1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (Давтян 1962 - Квантовая химия), страница 3

д. Для этих сопряженных переменных соотношения неопределенностей будут иметь следующий вид: Ь«р.ЬМ„'. Уц Ь«р«»М„. Г«, Ь«р.ЬМ, .: Ъ, (1,8) ЫЬЕ (Т«, (1,9) где Ьр, ЬМ, ЬЕ и б1 — неопределенности в определении значений угла поворота, момента количества движения, энергии и времени. Согласно выражению (1,9) определение энергии с точностью до ЬЕ должно занять интервал времени, равный по меньшей мере Ы вЂ” й7ЬЕ. Так как положение и импульс микрочастицы определяются с известной точностью Лд и Лр, то для описания системы я этой ограниченной области требуется совершенно новая функция, обладающая некоторым особым свойством. Если предположить, что здесь проявляется волновая природа материи, то одной из возможных функций, удовлетворительно описывающих микросистему, может быть волновая функция. Однако следует отметить, что для нахождения таких функций вовсе не обязательно исходить из волновой природы системы.

Как мы увидим дальше, к таким функциям относятся все, так называемые «регулярные» функции. Итак, если предположить, что положение микрочастицы определяется посредством волновой функции, то абсолютное значение этой функции может заметно отличаться от нуля в очень малой области, приблизительно равной Лд. Такая волновая функция не может выражать гармоническую волну с определенным значением длины волны Х, ибо она была бы безграничная. Следовательно, волновая функция должна быть построена путем наложения гармонических волн, которые в результате интерференции усиливают друг друга в небольшой области Лд, а вне ее повсюду погашаются.

В результате образуется так называемый «волновой пакет». Можно показать, что скорость волнового пакета соответствует скорости частицы; однако вследстние того, что этот пакет в диспергнрующей среде постепенно рассеивается (распространяется во все стороны), скорость частицы нельзя определить точно. В таких условиях положение частицы можно определить только некоторой вероятностью, исходя из волновой функции. Так, вероятность того, что в момент 1 частица находится в данной точке, пропорциональна квадрату амплитуды результирующей волны в этой точке. В заключение необходимо отметить, что сущность соотношений неопределенности состоит в том, что опи ограничивают применение понятий и закономерностей макроскопичсскнх систем к мнкрообъек- 13 д2Ч' ~3'~ дх2 дх' Ч ( дзЧ" д'ф дуз ду' Р ( )' д'Ч" д'ф — = — т(!). дг2 доз (1,14) находим д'ф д2ф , дзф 4п2 дхз ду'-' дг" 'Х2 (1,15) или в более компактной форме д'Ч' д'Ч', д'Ч' 1 д'Ч" дх' ду' дг4 сз д!2 (1,16) где Чг = ф (х, у, х) Ч (!), (1,11) Ч(!)=с — '" и отсюда 4п'рз 17 2р = ьз "1' (1,17) Чà — фс — 2л2л В (1,13) д2% —,= — 4пзч2Чяр (!); д!2 (1,13) там; онн ии в коем случае ие ограничивают возможности нашего познания.

Указывая на неприменимость законов макромеханики кмикрообъектам,эти соотношения выявляют специфические закономерности микромехаиики и тем самым дают возможность для научного познания в области, недоступной для классической физики. 3. Уравнение Шредингера. Соотношение де Бройля (1,5) и некоторые выводы, вытекающие нз принципа неопределенности, послужили отправными пунктами для получения волнового уравнения Шредингера.

Как мы видели, соотношения неопределенности требуют совершенно нового подхода для определения положения частицы. Требуется ввести новые функции, которые определили бы вероятность нахождения частицы в данной точке. Как известно, такие функции применяются в теории распространения электромагнитных колебаний света. Согласно теории Максвелла, свет в пространстве распространяется в виде электромагнитных волн, которые подчиняются обычному уравнению волнового движения где Ч" — амплитуда волны в данный момент времени ! и с — скорость света. С точки зрения квантового представления квадрат амплитуды Ч' в данной точке определяет вероятность нахождения фотона в этой точке.

Уравнение (1,1О) может быть решено методом разделения переменных. Функцию Ч~ можно представить, как произведение двух функций где 2р — функция только координат и ф(!) — функция только времени. Если решение соответствует стоячим волнам, как, например, в случае волн, возникающих на струне, закрепленной с обоих концов, то ~р(!) может быть выражено уравнением где ч — частота колебания и ! = У в 1. Из последнего выражения мы найдем, что Подставляя выражения (1,13) и (1,14) в уравнение (1,10) и учитывая, что с= Хт, дз д'-' д-' Ч дхз+ ду'+ доз является оператором Лапласа (см.

3 2,1). Основное положение волновой теории Шредингера состоит в том, что волновое уравнение (1,16) применимо не только к фотонам, но и ко всем микрочастицам, которые, как было отмечено, обладают волновыми свойствами. Следовательно, для всех микрочастиц значение длины волны Х в уравнении (1,16) можно определить из соотношения де Бройля и тогда уравнение (1,16) напишется в виде: Кинетическая энергия частицы равна Е =Š— (7, (1,18) где Š— полная энергия и (7 — потенциальная энергия; она свя- зана с количеством движения (импульсом) р = тв соотношением !5 8пет р'ф+ „, (Š— и) ф = 0 1зе (2п1 31 (1,24) (1,20) 2т ' 'р -~- —, (Š— ()) 1 = О, (1,21) (1,25) 1 "Р ~' = Ф зг** (1,22а) й 2.

