1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (Арнольд 1978 - Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений), страница 3

4!1 инВАРиАнтные уРАВНения Б. Однородные уравнения, Определение. Поле направлений на плоскости без точки О называется однородным, если оно инвариантно относительно всех растяжений ух(х, у)=(ехх, еху), Хан>к. «еу у Дифференциальное уравнением о (х, у) называется однородным, если его поле направлений однородно (рис. 3). Иными словами, направления поля во всех точках каждого луча, выходящего из начала О лг координат, должны быть параллельны: Рис. 3. о(еьх, еху) о(х, у). ' и р и м е р.

Функция г называется однородной степени е, если г (ехх, еху) Рн же"еГ'(х, у). Примером является любая форма (однородный многочлеи) степени е. пусть Р и >г — две формы степени е ог х и у. Дифференциальное уравнение х=Р, у=>г задается векторным полем на плоскости. Соответствующее поле направлений в области Р чь О является полем направлений однородного уравнения «(у >г еу .+ьу еу уз «(х Р— — (например, — = — > — — — — и т. п.) ' >(х сх+>(у ' Ех ха+уз 3 а м е ч а н и е. Областью определения однородного поля не обязательно должна быть вся плоскость без точки Π— однородные поля можно рассматривать в любой однородной (* инвариантной относительно растяжений) области, например в угле с вершиной О и т.

п. Те о р ем а. Интегральная кривая однородного уравнения под действием растяжении дх переходит в интегральную кривую того же уравнения. Таким образом, для исследования одно- родного уравнения достаточно исследовать ' ух по одной интегральной кривой в каждом >' " Доказательство получается непос- Рис. 4. редственным применением теоремы п. А. задача, Докажите, что фазовые кривые системы А=Р, у=(), где Р и >) формы степени е, получаются друг из друга при помощи гомотетий (рис. 4), Если кжая-либо из зтих кривых замкнута и проходится за время Т, то при растяжении уь из нее получится замкнутая фазовая кривая с периодом обращения — .

Т ах М х>' 1ч спнцилльныи уиквниния !гл. з В. Квазиоднородные уравнения и чсвображения размерностейь. Зафиксируем вещественные числа сз и р и рассмотрим семейство растяжений в разное число раз по разным направлениям на У~ плоскости д'(х, у) =(е"'х, е"'у). (!) Заметим, что формула (1) задает однопараметрическую группу линейных преобразований плоскости (рис. 5). Определение. Функция называется квазиоднородной степени й, если ) (у'(х, у)) =— е'1(х, у).

Рис. 5. П р имер. Если се = б = 1, то получаются обычные однородные функции степени й. Квазиоднородные степени складываются при умножении функций. Они называются также весами. Таким образом, х имеет вес а, у — вес р, х'у — вес 2а+р и т. д. Все квазиоднородные одночлены фиксирован- р ной степени легко увидеть на следующей диаграмме Ньютона (рис. б). Будем изображать одночлен х»у» точкой (р, д) на квадранте целочисленной решетки. Тогда показатели всех одночленов степени с( — это целые точки на отрезке с уравнением й =ар+ ру Рис. 6. на плоскости показателей (р, д).

Задача. Подобрать веса так, чтобы функция хз+хуз была квазиоднородной. Определение. Дифференциальное уравнение — „=о(х, у) ву вх называется квазиоднородным (с весами а, Р), если поле направлений о инвариантно относительно растяжений (1). Из общей теоремы и. А о симметриях вытекает Теорема. Интегральные кривые квазиоднородного уравнения получаются друг из друга под действием растяжений (1).. Задача. Докажите, что функция о(х, р) задает квазиоднородное дифференциальное уравнение (с весами (и, р)), если и только если она квазиоднородная степени В=р — и. 3 а м е ч а н и е. Приведенные определения и теоремы легко переносятся на случай большего двух числа переменных и надиф.

ференциальные уравнения порядка выше 1. В частности, легко доказывается Гб ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теорема. Пусть на плоскости (х, у) дана кривая у: у=у(х), и в ?почке (хо, уо) имеем йау/йха = г"'. Тогда для кривой й у в соответствующей точке будет — Р = Е1Р-ав1 Р Иными словами, йоу(йха преобразуется.при преобразовании (!) как у(ха, чем и объясняется удобство обозначения йау/дха. Задача. Докажите, что если частица в силовом поле с однородной сте. пени е силой проходит траекторию Г за время Т. то зта же частица пройдет гомотетичную траекторию ХГ за время ) 11 — а1!з Т Езх Решение..Уравнение Ньютона — Р(х), в иотором Р однородна сге.

