1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (Давтян 1962 - Квантовая химия), страница 8

Следует еще добавить, что геометрия гильбертового пространства в основном соответствует обычной эвклидовой геометрии, однако здесь векторы в общем случае являются комплексными. 2. Элементы матричного исчисления. Теория линейных преобразований приводит к мысли — создать действия над матрицами, рассматривая их как комплексные числа. Над матрицами можно произвести некоторые действия, аналогичные действиям над обычными комплексными числами. Следует, однако, отметить, что матричная алгебра существенно отличается от обычной алгебры комплексных чисел. Одна из характерных особенностей матричной алгебры состоит в некоммутативности умножения матриц.

Ниже кратко познакомимся с некоторыми алгебраическими действиями над матрицами. Во всех случаях мы будем рассматривать только к в а д р а т н ы е матрицы (у которых число строк равно числу столбцов) одинакового порядка. а. С л аж е н и е м а т р и ц. Прежде всего определим понятие равенства матриц. Две матрицы А =(а,.

) и В=(Ьгл) считаются равными, если все их соответствующие элементы равны между собой. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Сложение матриц, например А+В=С, или (а,л)+(Ь,л) = (г,л), сводится к сложению соответствующих элементов, т. е. Сложение матриц обладает свойствами коммутативностн и ассо- циативности; Вычитание матриц есть действие, обратное их сложению.

б. Умножение матриц. Пусть мы имеем два линейных преобразования от (х„х,) к (х~, кр) и затем от (хы кз) к (х~ хз),т. е. (5,19) 3 с„= Д Ь„ал» (1, Ь = 1, 2). (5,25) (5,20) где А=(" ") (5,2 1) с,. = ~ Ьа а (1, Ф = 1, 2, . и). /=! Ьм Ь„ (5,27) (5,22) С= ВА. (5,28) ВА ф АВ. (5,29) Соответствующая матрица будет (С В)А = С(ВА). (5,30) С=В А= Ь„а„+ Ь,,агц Ь„а,,+ Ь,за»»'1 з Ь„а„+ Ь,, а,„Ь.„а,, + Ь„а,, (5,25) х; = амх»+ а»» х» 1 -+ или х' = Ах, х» = а»лх,+ а»»х» ) х1 = Ь1» х1+'„Ь»» х~ + или х" = Вх'. х» = Ь»» х~ +,Ь»» х» матрицы преобразований (5,19) и (5,20) соответственно.

Последовательный переход от (х,, х,) к (х|, х») и затем от (х,, х») к (х„х») может быть выполнен непосредственным переходом от (х», х») к (хь х»). Для этого в (5,20) достаточно подставить вместо х~ и х» их значения из (5,19). Тогда мы имеем х1 = (Ь„а„+ Ь„а„)х, +(Ь„а„+ Ь„а.„)х» х" = Сх. (5,23) х» = (Ь„а„+ Ьм а»») х, + (Ь„а.» + Ьы аз») х, ~ Ь„а„+ Ь»» ~», Ьм ал + Ь»» а»»1 (5,24) ! Ь,»а„+ Ь,,а„Ь,»а,, -!- Ь».а»») Таким образом, последовательное выполнение двух линейных преобразований (5,19) и (5,20) равносильно выполнению одного линейного преобразования (5,23). Это последнее преобразование называется произведением преобразований (5,19) и (5,20).

Лналогичным образом матрица (5,24), соответствующая преобразованию (5,23), называется произведением матриц (5,22) и (5,21). Как видно из (5,25), чтобы получить матричный элемент 1-той ьи строки и Ф-того столбца (т, е. с, ) матрицы С, достаточно умножить элементы 1-той строки матрицы В соответственно на элементы й-того столбца матрицы А и полученные произведения сложить: Полученные результаты легко распространяются на случай лю- бого числа переменных. Таким образом, произведением матриц В = ( Ь,») и А =(ам) и-го порядка называется матрица С=(с, ), элементы которой определяются выражениями Это произведение обозначается символом Произведение двух матриц в общем случае не о бладает коммутативностью, т.

е. Это объясняется тем, что ~ Ьаа, вообще не равно ~па Ь,». Не! ! трудно показать, что определение произведения матриц распространяется на случай любого числа сомножителей; при:,этом имеет место сочетательный закон, т. е. Важной особенностью умножения матриц является то, что произведение двух ненулевых матриц может быть равно нулю; например, Теперь, возвращаясь к выражениям (5,11) и (5,12), покажем, что их можно считать идентичными. В самом деле, как было отмечено вектор х с составляющими (хь хм ..., х,) можно представить как матрицу, один из столбцов которой заменен элементами хь х», ...л„, а остальные элементы матрицы равны нул1о.

Если в качестве этого столбца взять первый столбец, то мы имеем 51 Х2 х(х„х„... х„)= и, если элементы этой матрицы но правилу умножения матриц образования х'= йх, (5,35) йоо,. 0 Ойо...0 Оой...0 Х! х, (5,36) ]И . й]*= х' = Ах или 000...й х„ хи Х! = Й2Х2 Х2 = иих2 (5,37) йам = а22 й. (5,3! х„= й„х„ или 100...0 010...0 000...1 (5,38) (5,39) ЕА = АЕ = А. 00 ..0 00...0 00...0 обозначим через хм= хь то соглас- (5,27), выражение линейного пре- и х2 = ~х'.~ аи, х, (й = 1, 2..., и) (5,1 1) 2=! можно рассматривать как произведение элементов матрицы А на матрицу х, Поэтому формально мы имеем возможность записать линейное преобразование (5,11) в виде 3.

