1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (Давтян 1962 - Квантовая химия), страница 9

Точно таким же образом в многомерном простран- СтВЕ За ОСНОВНЫЕ ВЕКтсрЫ МЫ МОЖЕМ ВЗятЬ а<'>, а<2>,... а<и> и тогда Х = Х, а<'> + Х, а<2> +... + Хи а'В>. (5,49) В новой системе координат с новыми основными векторами Ь<'>, Ь<2>,... Ь<ю наш вектор, определенный выражением (5,49), будет иметь новые составляющие у = у, Ь<'> + у2 Ь<2> +... + уи Ь<и>. (5,50) йз Вл н ) а!» / = ! (5АЯ)!» (, у = ч~~~а!! = 2, (ВАЛ вЂ” ')л. ) (5,57) у = Вх и у' *= Вх'.

(5,52) а!, = а»г (5,58) См = С»п = Х о»7 5» = Х "! бу». ! (5,59) или у =ВАВ- у. (5,54) Откуда А' = ВАВ-! ° (5,55) а» = а»!. (5,60) А=А» (5,61) и, следовательно, аы —— а»», (5,62) (5,56) х = Ха!!. Пусть в первоначальной системе координат мы имеем преобра- зование от х(х„х„...х„) к х'(х!, хз,...х„) с помощью матри- цы А(а!,): х' = Ах. (5,51) Далее, допустим, что переход наших векторов х и х' в новую систему координат совершается посредством матрицы В =(з!»), т. е. Задача состоит в том, чтобы определить, в помощью какой матрицы А' происходит переход от у (у„ у„ ...

у„) к у'(у!, уз...у„) в новой системе координат, т. е. у' = А'у. Для решения этой задачи умножим обе части уравнения (5,52) иа 5-!. Так как БЬ вЂ” !=Е, то х= 5 'у х'=5 'у'. (5,53) Подставляя значение х и х' из (5,53) в (5,51), получаем Я-!у' = АВ-! у Преобразование (5,54) называется преобразованием, подобным (5 51), и его матрица А'= ВАЛ вЂ” ' называется мат рице й, под обн о й А. Как мы увидим, в теории представлений (9 22) матрицы А и А' называются также с о п р я ж е н н ы м и матрицами. Подобное преобразование обладает следующими важными свойствами. Подобные матрицы имеют одинаковые определители и одинаковые следы; с л е д о м у, матрицы называется сумма диагональных элементов матрицы, т. е.

В теории представлений след матрицы принято называть х а р а кт е р о м матрицы. Эти свойства подобных матриц еще можно сформулировать так: о пределитсль и след данной матрицы инва- 5Б риантны по отношению к преобразованию п о д о б и я, т. е. где»»л — определитель матрицы А; (5АЯ вЂ” ')и — диагональные элементы подобной матрицы ЯА5 — '. 6. Транспонированные, эрмитовски-сопряженные и эрмитовские матрицы. Если в матрице А = (а, ) мы заменим строки столбцами, то А переходит в транспонированную матрицу, которую мы обозначим через А.

Элементы транспоиированной матрицы определяются соотношением Произведение матриц А В = С при траиспонировании переходит в матрицу С = АВ с элементами Обозначим матрицу, элементы которой комплексно сопряжены с соответствующими элементами матрицы А, через А*; тогда, если матрица имеет вид А =- (а,. ), то комплексно- сопряженная с ней матрица будет А'= (а!»). Теперь, если мы возьмем матрицу, комплексно-сопряженную с транспонированиой (т.

е. с А), то мы будем иметь матрицу, которая называется эрмито век и сопряженной матрицей с исходной А. Ее мы обозначим через А*= (а,») Элементы этой матрицы определяются формулой Матрица, удовлетворяющая соотношению называется э р м и т о в с к о й или с а м о с о п р я ж е и н о й м а т р ице й. Из выражения (5,62) можно сделать следующие важные заключения: 1) при !' = й, а» = а»», это значит, что диагональные элементы эрмитовской матрицы должны быть вещественными; 2) если все элементы эрмитовской матрицы вещественны, то 57 а, агг аг, (5,67) а„~ а»г . . а„„ (Ах, у) = ( х, Ау), (5,63) в (5,66) и в (5,67) удовле.

2,...а), 2,...а), 1 (й== 1, (5,68) и ~ ~аг»!' =-- 1 (й = 1 (5,69) » ~»1 а 2 а!; = 6»! 2=! (5,?0) (5,7!) у, =- ~ а„х, (й =- 1, 2,... л), г=! (5,66) 88 а, = а,.; а это значит, что при замене в такой эрмитовской матрице строк столбцами, она не должна изменяться. Одной из характерных особенностей эрмитовской матрицы является то, что она при любых векторах х, у удовлетворяет соотношению где выражения в обеих частях равенства означают скалярные произведения векторов. Следует также отметить следующее важное свойство эрмитовской матрицы. Если А — эрмитовская матрица, а (! — любая унитарная матрица (см.

следующий пункт), то можно показать, что (!-'А(! будет также эрмитовской матрицей. 7. Унитарные матрицы. Пусть мы имеем первоначальную систему декартовых координат х„хг,...х„и совершаем переход к новой системе декартовых же координат при помощи линейного преобразования (у,, у„...у,) = (7(х„л,... х„).

