1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (Арнольд 1978 - Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений), страница 4

е. гГи аре ьв — рихр т йх ха Но с(х, И)=х1БГЮ ~ ю(и), поэтому йи аю (и) — ()и бх х 5 2. Разрешение особенностей дифференциальных уравнений Здесь коротко описан один важный общематематический прием, называемый разрешением особенностей, раздутием или о-процессом. А. О-процесс. Вблизи неособой точки все векторные поля устроены просто и одинаково. Для исследования мелких деталей всевозможных математических объектов вблизи особых точек разработан специальный аппарат, имеющий, подобно микроскопу, большую разрешающую силу— т.

н. разрешение особенностей. С аналитической точки зрения речь идет о выборе таких систем координат вблизи особой точки, в которых малым перемещениям вблизи особенности соответствуют большие изменения координат. Этим свойством обладает уже полярная система координат, но переход к полярным координатам требует трансцендентных (тригонометрических) функций, поэтому алгебраически часто удобнее другая процедура — так называемый а-процесс, или раздутие особенности. 'чы начнем с одной вспомогательной конструкции. Пусть Р: Р'~,О-ь.(чР' — стандартное расслоение, определяющее проектив- 18 СПЕЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1гл. 1 ную прямую. 1Проективная прямая — это многообразие, точками которого являются прямые на плоскости, проходящие через начало координат.

Отображение р сопоставляет точке плоскости прямую, соединяющую ее с началом координат.) Рассмотрим график Г отображения р. Этот график представляет собой гладкую поверхность в прямом произведении (Р' О) хРР' (рис. 9). Вкладывая плоскость без точки в плоскость, мы можем рассматривать график как гладкую поверхность Г в прямом произведении л'хйР'.

Естественная проекция л,: Рих'лР1-~ Й' диффеоморфно отображает график Г на проколотую плоскость РЕХ,О. Рис. 1О. Рис. 9. [Чтобы яснее представить себе все это, полезно заметить, что Г локально имеет внд винтовой лестницы; в целом проективная прямая диффеоморфна окружности о', а произведение РхлР' диффеоморфно внутренности баранки.) Теорема. Замыкание графика Г отображения р в Р'ХИРА является гладкой поверхностью Г,=ГО(Ох)сР'), Поверхность Г диффеоморфна листу Мебиуса (рис. Гд).

1 Пусть (х, у) — координаты на плоскости, и=уух — аффинная локальная координата в РР'. Тогда (х, у, и) — локальная система координат в Рх'лР'. В этой системе координат Г задается уравнением у = их, х чь О, поэтому Г, в этой системе координат задается локальным уравнением у= их. Зга поверхность гладкая; она получается добавлением к части Г, покрытой нашей системой координат, попавшей туда части проективной прямой Ох(сР'. Доказательство- гладкости Г, завершается рассмотрением второй локальной системы координат (х, у, о), где х=оу. Проекция ли: Й'хЙР'-~ЯР' расслаивает Г, на прямые.

При ' полном обходе окружности ИР' соответствующая прямая на %* поворачивается на угол л; отсюда следует, что Г, — лист Мебиуса. Ь Определение. Переход от Й к Г, назйвается и-процессом с центром О, или раздутием точки О в прямую О х ЙР'. Отображение л,: Г,-+-Р называется антисигма-процессом или сжатием окружности ОхРР' в точку О. Отображение л,: Г,— Р', суженное на Г, является диффеоморфнзмом на проколотую плоскость. Поэтому всевозможные геомет- 19 РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕИ З 21 рические объекты на плоскости, имеющие особенность в точке О, переносятся на Гх. При этом особенности могут упрощаться или «разрешатьсяж крамер. Рассмотрим трн прямые, проходящие через точку О.

На Гх нм соответствуют трн поямые, пересекающне ЙР' уже в разных точках (рнс. 11). 3 а д а ч а. Рассмотрим две нрнвые, имеющие в точке О касание порядка м (напрнмер, у=о н у=х', л=2). Доказать, что на Г, нм соответствуют две крнвые, имеющие в соответствующей точке 02 касание порядка и — 1 (рнс. 12). + И Рнс. 12 Ясли после о-процесса особенности не сводятся к трансверсальным пересечениям, то можно сделать еще о-процесс в полученных особых точках, н т. д., пока все не сведется к трансверсальным пересечениям. Можно доказать, что особенности всякой алгебраической кривой' могут быть таким образом разрешены (сведены к трансверсальным пересечениям) за конечное число шагов. Рнс.

!3 3 а д а ч а. Разрешить особенность кривой ха = ра. О т в е т. См. ряс. ! 3. Б. Формулы разрешения. Практически о-процесс означает переход от координат (х, у) к координатам (х, и = у/х) там, где х ~ О, и к координатам (о=х(у, у) там, где уФО (рис. 14). Посмотрим, что происходит Рнс. 14. при этом с дифференциальным уравнением, заданным векторным полем на плоскости (х, р). Мы будем предполагать, что точка О— особая точка нашего векторного поля.

20 специлльныв хрлвнкния (гл. т Теорема. Гладкое векторное поле го с особой точкой О превращается после о-процесса в векторное поле на Г, продолясающеесге до гладкого поля на Г,. ~ Пусть го — поле, задающее систему х=Р(х, у), у=Я(х, у). В координатах (х, и=у/х) Находим х=Р(х, их), й=(О(х, их) — иР(х, их))/х. Правые части гладкие, так как Р (О, 0) = О (О, 0) = О.