Диагональные матрицы. Важнейщими типами линейных преобразований можно считать следующие преобразования: х~= й,х, (1= 1, 2,... л). (5,32) В этом случае преобразование сводится к растяжению (или сжатию) вдоль координатных осей; при этом коэффициенты йг, й2,... й„характеризуют величину растяжения (сжатия). Матрица такого йреобразования имеет вид /г,оо...0 ой,о...о Оой,...о 000...й„ и называется диагональной матр и ц ей. В ней все элементы, кроме элементов по главной диагонали, равны нулю.

Диагональную матрицу обозначают также символом (й,йи... Й„]. 52 Произведение диагональных матриц определяется по формуге [й2 й2... й„] ° ]12 12... 1„] = 1! д 12... 1„] ]йг /г2, й„] = = (й2 12 й2 12 ° ° йи 1и! ° (5,34) В частном случае„ когда й, = й, = ... = й„, линейное преобразование сводится к умножению всех составлякщих вектора на одно и тоже число й. При этом всякий вектор, не меняя своего направления, изменяется только по длине. Такое преобразование можно представить так: где й есть частный случай матрицы, т.

е. Из (5,35) следует, что произведение й на любую квадратную матрицу А сводится к умножению всех элементов матрицы А на число й; причем это произведение не зависит от порядка распо- ложения сомножителей: Особый интерес представляет диагональная матрица, все диаго- нальные элементы которой равны единице. Такая матрица назы- вается единичной матрицей и обозначается через Е или же через 1: В матричном исчислении роль единицы в умножении играет еди- ничная матрица. Нетрудно видеть, что Обобщением диагональной матрицы является так называемая к в а з и- д и а г о н а л ь н а я м а т р и ц а или к л е т о ч н о-д и а г он а л ь н а я м а т р и ц а.

Пусть имеется А — матрица следующего вида: зз а„а,> а21 а22 а„а,з (5,40) А=' А„А„Аю ОЛ ь>Л ВЛ 0 0 (5,47) А — '= 0 0 0 0 0 0 0 0 а„ а>2 0 а22 0 0 а44 0 а„ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 а4, 0 0 а„о 0 0 аВВ а47 '174 а77 Г А, <) —, 000 000 ~000 ,(О О О 00 00 0000 0000 0 00 0 0 0 000 000 и х,= „Я вЂ” "<х;, (5,46) 2=> 1)Л где А>а — алгебраические дополнения элементов аи,. и ВЛ вЂ” определитель матрицы А, образованный элементами а, матрицы этого преобразования; Как видно, в этой матрице по диагонали расположены три матрицы: А,— матрица третьего порядка с элементами а„,...

а„; А — матрица второго порядка с элементами а„,... а„ и А,— матрица второго порядка с элементами а„,... а„. Все элементы матрицы А, не принадлежащие к матрицам А„ АВ и А„ равны нулю. Составляющие по диагонали матрицы А„АВ... в общем случае могут иметь любой порядок (естественно меньше порядка основной матрицы). Все матрицы такого типа носят название клеточнодиагональной или квази-диагональной матрицы.

В общем случае клеточно-диагональные матрицы обозначаются так, как диагональные матрицы, а именно А = (А„, А„... Аи]. (5,41) Сложение, умножение и возвышение в степень клеточно-диагональных матриц одинаковой структуры производится по следующим формулам: (А„АВ,... Аи(+ (В„В.„... Ви( = = (А, + В„. А, + В,... Аи+ Ви( (5,42) (А>, АВ, Ал( (В>, В>,...

Вл( = (А1'В>, А> ' В>, ° °, Ал' Ви(, (5243) [А1 АВ~ ° А,!'= (А>, А2, Ал( (5,44) 4. Обратная матрица. Пусть мы имеем линейное преобразование и х>= ~~.", а,>хь (Уг = 1, 2,... и) 2=1 с соответствующей матрицей А = (ам). Если решать эти уравнения относительно х„, то мы получим преобразование (где х„выражается через х,), которое называется обратным преобразованием. Можно показать, что в том случае, когда определитель матрицы А отличен от нуля, обратное преобразование может быть выражено в таком виде: 54 А<и Ази Алл 22Л 0Л и7Л называется обратной ма тр иц ей по отношению к матрице А и обозначается символом А-'.

Напомним из высшей алгебры, что алгебраическим дополнением элемента а,. называется его минор, взятый,со знаком ( — 1)"+'. Нетрудно доказать, что произведение двух взаимно обратных линейных преобразований дает тождественное преобразование х< = Ех< =- х< и, следовательно, АА-' = А — 'А = Е„(А — ') — ' = А. (5,48) 5. Влияние выбора системы координат на линейное преобразование.

Подобные матрицы. В трехмерном пространстве при определении составляющих вектора можно пользоваться любой системой осей; иначе говоря, мы можем взять любые три некомпланарные вектора 1, /„й за орты (за основные векторы). При этом всякий вектор х может быть представлен в таком виде: — 4  — 4 -+ х = х,(+ х2! + хВЬ, где х„х„х, — составляющие вектора х в данной системе координат.