(5,64) Если линейное преобразование такого типа удовлетворяет условию ! у, '- — ', ! уг (2+ ... + ! у, (2 = ! х !2 + ! хг ~2+... + ! х„~-, (5,65) т. е. условию, что система координат является декартовой (см. выражение (5,10)), то оно обычно называется у н и т а р н ы м п р еобразованием, а соответствующая матрица — унитарной м а т р и ц е й. Если в частном случае рассмотреть только вещественное пространство и вещественные матрицы, то условие (5,65) сводится к выражению у, + уг +... + у„= х, + хг+...

-1- х„. (5,65а) 2 2 2 2 2 2 Такие в ществзнны" преобразования называются ортогональными преобразованиями, а матрицы — ортогональным и и а т р и ц а и и. Таким образом, ортогональное преобразование есть частный случай унитарного преобразования. Теперь покажем ряд важных свойств унитарных преобразований. а) Если мы имеем унитарное преобразование которому соответствует унитарная матрица а„аы...

а~„ то можно показать, что величина а», творяет следующим соотношениям: н аг„а;! =- О, (й, ! = 1, 2,... а; Й./ !), 2=! ю ~~ аы а;; = О, (й, !' = 1, 2,... а; й /: !). ! — ~ Эти выражения в компактной форме можно записать так: » а»аг б 'ч1 2=! где б»! — элементы единичной матрицы, т. е. Условие (5,70) называется условием у н и т а р ности. Согласно этому условию сумма квадратов модулей элементов каждого столбца (строки) унитарной матрицы равна единице и сумма произведений элементов некоторого столбца (строки) на величины, комплексно-сопряженные с соответствующими элемептамп другого столбца (строки) унитарной матрицы, равна нулю. б) В том случае, если все элементы унитарной матрицы вещественны (т.

е. в случае ортогональной матрицы) выражения (5,70) могут быть представлены в следующей форме: л л 1 й=!' 'а„а, =б„; . а»аг,=б:, б„=- . (5, 2) 2! ~~ ', ' Ф! Последнее условие есть условие ар тагана льности. в) Нетрудно показать, что квадрат модуля определителя унитарной матрицы равен единице. аз Е/ — ' = (/ ~йх~з ~ х~' Ем Ем, / зл(~ Е, Ем Е= (5,76) ((/х, (/у') = (х, у') (6,7) 3 Е~Е2...Е„„1, Е; = ) ф,'.Еф с(т (6,8) Ч"/ = ~ с,фп 1=.! (6, 1) Е.=(Ч,бфдт=(ф.фс1т=бп (6,9) с,. = 1 Фчг Дт. (6,2) где б,,= )ф"ф,~(т==~ ' (6,10) г) Из условия унитарности (5,70) вытекает матричное равен. ство Е/ Е/*=Е, (5,73) где Š— единичная матрица и Г/* — эрмитовская сопряженная матрица; и отсюда, следовательно, Е- =Е/*. (5,74) Таким образом обратная унитарная матрица равна эрмитовски-сопряженной с ней матрице.

Если унитарная матрица имеет вещественные элементы, то согласно (5,74) (5,75) Это значит, что обратное ортогональное преобразование Е/ — ' может быть получено из Е/ заменой строк столбцами. д) Можно показать, что произведение унитарных матриц дает унитарную матрицу. е) Другими важнейшими характерными особенностями унитарных матриц являются равенства: где х и у — любые векторы. Последние равенства, собственно говоря, и определяют унитарный характер матрицы (или преобразования). 6 6. Применение матриц в квантовой механике 1. Разложение в ряд по собственным функциям. В $ 2,6 было показано, что любая произвольная регулярная функция Ч',.

может быть разложена в ряд по ортогональным собственным функциям ф,. какого-либо оператора (например, оператора А): где коэффициенты с,. определяются по формуле: Такое разложение функции в ряд имеет особенно важное значение в том случае, когда разлагаемая функция Ч' представляет 60 собой результат применения некоторого оператора Е к одной из собственных функций ф, другого оператора Ч'/= Еф/, (6,3) Подставляя значение Ч'/ из последнего выражения в (6,2), получаем: с; = ) Ф,'. Чг с(т= ) Ф,' У4/ с(т. (6,4) Обозначим этот интеграл символом Е,: Ец — — 1 1". ЕФ/с/т=-с, (6,5) Тогда выражение (6,1) может быть представлено в виде следующей системы уравнений: л Ч'/= ~~ Е,. Ч1, (/ = 1, 2, 3,...я). (6,6) !=1 Из содержания предыдущего параграфа следует„что выражение (6,6) мы можем рассматривать, как линейное преобразование от (фм Чь, ф„) к (Ч'„Ч'„...

Ч'„). Следовательно, совокУпность величин Е,. может быть выражена в виде матрицы: называемой мат р ицей о пера то ра Е, тогда есть матричный элемент оператора Е. В случае необходимости для отличия матрицы от соответствующего оператора, она будет обозначаться жирным шрифтом. Если оператор Е представляет собой оператор идентичности или так называемый «едипичн операторэ, т. е. Х =1 Ч'~ЛЧЯт,' (6, 18) (6,11) где Ч' = 2'с,фл Ч'* = ~с~ф;. ! (6,19) (6,12) Х = ~~с;с,.~ фЬфпт, (6,20) где ) ч 1ф~~(т = Х1 1 $ ф;пт, (6,14) где 1ф,'.(.Мт=Ьл (6,15) Х;1ф.Мт=)чбд; (6,16) следовательно, В этом случае Л, =- Ьц называется матричным элементом единичного ойерачтора. Если оператор ь является самосопряженным (эрмитовским) оператором, то согласно определению (2,11) Ьц = ~ф,'.