1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (Арнольд 1978 - Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений), страница 9

е. А вещественно. ~ Следствие. Если матрица оператора в вещественном базисе (е„е,) вещественная унимодулярная, то матрица зтоео опералюра в «омпле«сно сопряженном базисе (Л=е,+(е„~,=е,— (е,) специальная (1, 1)-унитарная, и обратно. ~ Эрмитов скалярный квадрат вектора гД,+гД, выражаегсв через координаты (г„е,) в базисе (~,, Ц по формуле (г, г) = = ~г,~' — )е,!' (см.

лемму). Поэтому (матрица А в базисе (е„е,) вещественна и унимодулярна) с=„» оса (А ~ 6Ь (2 й) П 8Ь (2, С)) с=э с=о(А е=Я1(1, 1))с=з(матрица А в базисе (1„Ц (1,!)-уни- тарна и уииьюдулярна). > Д. Геометрическое отступление: 81)(1, 1) и геометрия Лобачевского. Группы матриц ЯЬ(2, Р) и Я)(1, 1) следующим образом связаны с геометрией Лобачевского (рнс. 31). Вещественная унимодулярная матрица второю порядка определяет дробно-линейное преобразование г «(аз+ Ь)/(се+ б), переводящее 'в себя верхнюю полуплоскость. Это преобразование является движением плоскости Лобачевского, представленной в виде Рис. ЗЬ Рис. 32. верхней полуплоскости. Все движения плоскости Лобачевского получаются таким способом.

Группа движений плоскости Лобачевского изоморфна Я. (2, Р)!.+ Е. Унимодуляриая (1, 1)-уиитарная матрица второго порядка определяет дробно-линейное преобразование, переводящее в себя единичный круг. Действительно, конус (г, !'(( г, (' при (1, 1)- унитарном унимодулярном преобразовании йереходит в себя. При естественном отображении С'~ О-«СР', (е„еи) ~ — «т= е,/е, этот конус переходит в единичный круг ~ в ~ (1, а линейные преобразования ай)ипереходят в дробно-линейные преобразования СР'(рис.

32). 41 СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Получающиеся из матриц из Я)(1, 1) дробно-линейные преобразования единичного круга в себя являются движениями плоскости Лобачевского, представленной как внутренность единичного круга. Все движения плоскости Лобачевского получаются таким способом. Группа движений плоскости Лобачевского изоморфна Я1(1, 1)/ Е.

Группы матриц Я.(2, )т) и Я)(1, 1) изоморфны: оин получаются из одной и той же группы операторов. Матрицы этих операторов в вещественном базисе (е„ее) принадлежат Я. (2, )т), а в комплексно сопряженном базисе ((т, )е) принадлежат Я.)(1, 1). Переход от Я. (2, Й) к Я) (1, 1) соответствует переходу от вещественного базиса к комплексно сопряженному и от модели плоскости Лобачевского на верхней полуплоскости к модели в единичном круге.

3 ада ч а. Докажите, что группа Я. (2, (т) гомеоморфна поиноториго Зт тг Х 1га (анугренноети баранки). Е. Свойства оператора вещественной монодромнн. Вернемся к оператору монодромии уравнения Шредингера (1). Кроме пространств 1та и Щ решений уравнения (1) и уравнения свободной частицы (2), рассмотрим еще фазозую плоскоспга РЪ: Точки фазовой плоскости — это пары вещественных чисел (Ч', Ч" ). Зафиксируем х ен Й.

Рассмотрим линейный оператор, сопостайляющий каждому (вещественному) решению уравнения (1) его начальное условие в точке х В "г Р'-.РФ> Ч' -(Чг(х), Чга(х)). Этот оператор — изоморфизм. Изоморфизм й,"в = В'а (В" )-' называется фазпвегм преобразоваггием опт х, к х,. Для уравнения свободной частицы (2) оператор (решение~ фазовая точка) Ва'. КО 1 ЙФ определяется таким же образом. В зтнх обозначениях вещественный оператор монодромии М определяется коммутативной диаграммой изоморфизмов. Ф специлльнып уРАВнения !гл.

