1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (Арнольд 1978 - Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений), страница 7

Крнмннанта. Рассмотрим множества всех особых точек уравнения (1). Это множество задается двумя уравнениями Р О, др/др=о в трехмерном пространстве струй. Поэтому <вообще говоря» особые точки образуют кривую. О п р е д е л е н и е. Множество особых точек уравнения Р = О в трехмерном пространстве струй (х, у, р) называется ярииинантой уравнения. По теореме о неявной функции криминанта является гладкой кривой в трехмерном пространстве струй в окрестности каждой своей точки, в которой ранг производной отображения (х, у, р)»-ь (Р, др/др) трехмерного пространства на плоскость максимален (равен 2). В.

Днскрнминантная кривая. Оп р е деле ни е. Проекция криминангы на плоскость (х, у) параллельно р-направлению называется дисяриминантной кривой *). По теореме о неявной функции, окрестность точки крининанты диффеоморфно проектируется на плоскость (х, у) параллельно р-направлению, если криминанта в рассматриваемой точке не касается р-напра лепна. 3 а и е ч а н и е. Дискриминзнтная кривая может в этих условиях все же иметь особенности. Они происходят от того, что в одну точку дискриминаитной кривой могут проектироваться, вообще говоря, несколько точек кримин.нты. Эти особенности будут, <вообще говоря», точками самопересечения дискриминантной кривой.

Для «общего уравнения» в окрестности такой точки дискриминаитнач кривая состоит из двух ветвей, пересекающяхся под ненулевым углом. Точкам же, где крнминаита касается р-направления, соответствуют«вобщем случае» точки возврата на дискриминаитной кривой. <) Это определение-переформулировка определеняя дискриминаитной кривоц на 4 3. Моржлпвмля вор»ЛА Крлпмвпня Г(л,г,у)-Е Все более сложные особенности дискрнмннантной кривой, кроме точек самопересечения и возврате, устраняются малым шевелением уравнения. Осо. бенности же этих двух типов сохраняются при малой деформапви уравиеыия,' лишь немного смешаясь.

Г. Точки касания крпмииаиты с контактной плоскостью. В каждой точке (х, у, р) пространства струй имеется контактная плоскость йу=рйх. В частности, такая плоскость имеетсу в точках кримипаыты. Касательная к криминанте в данной точке может лежать в контактной плоскости или пересекать ее. Определение. Точка криминвнты называется товсой тмалия с яон. яюхятой ллоассстью, если касательная к криминаыте в этой точке лекйт в контактной плоскости.

Заметим, что точки касания криминанты С р-направлением являются.точками касания с контактной плоскостью. Деда»Вительно, контахтная плоскость З каждой точке содержит р-направление. Д, Регулярные особые точен. Определение. Особая точка уравнения (1) называется регулярной. если в втой точке выполнено условие гладкостя крымиыанты ') гапй((х, у, р)»-ь(Р, Р,)) 2 и кримиванта не касается контактной плоскости. П р и м е р.

Рассмотрим уравнеыие рз х. Крнмияанта задается уравненнями Р=О, х О. Это — ось у. Условие гладкости выполнено. Касательный н криминанте вектор (О, 1. 0) не лежит в контактной плоскоств йу Ойх. Следовательно, каждая особая точка ургвиения р» х регулярна. 3 а и е ч а н я е. Для уравнения «общего положения» йочти все особые точки регулярны: нерегулярные точки лежат на крнминанте дискретно. Если дая данного уравнения зто не так, то во всяком случае этого можно добиться малым шевелением уравиенкя. (Обоснование этого и предыдущих чсоображений общего положения» проводится с помощью теоремы Серда, й 10.) Е.

Теорема о нормальной (юрме. Т е о р е и а. Пусть (х», уе, р») — регулярная особая лючяа урагиеяия Р (х, у, р) О. Тогда суи(ест»уст диффгоморфизп окргстихти точки (хг, уг) плоскости (х, у) яа окрестность точки (О, 0) плоскости (Х, У), лригодяй(ий урагиениг Р=О к виду Р» Х (где Р й'г'!йХ). Пояснение. Уравнение Р 0 задает поверхность в трехмерном пространстве линейных элементов на плоскости (х, у). Диффеоморфизм плоскости переводит каждый линейный элемент В„новый линейный элемент.

Утверыщается, что часть поверхносты Р 0 вблизи регулярной особой точки можно перевести в часть поверхности Рз Х вблизи точки (Х=О, 1' О, Р О). следствие. сгмейсгяго ииямгральийх' ялигых уравнения (1) г окрестности регулярной особой точки диффгоморфчо ках сгмгйстго яригмх яа ллоосссти (х, у) семейству лолукубичгсчих парабол у=ха~э+С. 4 Укаэанный в теореме диффеоморфыэм переведет интегральные кривые уравнения (!) на плоскосш (х, у) в кнтегрзльыые крирые уравнения Рз Х на плоскости (Х, У). Этн последние интегрваьные кривйе являются полукубвческими параболамн с острием на дискримннантной кривой: йУ/йХ 'г'"Х, У- — Хзг +С.

)ь 2 3 ') Рангом (гап1») отображения называется ранг его производной, 2 В. И„ Арвсг»д 1ВП 34 СПЕЦИАЛЬНЫЕ. УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 1 )К. Доказательство теоремы о нормальной форме. «( 1', Редукция к случаю', ноеда криминантой является ось у. Пусть (хв, уе, рв) — регулярная особая точка уравнения Р(х, у, р)=0. Тогда дискриминантная кривая в окрестности точки (хе, уе) гладкаа. Рассмот. рим проекции контактных. плоскостей в точках криминанты иа плоско«ть (х, у).

