. Говорят, что операторы к о м м у т и р у ю т.

В том случае, когда последовательное применение двух операторов к функции 1 (х) не приводит к изменению этой функции„то такие операторы называются о бр а т н ы и и друг другу. Оператор, обратный данному оператору А, обозначается через А-', их произведение можно представить так: где у носит название оператора идентичности или единичного оператора. Последовательное применение одного и того же оператора, скажем оператора А, обозначается через А", где п показывает, сколько раз применен данный оператор А.

В этом отношении важным примером является оператор дифференцирования А = д дз дл = —. Ясно, что Аз = — и вообще А"=- -;,. дх ' дх' дх" 2. Самосопряжеииые операторы. Большой интерес для квантовой механики представляют линейные операторы, относящиеся к классу самосопряжен ных или эрмитовск их операторов. Линейный оператор Р называется самосопряжениым, если он удовлетворяет следующему условию )... ') и*Рог(х,дх, ... дх„= ) ...

) иРчиМх, дх,...г(х, (2,10) где и и о являются функциями координат х„х.„.,., хгс Пространство с такими обобщенными координатами принято называть и р ос т р а н с т в о м к о н ф и г у р а ц и й системы и Йт = дт1дх,... дх„— элементом объема конфигурационного пространства. Для одной частицы Ит совпадает с элементом объема ди обычного пространства. Звездочка справа над символом функции (и":) обозначает комплексно сопряженную функцию с и. Величина Гч обозначает оператор, комплексно сопряженный с Г. Смысл Г" состоит в том, что если Ги =. и, то Гчи*= (У". Пределы интегрирования (2, 11) зависят от класса рассматриваемых функций и и и.

зо Для квантовой механики самосопряженные операторы интересны тем, что, как мы увидим в следующем пункте, им соответствуют действительные (не мнимые) физические величины. Легко показать, что линейные комбинации самосопряженных операторов также являются самосопряжснными. Однако пх произведения не будут, в общем случае, самосопряженными операторами.

Если .-1 и В суть самосопряженные операторы, то их произведение АВ может быть самосопряженным только в том случае, если они обладают свойством коммутативности, т. е. Так как всякий оператор коммутирует сам с собой, то самосо- пряжеиный оператор любой степени, также является самосопряженным. 3. Регулярные функции.

В квантовой механике представляют интерес только так называемые р е г у л я р н ы е ф у н к ц и и, удовлетворяющие с т а н д а р т н ы м у с л о в и я м. Такие функции должны обладать свойством о д н о з н а ч н о с т и, к онечности и непрерывности во всей области изменения независимых переменных, включая и бесконечность. Кроме того, если ф представляет собой регулярную функцию, и ф' — ее комплексно-сопряженную, то требуется, чтобы интеграл имел конечное значение, т.

е, функции должны быть квадратично интегрируемы. Если в выражениях (2, 10) и (2, ! 1) и и о представляют собой регулярные функции, то их интегрирование возможно по всему пространству конфигураций. В тех случаях, когда независимые переменные представляют собой декартовые координаты, интегрирование распространяется от -оо до -',- оа. 4. Собственные функции и собственные значения. Если в результате применения оператора ь' к функции 1, принадлежащей к классу регулярных функций, получается вновь та же самая функция, умноженная на некоторое число ), т.

е. то все члены указанного класса функций, подчиняющихся этому правилу, называются собственными функциями оператора Ь, а различные возможные значения Х, соответствующие собственным функциям, называются с о бе т не н н ы м и з н ач е н и я м и этого оператора. 2! Совокупность собственных значений оператора носит название его с и е к т р а. Собственные значениЯ в опРеделенных пределах могут быть прерывными (дискРетными) и непрерывными; тогда говорят о дискретных и сплошных спектрах. собств Теперь покажем, что для р е г у л'я р н ы х ф х функций енные значения самосопряже опе ато ов вс р енных р ров всегда являются действительн ы м и, Пусть А — самосопряженный оператор, лр — регулярная функция.