т Здесь л означает точку х левее носителя, а п — правее. От выбора этих точек оператор М, не зависит. Те о р е м а. Определитель оператора монодромии уравнения Шредингера равен 1. 4 В пространстве вещественных состояний свободной частицы (чо выбран базис е, созйх, е,=з(пйх. В вещественном фазовом пространстве )чш выбраны координаты Ч', Ч'„и, следовательно, также отмечен базис.

Матрица оператора Во имеет в этом базисе вид ( — Ь Мп йх Ь соа Ьх) Следовательно, с)е1Во =й не зависит от х. В частности, определители левого и правого вертикальных изоморфизмов в диаграмме одинаковы. Следовательно бе! М = бе!а," (диаграмма коммутативна). Но фазовый поток сохраняет площади по теореме Лиувилля (в уравнение Шредингера не входит член с Ч'„). Значит бе1дв=''1. Следовательно, Йе1М =1. > Ж. Свойства оператора комплексной монодромии. 4 Доказательство теоремы об (1, 1)-унитарности из п.

В. Комплексный оператор монодромии есть ком плексификации вещественного (см. п. В). Матрица оперртора монодромии в вещественном базисе (е, езр принадлежит З1 (2, И) (см. п. Е). Следовательно, матрица этого оператора в комплексно сопряженном базисе () = ех+ (е„ув =е, — ге р принадлежит Я) (1, 1) (см. п. Г, следствие).

Ь Задача. Доказать, что у уравнения Шредингера (!) не может быть. ненулевого решения, совпадающего с ае'"" левее носителя и с Ье м» правее носителя (частица не может приходить, не уходя). Р е ш е н и е. Оператор монодромии сохраняет (1, 1)-зрмитов квадрат !а!1з — )аз!з. но (оегь», оеьь»)=(а)з, (ье '"», ье м")= — (ь',з (см.

лемму п. Г). Следовательно, )а ,'з= — !Ь,е, т. е. о=Ь=О. 3. Коэффициенты прохождения и отражения. О п р е д е л е н и е. Говорят, что частица, пришедшая слева, с импульсом й) 0 прошла барьер с коэффициентом прохождении !А ~з и коэффициентом отражения (В ~в, если уравнение Шредингера (1), в котором Е=йз„имеет решение Ч', равное и!ь»+ Ве-'ь» левее барьера, Аеш" правее барьера (рис.

ЗЗ). Лемма. Решение Чг и комплексные постоянные А и В, удовлепморяюгцие описанным условиям, суи(ествуют и единственны при людом й>0. стАционАРное уРАВнение шРедингеРА 4 Рассмотрим уходящую вправо частицу (решение, равное в'"' правее барьера). Слева от барьера это решение, как и любое другое, имеет вид линейной комбинации е'"" и е-зз", нричем коэффициент при в'"" отличен от нуля ввиду .(1,1)-унитарности оператора монодромин . у (см.

задачу в п. Ж). / Разделив на этот отличный от нуля е К коэффициент, получаем требуемое резпеиие. Итак, коэффициенты А и В опреде- Рис. 33. .лены однозначно. Ь 3 а д а ч а. Доказать, что коэффициент прохождения всегда отличен от муля. Ре шея яе. Если Чгыо справа от барьера, то Ч.'еео и слева. Теорема. Сумма ковффициентов прохождения и отражения ,равна единице. < Лемма. Матрица оператора монодромии в базисе (/х =вы", /з=в-за") выРажаетсЯ чеРез номплвнсныв нввффиЦивнты А и В по формуле (М) ( 1/А В/А) 4 По определению коэффициентов А и В, оператор монодромии действует так, что /з+В/з А/,.

