1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (Арнольд 1978 - Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений), страница 10

Как зто ни удивительно, приведенные здесь грубые эвристические соображеняя, основанные на подсчете числа произвольных функций, удалось превратить в точно формулируемые и доказанные теоремы (выходящие, однако, за рамки нзщего курса). К. Связанные состояния. Рассмотрим теперь потенциал в виде финитной ямы (У (х) =.О„ с1(со) =О). Говорят, что частица находится в яме, если те-ь О при х-ь.+-Оо (рис. 37). Ясно, что частица может находиться в яме лишь если ее энергия Е отрицательна.'Левее и правее ямы решение имеет вид линейной комбинации экспонент е"", е-"', где м' = = — Е, м.х О.

Следовательно, условие нахождения частицы в яме состоит в том, что левее ямы обращается в нуль коэффициент при растущей влево экспоненте, а правее ямы — при растущей вправо. .Поскольку !А!э+~В!з !Аэ)з+)Вз(з=*! и АВз+ВАз=О, матрица В унитарна. ~ СПЕЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ! Решение с такими свойствами существует не при всяком отрицательном значении энергии. Оказывается', если яма достаточно глубока и широка, то существует конечное число отрицательных значений энергии Е, при которых частица может стационарно находиться в яме; этих значет ний тем больше, чем глубже и шире яма. Рис. 88 Ри. 87 Соатветствуюшие значения Е называются стиг(ионарнылги уровнллги, а волновые функции Чг, загпухаюи(ие при х~+ со, называются лаязанными состояниями (в случае, если яма не финитна, требуется ~(Ч'~зг(х(оо). 3 з дача.

Определить стационарные уровни энергии в прямоугольной яме глубины Уе, расположенной между х=о и х=а (рис. 38). Ответ. Е=4$з/аз — ()з где $ — корни уравнений ( ! т~, Мп~-~тй (т= — р 47(7з) и (за$) О для первого уравнения, (ей (О для второго). 3 ад а ч а. Докажите, что волновые функции Ч.'р соответствующие связанным состояниям с разными уровнями энергии, ортогональны: )чг,тгз ба=о, Задач а'. Как связаны стационарные уровни энергии связанных состоя.

иий .и поляка йьматрицы на мнимой оси й? 5 6. Геометрия дифференциального уравнения второго порядка и геометрия пары полей направлений в трехмерном пространстве Здесь обсуждаются локальные свойства решений дифференциального уравнения второго порядка, которые являются геометрическими т. е. инвариант- ными относительно диффеоморфизмов плоскости зависимой и независимой переменных. С каждым дифференциальным уравнением второго порядка связана пара полей направлений в трехмерном пространстве. Задача локальной классификации уравнений второго порядка с точностью до диффеоморфиэмов плоскости оказывается эквивалентной задаче локальной классификации пар полей направлений общего положения в трехмерном пространстве с точностью до диффеоморфиэмов пространства..Ниже рассматриваются инварианты и анормальные формы» в этих двух эквивалентных задачах.

47 ГЕОМЕТРИЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА $ 61 А. Конфигурационные свойства решений лияейяых уравнений. Графики решений уравнения йэу/йье О (прямые) удовлетворяют конфигурационным теоремам (Панна, Дезарга и т. д.) проективной геометрии. Т е о р е и а. Семейство графинов всех решений любого линейного однородного уравнения второго порядка йэу/йхэ+а (х) йу/йх+ Ь (х) у=О локально (в окрестности любой точки х=хь) диффеоморфно ь) семейству гра. финов всех решений просгпейшего уравнения йэу/йхэ=О.

С л е д с т в и е. Конфигурационные пыоремы проехтивной геометрии выполняются (мкально) для графиков решений любого линейного уравнения второго порядка, например, для семейств кривых у=А зшх+В сов х или у= Ае"-1-Ве ". ~ Рассмотрим решение уь не обращающееся в нуль в точке хь, и другое решение, у„обращающееся в О в точке хэ, но не равное нулю тождест. венно. Формулы г =у/уг Х=у /у' задают искомый диффеоморфизм. ш Замечание 1.

Координаты (Х, у) определеным точностью до дробно- линейного преобразования (которому они подвергаются при замене решений ус и уэ их линейными комбинациями). В частности, координата Х задает на осн х структуру локально проективного одномерного многообразия (атлас, в котором функции перехода в проективные преобразования прямой, т. е. дробно линейные функции.) Точно так же на плоскости (х, у) линейное однородное уравнение второго порядка задает структуру локально проектнвной плоскости.

3 а м е ч а н и е 2. Эквивалентностью локально проективных многообразий называется диффеоморфизм. переводящий одну локально проективную структуру в другую. 3 а д а ч а. Перечислить все различные структуры локально проективного многообразия с точностью до эквивалентности а) на прямой, б) на окружности. Указание. Все локально преективные 'структуры на прямой индуцнрованы отображением в проективвую прямую (т. е. в окружность) с не обращающейся в нуль производной; число прообразов точки окружности при этом отображении †инвариа структуры. Двулистное накрытие проективной прямой задает на окружности структуру локально проективного многообразия, не эквивалентную структуре проективнои прямой. Однако не всякая локально проективная структура на окружности индуцнруегся из структуры нроективной прямой.

Классификация локально п сективных структур на окружноети связана с классификацией уравнений алла (линейных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами). Уже уравнения с постоянными коэффициентами задают структуры, не индуцируемые с проективной прямой. Б. Нормаяьная форма квадратичной части уравнения второго порядка в окрестноетя данного решення. Рассмотрим теперь произвольное нелинейное уравнение второго порядка йэу/йхэ=Ф (х, у, йу/йх), Мы собираемся исследовать геометрию двупараметрического семейства кривых, заданного этим уравнением на плоскости (х, у).