0 функциях и операторах то Ч" (), 1)=ф(Ч)г й или (2,1) Еи= и, (1,23) ре Е:= — тпе = —. 2 2т' (1 19) Отсюда уравнение (1,17) окончательно можно написать в следующей форме: где Ъ вЂ” постоянная Планка й, деленная на 2п. Это уравнение является известным уравнением Шредингера для отдельных частице. Здесь величина ф обозначает уже некоторую новую функцию, которая Шредингером была названа волновой функцией частицы.

Эта функция определяет состояние описываемой ею микрочастицы. Уравнение Шредингера лежит в основе решения большинства задач квантовой механики и также квантовой химии. Следует отметить, что уравнение (1, 21) не включает время; оно описывает стационарное состояние систем. Но уравнения (1, 12) и (1, 20) позволяют дать волновое уравнение Шредингера, содержащее время. Так дифференцируя уравнение (1, 12) по времени, находим, что — -' — = — 2п1тф (у) е — "" = — 2пррЧ' (д, 1), (1,22) аЧ«д, 1) где д — пространственные координаты, 1 — время.

Так как энергия фотона равна дЧ'(д, 1) — 2п(Š— 1 01 =' 1 Ч'И 1) = й Е'Р(( 1) * Припсдеииыс рассуждеиия нельзя рассматривать иаи иыиод>рзвисиия Шредингера. Ураиисиис Шредингера япляется основным постулатом иолиовой мсхаиики. 1б Если последнее выражение применяется к микрочастицам (что является основным положением теории Шредингера), то Е будет полной энергией данной частицы. Сопоставляя уравнения (1,20) и (1,23), найдем, что Это есть общее уравнение Шредингера, содержащее время; здесь Ч' зависит от х, у, г и 1. Волновую функцию Ч' можно рассматривать, как меру вероятности обнаружить частицу в данной точке рассматриваемого объема, В некоторых случаях Ч' может включать член, содержащий мнимую величину 1=~ — 1; однако вероятность нахождения частицы в пространстве должна быть всегда действительной.

Поэтому мерой указанной вероятности будет квадрат модуля Ф, т. е. которая является всегда действительной величиной. В этом выражении»рл является комплексно сопряженной с функцией»ч Итак, квадрат модуля волновой функции определяет распределение вероятности значений координат микроснстемы; его часто называют плот постыл вероятности координат микросистемы, ~ ф1» Йо есть вероятность обнаружить значения координат системы в элементе объема с(ш Уравнение Шредингера может быть получено на основе других постулатов, которые являются более общими положениями квантовой механики.

Ниже, в 3 3, дается их изложение. 1. Линейные операторы. Для создания квантовой механики оказалось необходимым связать ее основные постулаты с понятиями линейных операторов. Если при помощи определенного правила из функции одной или нескольких переменных сс (хп хе, хз ....) получается другая функция о (хы хе, ...) тех же или других не»ременных, то этот процесс называется «о п е р а ц и е й», Она выражается следующим образом где г — символ оператора, и — первая функция, на которую действует оператор Е и о — функция, полученная в результате операции, Итак, оператор г', применяемый к функции и (или действующий на функцию и), дает функцию о. 17 А7(х) = х7(х), д~ (х) дх д где А — оператор умножения на х и В = — — оператор диффедх ренцирования по х.

Следует отметить, что объектамн применения операторов могут быть функции от одной или нескольких переменных. Задавая оператор, необходимо учесть, к функции от каких переменных ои применяется. Так например, функцию двух независимых переменных ( (х, и) можно продифференцировать по одной из них: В1(х, у) = дх д Ясно, что здесь В = — является оператором дифференцирования дх только по х. Независимые переменные могут быть непрерывными и прерывными.

Они всегда должны быть вещественными. Функции же, к которым применяются операторы, в общем случае являются комплексными. В квантовой механике применяются только линейные операторы. Линейными операторами называются такие операторы, которые удовлетворяют следующим условиям: Р ф (х) + [з(х)[ =- Ц, (х) + Р[з (х), Р [с~(х)] =- сР)(х), (2,2) гДе ),(х) и 7з(х) — пРоизвольные фУнкЦии и с — пРоизвольнаЯ постоянная. Из выражения (2,2) следует, что Р [с,~,(х) + с,7,(х)] = с, Ц, (х) + г, Ц,(х). (2 3) Примерами распространенных операторов, применяемых к функции ) (х) от независимой переменной х, являются умножение функции 1 (х) на эту переменную х и дифференцирование ) (х) по переменной х: являются также линейными операторами. В этих выражениях гы с., и с в произвольные постоянные. Если в уравнении А 1(х) = О А — линейный оператор и ~, (х), 1з (х) — решения этого уравнения, т.