Поскольку оператор монодромин вещественный, мй можем найти и образ комплексно сопряженного вектора. Учитывая, что /, =/„получаем /з+ В)', А/з. Деля на А ~0 и А чь0, получаем матрицу обратного к монодромии оператора (В/А 1/А ) ' (Чтобы обратить уиимодулярнузо матрицу второго порядка, достаточно поменять местами диагональные элементы и изменить знаки недиагональных: (о Ь)( Л вЂ” Ь) (ло — Ьз О ) 1 Условия М вне(1,1) дают ЦА(з — !В'ЦА!з=1.

й' Задача. Вычислить коэффициенты прохождения и отражения для потенциала, Равного константе 1/е пРи О~я(а и нУлю в остальных местах (Рис. 34). Ответ. 1 и емп от АЕ (Š— 1/з) где Е=дз, Š— Г/з=д1 (проходя над барьером, частица замедляется', поэтому )гл. т СПЕЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ влотиость вероятности найти ее в пределах барьера больше, чем вне). Прм больших Е козффнциевт отражения стремится к О, и» 1в р- 4е(е — 'ц„~н'д Если энергия частицы меньше высотм барьера, то коэффициент .прахом» девиа зксвовевциально мал: 4А»мз где Е й«, с)е-Е н» (рнс. 35).

Хотя коэффициент прохождения через высокий и широкйй барьер мал, он все же исегда отличен от нуля («туннельный Рнс. 35 Рис. 34 аф$ектк квантовая частица «вроходит под барьерам», непреодолимым длм классической). И. Матрица рассеяния, Наряду с прохождением через барьер слева направо, можно рассматривать прохождение справа налево. Соответствующее рещение Ч', равно У г е-""+ Вфла правее барьера, А,е-ш' левее барьера (рис. 36).. Определение.

Матриг(ей рассеяммж л (или 5-матрицей) называется матрица Рис. 36, 5=( ), 3 а меч ан не. Исходя из стационарного уравнения Шредингера, нелегко понять, какой оператор соответствует этой матрице и почему эта матрица обладает замечательными свойствами, которые мы сей- час докажем. Обьяснение состоит в том, что 5 «преобразует прихо- дящие частицы в уходящие» вЂ” этим словам можно придать точный смысл, если рассмотреть нестационарное уравнение (чего мы делать не будем). СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА э в! Теорема. Матрица рассеяния унитарна, причем наэ(й(йициенпгы прохождения слева направо и справа налево одинаковы: А А,.

4 Оператор монодромии действует так: АДэ 'У +ВД, АэУ 'У,+ Бгуз. (М) ~ 1/Лэ Вз/Аз), Следовательно Сравнивая с вычисленной в лемме п. 3 матрицей, получаем А,=А, В, — ВА/А. Замечание. Мы рассматризалв уравнение Шредингера (1) с вещественным значением спектрального параметра Е йэ. Очень полезным оказывается также рассмотревие комплексных значений й. При этом оказывается, что свойства унитарности н симметрив матрицы рассеяния имеют место в при комплексных А.

Кроме того, В обладает свойством «вещественностиэ, В ( — А) = 8 (й), и «аналитичностим А(А) является- предельным значением фуйкцни, аналитической в верхней полуплоскости 1щй)0, имеющей конечное число полюсов иа мнимой оси. Поскольку коэффициенты прохождения и отражения можно измерять, возникает т. н. обратная задача теории рассеяния об определении потенциала У по матрице рассеяния В (А).

Потенциал (! задается вещественной функцией на вещественной прямой или двумя вещественными функциями на полупрямой. Коэффициенты А и В— это две комплексные функции на полуоси й ) О, т. е. четыре вещественные функции на полуоси. Условие унитарности )А)з+(В!з 1 снижает число вещественных функций на полуоси с четырех до трех. Поскольку 3) 2, можно ожидать, что не всякая пара А, В с условием ! А !з+! В ~з= ! соответствует потенциалу; для восстановления потенциала по А и В нужно наложить на эти коэффициенты еще одно условие. Таким условием и оказывается условие аналитичности.