1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (Арнольд 1978 - Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений), страница 72

11) Найти собственные числа и векторы оператора монодромии для уравнения в вариациях вдоль решения с начальным условием х=и/2, х=О [16). 12) Доказать, что уравнение (Ц имеет 2и-периодическое решение, гладко зависящее от з и обращающееся в х=п при е=О [6]. 13) Найти производную этого решения по е прн з=О [6]. Ш. Рассмотрим уравнение и,+ии„= — мих. 14) Написать уравнение характеристик [2). 15) Найти наибольшее значение 6 прн котором решение задачи Коши с и[, 0 продолжается на [О, О [8].

Вариант 2. 1. Пусть векторное поле в трехмерном пространстве имеет особую точку ,нуль, принем одно из собственных чисел особой точки равно нулю, а два другие чисто мнимы. Ц Привести к нормальной форме члены степени 1 разложения компонент поля в ряд Тейлора в нуле ]Ц. 2) То же для членов степени 2 [3]. ' 3) То же для членов любой степени [8). 4) Усреднить систему по быстрому вращению, заданному линейной частью поля [12]. и. Пусть дано семейство полей, зависящих от параметра, и содержащее поле пункта ! при нулевом значении параметра.

5) Гладко зависящим от параметров, меняющихся в окрестности нуля, диффеоморфизмом привести к возможно простому виду отрезок ряда Тейлора полей семейства в нуле [10]. ОБРАЗЦЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ЗАДАЧ 6) Применить к тому же семейству усреднение по быстрому вращению, заданному линейной частью исходного поля [20). П!. В пространстве 1-струй векторных полей в трехмерном пространстве выделим многообразие струй в особых точках с одним нулевым и двумя чисто мнимыми собственными числами. 7) Найти коразмерность указанного многообразия [2].

8) Выписать условие трансверсальностн семейства, записанного в найденном в задаче 5 виде, к указанному многообразию [8]. 9) Исследовать бифуркации особых точек в двупараметрнческих семействах общего положения, транснерсальных к указанному многообразию [10]. 10) Исследовать бифуркацяи циклов из этих особых точек [15]. Н) Исследовать существование и гладкость фазовой кривой, соединяющей втк особые точки [15]. !т/. Пусть на плоскости отмечена прямая, проходжцая через нуль. Диффеоморфизм плоскости называется отмеченным, если ои переводит отмеченную прямую в себя.

Векторное поле называется отмеченным, если оно иасается отмеченной прямой во всех ее точках. Пусть дано отмеченное поле, имеющее в нуле особую точку с двумя пулевыми собственнымн числами. 12) Привести отрезок ряда Тейлора поля в нуле гс возможно простому виду посредством допустимого диффеоморфизма [12]. 13) Привести семейство допустимых полей, являющееся деформацией данного поля, к формальной нормальной форме посредством допустимых формальных диффеоморфизмов, формально гладко зависящих от параметров, меняющихся в окрестности нуля [16[. 14) Исследовать бифуркации особых точек в семействах общего положения, полученных из нормальных форм задачи 13 отбрасыванием членов высокой степени [18].

15) Применить результаты задач 12 — 14 я исследованию бифуркаций фазового портрета поля с одним нулевым и двумя чисто мнимыми собственными числами [25). Дополнительные задачи. !) г = ег + Аг]г]з + гэ. При ' КеА [ ) ! предельных циклов ( 1. Указание. Разделить поле на гг; гй» Р (г,г) = 2Ке(дР/дг). 2) Пусть А = (3+ 1) /г' 2 . Если агу е = 5п/4, то особая сепаратрнса каждого седло. узла совпадает с неособой следующего.

Уяпиглие. Прн слиянии седла с узлом уравнение приводится к ,.Э [/Эю(]ю]З !)+1(эга мз)[, А (/8 1)эГЕ Если /г = 2. 8 = п/4, то сепаратрисы — прямые. 3) Исследовать кривые, разделяющие области значений А, где особые точ ки при изменении агу е сливаются на цикле, внутри и вне. Уэазише. Изменение 8 поворачивает поле. Кривые расположены примерно как четыре параболы оз = 2( -~- Ь -<- 1), А = а+ 18. 4) Прн малых ]ЕеА] и ! ~ [!МА! ( э= 4,35 уравнение 1) с подходящим з имеет два предельных цикла, внутри которых лежат 9 особых точек, а при ]!пь4[) с — один (А.

И. Нейштадт). Граница напоминает эллипс оси, 3, П и 2. 5) В системе г = г(гг + ах + бу), у = у([) + сх + бу) нет предельных циклов. Указание. При потере устойчивости фокусом система имеет первый интеграл: произведение степеней трех линейных функций (Н. Н. Баутнн). .