Мы получим в окрестности точки (хв, у,) гладкое семейство прямых, не каса. ющихся дискриминантной кршюй. Выберем теперь локальную систему координат на плоскости (х, у) вблизи точки (х, у,) так, чтобы 1) дискриминантная кривая имела уравнение х=О; 2) линии у=сонэ[ "яересекали дискриминантную кривую по построенным толико что направлениям. Эти координаты мы будем по-прежнему обозначать через (х, у); производ- ная йу/йх по-прежнему будет обозначаться через р. Особая точка (х, ув, р ) получает теперь координаты (О, О, 0). 2'-. Анализ условий регулярности.

Криминанта, согласно нашему выбору системы координат, является осью у; на ней х=О, р=О (у=сола[). Из этого следует, что для пав!его. уравнения, записанного в введенных координатах, Р(0, у, 0) О, Рр(0, у,'0)=0. Условие регулярности крнминанты имеет теперь вид [В (Р, Р,) [, ЄЄ (так как в точках криминанты Ре — — О, Рер — 0). Далее, в точках криминанты Рр — — О. Следовательно, условие регулярности криминанты запишется в виде Р„(О, у, О) ~ О, Р„(О, у, О) ~ О, Условие некасания с контактной плоскостью выполнено автоматически.. Разложим Р в ряд Тейлора по р с остаточным членом степени 2: Р(х, у, р)=А (х, у)+рВ (х, у)лср«С(х, у, р).

Из полученных выше соотношений следует, что А(0, у) =О, В(0, у) =О. Поэтому мы можем записать А (х, у) = ха (х, у), В (х, у) = х() (х, у), где а и () — гладкие функции. Условия регулярностикриминанты имеют вид А„(0, у) ФО, С(0, у, 0) чьО, Мы можем даи«е предположить для дальнейшего, что С О, Ах~О (если это не так, сменим знаки Р и(вли х). Итак, и(0„0) ~0, С(0, 0,0) > О.

3'. Исследование квадратною уравнения. Рассмотрим соотношение Р=О как квадратное уравнение относительно р с коэффициентами С, В, А. Мы получаем в г'эг тгс,г г"~ 2С 2С где Т= — 4ссС+хйэ есть функция от (х, у. р); врн этом у(0, О, 0) = = — 4«г (О, О, 0) С (О, О, 0) ) О. Пусть, наконец, х=зэ. Тогда получаем, оставляя лишь знак «+э в «-«э, — И(Р у)+$)'уй' у р) (4' У Р) Применим к этому уравнению относительно р(4, у) теорему о неявной функ- ции. Получим решение р=йю (Зз, у), где ю гладкая функция, ы (О, О) Ф О.

4'. Дифференциальн«м уравнение для у (4). Заметим, что р йу/йх=йу/24«[4. поэтому мы получили дифференш«аль. ное уравкеяие для у[э): йу)й~ 2эю(э У), (О, О)~О. (2) НОРМДЛЬНЛЯ ЮОРМЛ КИЛВНВННЯ Рньз,з)-о Иятегральиые кривыо.ка плоскости Я, у) пересекают ось $0, имея с лини. ями у= соим касание второго порядка. Поэтому уравкеиие имеет первый вктег. рал вида 1(з, у) у — азК ш, у), где К вЂ” гладкая фуикция, К(0, 0) ~ 0 (1— коордияата точки пересечения с осью $0; К~О, тзк как ю-ь О); 5'.

Построение нормозиэующшс координат. Разложим К иа четную и иечетиую по $ часта: К(й, у)=Ее р)+$М($з, у) 3десь Ь к М вЂ” гладкие фуккции от л и у, Е(0, 0) ~0. В этих обозначениях 1н, р)=у — $»м($», Р)-взьфз. у). Введем новые переменные )г, е по формулам Е еь Вгг и»з У) ) У з»4М (з»з Р) Тогда 1= У вЂ” Е'. Рассмотрим еще Х Ез. Тогда а Х=лу Ез(к, у), )'=у — х»М (х, р). Эти формулы задают лоиальиый диффеоморфизм плоскости в окрестиости точки (О, О), так как Ь(0, 0) чьО.

Первый интеграл принимает вид 1= Р— Хз1'. Теперь (буй)з (9/4)Х, и указанная в формулировке теоремы нормальная форма получается растяжеияем одной из иоордииаткых осей. )ь 3. Замечаиия. Осиовиым моментом приведеикого доказательства является подстановка х=яз, т. е. переход к двулисткому накрытию плоскости (х, у) с вешлеяием вдоль дискримиааитиой кривой. Иэ топологических соображеиий (правда, в комплексной области) заранее ясяог что иа этом двулистиом накрытии двузиачиость р (х, у) исчезает и уравиеиие распадается иа два.

Возня с квадратиым уравнением нужна лишь для обоснования этого обстоятельства в веществ веииой области. Полученное ка накрытии уравяеиие (2) остается привести к нормальной форме диффеоморфиэмом; опускаемым с накрытия ка исходкую плоскость †ч легко достигается разложекием первого иктеграла иа четную и нечетную по $ составляющие. Первое доказательство теоремы иормалькой форме было дано (О. А. Бродским; око основано иа работе Р. Тома, который привел уравнение лишь к виду рз = хЕ (и, р).

3 а и е ч в и и е. Наше доказательство использовало представление четной функции в виде фуикцви от квадрата зргумекта. Для аиалитических фуикплй (или для формальных рядов) такое представление очевидно. В случае же гладких фуккций око иухшается в обосновании. Действительио, четную бесконечно диффереицвруемую функцию можно Рассматривать как функцию от квадрата аргумента, задаикую иа положительиой полуоси. Оиа бескоиечио дифферекцируемэ во всех точках этой полуоси, включая нуль. Требуется же представить ее как сужение иа положительную полуось функции.