В частиостя, нзс интересует вопрос, выполняются ли в этом семействе конфиграционные теоремы, и можно ли зто семейство выпрямить (превратить в семеистзо прямых) подхо- *) Т. е. существует диффеоморфиэм окресэцости пряыой х хэ иа' плоскости (х, у), переаодшций графики решений в прямые. чй СПЕЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 1 дящим диффеоморфизмом плоскости. /Ь(ы увидим, что такое выпрямление возможно не всегда, и укажем инварианты, измео" чщие еинфинитезнмальную недезарговость» (нарушение конфигурационных творе...), Теорема. Всякое дифференииальное уравнениг второго порядка в окрестности каждого линейном» элемента (х, у, р) плосиюти зависимой и независимой переменной можегп быть приведено локальным диффеоморфизмом втой плоскости к виду йзу/сиз = А (х) у»-)- О (! у (з+ ( р )з) р йу /йх в окрестности элемента (х=б, у=О, р=б). 4 1'.

Уничпюзыние линейных членов. Данный линейный элемент определяет единственное решение, график которого можно принять за ось х. Линеаризуем данное уравнение в окрестности этого решения. Полученное линейное уравнение, по теореме п. А, можно локально выпрямить (привести к виду йзу/йх»=О) подходящим выбором ь) системы координат.

В втой системе координат наше уравнение второго порт!на нмеет правую часть Ф (х, у, р)„ которая обращается в нуль при у=О, р=б вместе с производными по у и йо р. Таким образом, в рассматриваемой системе координат разложение Ф в ряд Тейлора по у и р начинается с членов не ниже второй степени: йзу/йхз А (х) уз+В (х) ур+С(х) рз+0(!у !з+! р >з). 2'. /Тргобразоеание независимой переменной. Рассмотрим локальный диффеоморфизм плоскости (х, у), заданный подста. нонкой х Р(Х, У), у У (переводящий точку с координатами (х, у) в точку с ноординатами (Х, У)). Л е и и а. в»равнение дзу/йхе=Ф (х, у, р), р йу/йх, преобразуе/пся указанной подстановкой в уравнение йзУ/йХз Ф (Х, У, Р), Р йУ/йХ, а)в Аз р' .( 2рр' ! Рзр Е |».

г. »|- »[г, ».»м» — —, — »! т)жь /ь Р+РРУ, штрих обозначает частную проитодную по Х, ареументами Р и пртюеодных Р являются Х и У. 4 Пусть у и(х) — решение исходного ураввения, У (/(Х)-его образ, . Тогда й(/ Ли(, и! Р Р- . --.-1 (Р+РРУ), йХ дх !!р' " ' йх!Ргх, Гг(Х» й ' Следовательно, ИУ йУйх~ йз(/ й йи ! + А Р +2РУР+РУУР»+РУ йэи') Р/„ йз(/ ! й Ьгх,исх» й'! Далее, +ф~ - й ~ й-Ф(Р(Х, и(Х)), (У(Х), Р/й)й.

)Ргд,и<Х» йк» Р ° ') Д,зя дальнейшего полезно замапгть, что если правая часть Ф была многочдеиом степени п~! по аргументу р, то и в новых координатах, построенных в п. А, будет выполнено то же свойспю. е 6) ГЕОМЕТРИЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Итак, ~- .")" РРУ ) йгП Р ~) йхз Ф(" П Р)й)й'+Л ("+2'Р +' у) ° откуда и вытекает приведенная выше формула. ~ Из доказанной формулы непосредственно вытекает Следствие 1. Пусть Ф О.

Тогда Ф вЂ” мяогоегги иг гьииг третьей степени относшпггьна Р. Следствие 2. Пусть Ф вЂ” мяогочгги иг гьаиг тргтьгй степени относипыльно р. Тогда Ф вЂ” миоижгги нг выше третьей гтглгни относительно Р. Замечание. )Ыногочлены степени не выше п)4 по р при нашем преобразовании Ф ь-ь Ф уже не переходят в многочлены относительно Р.

Действи. тельно, йг(Р)а)и — не многочлен относительно Р прн л ) 3. Следствие 3. Дифференциальное урагигииг гторого порядка задает иа графике каждого своего решения структуру локальной лроехтигной прямой и ла нормальном расслоении к графику — структуру локально лргмитивиай плоскости. 4 Рассмотрим уравнение в варнэцнях вдоль данного решения. Это †линейное однородное уравнение второго порядка, поэтому на плоскости зависимой н независимой переменной возникает структура локально проективной плоскости, а вдоль исходного решения †структу локально проективной прямой (см.

и. А). В обозначениях леммы уравнение. в вариациях имеет внд йзу/йлз=ФО где Ф=Фз+Фз+...— разложение в ряд по степеням у и р. Рассмотрим теперь нормальное расслоение графика рассматриваемого решения на плоскости. Нормальное пространство подмногообразия в некоторой его точке есть фактор-пространство касательного пространства к обьемлющему многообразию по модулю касательного пространства к подмногробразию в рассматриваемой точке. Нормальное расслоение подмногообразня есть объединение нормальных пространств во всех точках подмяогообразия (снабженное естест.

венной проекцией на подмногообразие). Решение уравнения в вариациях можно считать принимающими значения в нормальном расслоении графика рассматриваемого решения исходного ура в пенн я. В свмом деле, уравнение в вариациях определялось при помощи системы координат (х, у), в которой ось х была графиком рассматриваемого решения. Значение решеняп уравнения в вариациях в точке †э касательный к объемлющей плоскости вектор у.направления в рассматриваемой точке оси к.