Во второй системе координат (о=х!у, у) тоже получится гладкое поле. (ь Заме чан не. Может оказаться, что полученное векторное поле обращается в нуль на всей вклеенной при о-процессе прямой. В таком случае поле можно поделить на х в области первой системы координат и на у в области второй. Деление не меняет направлений векторов поля. Поэтому на Г возникает поле направлений с особыми точками, лежащими на вклеенной прямой, но не заполняющими ее "целиком.

В окрестности каждой особой точки поле направлений задается гладким векторным полем. Каждому «направлению входа» фазовых кривых исходного поля в О соответствует особая точка полученного поля, лежащая на вклеенной при о-процессе прямой 1«Р». Если эти особые точки О, устроены недостаточно просто, можно сделать в них о-процессы. Продолжая таким же образом, можно в конце концов придти к случаю, когда хотя бы одно из собственных чисел линеаризации поля в каждой особой точке отлично от нуля. Во многих случаях уже первый а-процесс позволяет разобраться в поведении фазовых или интегральных кривых вблизи особой точки. Например, интегральные кривые однородного уравнения переходят при наших заменах координат (х, у) (х, и = у/х) в интегральные кривые уравнений с разделяющимися переменными.

В. Пример. Исследоваиие маятиика с трением. Проиллюстрируем метод иа тривиальном примере линейного уравнения. Уравнение маятника с коэффициентом трения й имеет вид Х-~-йх-~-х=О. Уравнение эквивалентно системе с фазовой плоскостью (х, у): у = — йу — х. хч= у Мы приходим к однородному уравнению — = — й -1-— вр «х х Согласно общей теории, после о-процесса, т. е. в системе координат (х, и у!х), переменные должны разделяться. Действительно,— Ви из+ли+! . Вводя Вх пх еще 1п,'х(=х, получаем РАЗРЕШЕНИЯ ОСОБЕННОСТЕИ Исследуем интегральные кривые этого уравнения прн различных знзчениах коэффициента й О. График функции 7=и+ — — гипербола (рис. 15) Следовательно, график функции — й — /(и) имеет вид, изображенный на рис.

16 Рис. 15. Рис. 16. ди Соответственно, интегральные кривые уравнения — = — й — 7 (и) будут иметь. бг вид, нзображеиный на рис. 17. Возршцаясь на фазовую плоскость (х, р), полу-- чаем рис. 18. Рис. 17. Рис. 18. Итак, при малых значениях коэффициента трения (О~А(2) маятник совершает бесконечное число колебаний, а при А гв2 направление движения: маятника меняется не более одного раза. Задача. построить фазовые кривые уравнений г аг" и 1=ага, г гиС.

!ГЛ. 1 СПЕЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Г. Пример. Период малых колебаний. Т е о р е м а. Предположим, 'что всв фазавмв кривив, проходящие черве ближне к положению равновесия О пинки. замкнутгг. Тогда предел периода колебаний вблизи О при стремлении амплитуды колебаний к О равен периоду колебаний в лингаризованнвй системе.

ч( После а-процесса замкнутые фазовые кривые. обходящие один раз вокруг О, перейдут в кривые на листе Мебиуса, замыкающиеся после двчх оборотов; стремление амплитуды колебаний к О соответствует стремлению фазовой кривой на листе Мебиуса к вклеиваемой при а-процессе проективной прямой (к средней линни листа Мебиуса). По теореме о непрерывной зависимости решения от начального условия предел периода колеоаний яри стремлении ампли*уды к О равен удвоенному периоду обращения по вклеенной прямой РРг в системе, полученной при и-процессе.

Но скорости движения по вклеенной прямой для данного поля и для его линеаризации одинаковы (см. уравнение для й в п. Б). Легко проверить, что все фазовые кривые линеаризованного уравнения замкнуты. Этн замкнутые мривые в линейноа системе проходятся за одинаковое время, так как линейное векторное поле переходит в себя при растяжениях фазовой плоскости.

Следовательно, предел периода колебаний в исходной системе равен пределу периода колебаний в линеаризованнгй системе и значит равен просто периоду колебаний в линеаризованной системе. ~ 3 а и е ч а н и е. Предел, о котором шла речь, называется периодом малых «олгбаний. 3 ад а ч а. Вычислить период малых колебаний маятника Х= — яп х вблизи аоложения равновесия х=о. 3 3. Уравнения, не разрешенные относительно производных В этом параграфе основные понятия теории дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных, рассматриваются с точки зрения общей теории особенностей гладких отображений и геометрии пространства струй. А. Основные определения. Речь идет об уравнении с (х, у, р) = О, Где р=йу/йх.

П р и м е р ы. 1) рг=к; 2) рг=у; 3) у=рх+рг. Трехмерное пространство с координатами (х, у, р) называется лтространстйом 1-струй функций у(х). (Две гладкие функции у„у, имеют в точке х, одинаковую й-струю, если ~ут(х) — у,(х) ~= =о (~ х — х, ~е); таким образом, 1-струя функции определяется выбором точки х, выбором значения у функции в этой точке и выбором значения р производной.] Уравнение (1) задает в пространстве струй поверхность.

Оказывается, на этой поверхности возникает поле направлений. Вот :как оно строится, Рассмотрим какую-либо точку в пространстве струй. Компоненты вектора $, приложенного в этой точке, будем обозначать йх(й), йу(й), йр(й). Таким образом, йх, йу и йр — это Уилвнвния Р(ююач о какие-то мистические бесконечно-малые величины, а вполне. определенные линейные функции от вектора $.