По выражению (2, 12) (2,13) (2,14) А*ф* = Х*~р*. Последнее уравнение является комплексно-сопряженным с уравнением (2,13). Умножая обе части (2,13) и (2,14) соответственно получаем па лр* и ф и интегрируя их по всему пространству конфигура и", и цин, ) $'(А%с(г=-) ) Ч:*лрдт, ~ лр(А*Ф*)дт = Х* ! ффьпт = ),* ~1рчф,(. Так как А— — самосопряженный оператор, то согласно условию самосопряженности (2,11), левые части последних выражений равны между собой, т, е. ~~р*(Аф)Нт = ) ~р(Л "ф*) дт, и, следовательно, Л = — Х*.

(2,15) если лч является ей Последнее равенство может быть выполнено тольк лько при условии зыва ° яется действительным числом. Так, следоват ль о, ельно, докасамосопряженных опе ато о . ется вещественность (действительность) собст ть) со твепных значений опряженных операторов. Как было отмечено, зто свойство имеет существенное значение для квантовой механики. мормир~мннос~~ н ортогональность собственных функц й. ,";( ) в некотором интервале а — 6 изменения переменной удовлетворяет условию 3 7,. (х));(х)Их = 1, (2,16) а то она называется н о ми р и р о в а н н о н. Если же две произвольные функции 7,(х) и )з(х) удовлетворяют уравнению 22 (2,17) ) ~~ (х) 7л (х) Ых = О, а то в интервале а — 6 функции называются взаимно о р т о г о- н а л ь н ы м и. Для квантово-механических функций (регулярных функций) условия нормировки и ортогональпости могут быть пред- ставлены в следующем виде: ) ф,' Р,3т=1, ) чч М =О, 'Ф!'. (2,18) (2,!9) Здесь интеграл распространяется на все пространство конфигура- ций.

Эти условия нормировки (или нормальности) и ортогональ- ности можно записать в виде одной формулы (2,20) ~р,'. ф ~(т = бн, где бс= 1 при ! =1, Б..=О при ю'~ !' Так как регулярные собственные функции квадратично интегрируемы, то они могут быть нормированы путем умножения или деления на постоянную величину (на нормирующий множитель). Пусть ) квадратично-интегрируемая собственная функция, т. е. (2,21) (2,22) где с в конечная величина.

Тогда очевидно, что нормирующим множителем будет с в ьх и, следовательно, нормированная собст- венная функция выразится в виде (2,23) !'=с ыз!, (2,24) (2,25) 23 РР,.=Л,. Рп Рф,=Л7Р,, которая также является решением уравнения (2,12). Можно доказать, что собственные функции любого самосопряженного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны между собой во всем интервале изменения п е р е м е н н ы х.

Пусть Р— самосопряженный оператор и лрп фт суть собственные функции. По определению (2,12) Р1р! Х1р1 и РФ2 ХФВ (а) 1 р,'Рф!)т= ~ р!Р*ж! (т, (2,29) <р = ф,— б„!р,. (б) и, следовательно, ) Ф !р!(т = ~ $ (Ф вЂ” 8 Ф!)пт= = ) 1Р! ф,!(т — бм ) ф! $,с(т = О. (в) (2,31) ~ 1р,' ф! дт = О, (Х,. чь Х,), (2,32) 612 1 т! 'р2 ~(т (г) сх ) <р*!рот = 1, откуда 1 У где Х! и Х! — собственные значения; причем предполагается, что Х. -: Х .

Уравнение, комплексно-сопряженное с (2,25), представ! я ляется в виде Р*% = "!. "Р!. ' (2,26) Теперь умножнм уравнение (2,24) на ф!ч а уравнение (2,26) на ф! и результаты умножения интегрируем по всему пространству конфигураций: ) ф(Рфдт = Х, ) ф! ф!(т, ') Ф Р'1; !1 т = ),; ) Ф Ф; с1 . (2,28) Так как Р представляет собой самосопряженный оператор, то по условию (2,11) д, ~~р,'ф,дт= А,'~ ~р,.~>гс(т = Х; ) ~руф,.!(г. (2,30) Далее, выше было показано, что собственные значения самосопряженных операторов всегда действительны, т.