его пени е, переходит в себя при подходящих преобразованиях (1). Именно, длн етого нужно взять веса и(для х) и р (для Г) так, чтобы а — 2р=ав. Итак, р — со. Позтому растяжению х' )ьт соответствует Т'=Х Т. 1 — б 11 — ВНЗ 2 Задач а. Докажите третий закон Кеплера: квадраты времен прохожде- ния подобных траекторий в поле тяготения относятся как кубы линейных размеров. Решение. Из решения предыдущей задачи при Е= — 2 (закон всемир- ного тяготания) получаем Т'=Аз?з Т. Задача. Выясните, как зависит от амплитуды период колебаний в слу- чае возвращающей силы, пропорциональной отклонению (линейный осциллятор) и кубу отклонения (мягкая сила).

О т в е т. Для линейного маятника период не зависит от амплитуды, а для мягкого обратно проворционалеи амплитуде. Задача. Известно, что волчок с вертикальной осью имеет критическую угловую скорость: если угловая скорость больше критической, волчок стоит вертикально устойчиво, а если меньше † падает.

Как изменится критическая угловая скорость, если перенести волчок на Луну, где ускорение силы тяжести в шесть раз меньше земного? Ответ: Уменьшится в )'6 раз, Г. Применения однопараметрических групп симметрий к понижению порядка. Теорема. Если известна сднопараметрическая группа симметрий поля направлений в И", то задача интегрирования соответствующего дифференциального уравнения сводится к задаче интегрирования уравнения в гс В частности, если известна однопараметрическая группа симметрий паля направлений на плоскости, то пютеетспшующее уравнение — '= ( (х, у) интегрируется явно. ее.

ех 4 Пусть (йл) — данная группа симметрий. Рассмотрим орбиты (й,"х) потока (д'~. Можно (по меньшей мере локально) определить (и — 1)-мерное пространство орбит (фактор-пространство по действию й') и отображение р исходного пространства на фактор-прост- СПЕЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. ! ранство (орбиты потока (йг*) р переводит в точки).

Оказывается, исходное поле направлений переходит при отображении р в некоторое новое поле направлений в (п — 1)-мерном пространстве орбит; его только и остается проинтегрировать. Ь Точнее говоря, рассмотрим какую-нибудь точку хз зи !ч"; мы предполагаем, что проходящая через точку хз орбита группы симметрий (яг) является кривой о. Проведем через точку хз какую-либо (л — !)-мерную локальную трансверсаль В к кривой а. В окрестности точки хз введем локальную систему координат (з, и), где паре г ш 1ч, и зм В отвечает точка я'и исходного пространства. Тогда отображение и проектирова- ~Е ния иа пространство орбит и действие тт группы симметрий яг задаются в окрестности точки хз формулами р(з, и)=и, йг'(гз, и)=(г,+зг, и) (точки поверхности В параметризуют лоРис.

7. кальные орбиты). Заметим, что если группа яг явно известна, то координаты (з, и) можно явно найти. Запишем в этих координатах наше исходное дифференциальное уравнение. Если наше поле направлений в точке хз не касается поверхности 3 (чего всегда можно добиться выбором В), то в окрестности этой точки наше уравнение принимает внд аи г(г — о(з, и). При этом группа симметрий (яг) имеет вид сдвигов вдоль осн г, поэ и фу ция э от э яг зависит. Векторное пале о(и) на В определяет на этой ,ь ях Е то у (» — 1)-мерной поверхности поле направлений; зная его интегральные кривые, мы найдем (квадратурой) решения уравнения — =в(и), а значит — антеграль- дт ные кривые исяодного уравнения. В частном случае л=2 выбор координат (г, и) сразу приводит к интегрируемому уравнению аиД(э=о (и).

Замечание. Практически часто бывает «добив вместо координаты з наг использовать подходящую функцию г переменно з. В такой системе ко уравнение, допускающее группу симметрий (я'), будет записываться коордив виде уравнения ои бг — = с (и) ) (г) (в случае л=2 — в виде уравнения с разделяющимися переменными). тт ример. Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными в полярной системе координат, а также в системе координат и=у/х, г=х (рис. 8а). Здесь (Е)) — однопараметрическая группа растяжений в.

г' раз; В для полярной системы- окружность ха+уз= 1, а для второй системы координат— прямая х = 1; г = е'. 3 а д а ч а. В каких координатах интегрируется явно квазиоднороднов уравнение оу ах — и (х, у) РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ где вес х равен а, вес р равен () (тзк что в — кзззноднороднзя функция степени р — сс).

решение. Можно взять и=Ее/ха, г=х (в области, где х~е). См. Рпс. 8б. сь) Рпс. 8; 3 в де ч в. Вмпнсзть явно уравнение с разделяющимися переменными, н которому приводится уравнение предыдущей задачи в коордпнвтвк (и, г). Решение. Ее=ила, поэтому ауи ьйу=ха ил+риза зйх. Если йу=ийх, то ауи зпйх ха йи+Риха-зйх, т.