1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Козякиным (В. С. Козякин, Субфуркация периодических колебаний ДАН СССР, 232, 1 (1977), 25 — 27). *) Гомоклинической (гетероклинической) картиной называется сеть, образованная на секущей плоскости пересекающимися следамн притягивающегося и отталкивающегося инвариантных многообразий одной (двух) замкнутых траекторий. ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИИ [гл. з 3'. Рассматривая кривые общего положения на бяфуркацнонных диаграммах сильных резонансов, приведенных в и.
Е, можно описывать последовательности перестроек, которые являются уннверсальнымн, но кажутся с однопараметрической точки зрения нелокальнымн. Например, в случае д=2 -одной нз возможностей является такая последовательность событий: устойчивый цикл мягко теряет устойчивость с образованием тора, на котором быстро образуется перетяжка, так что форма меридиана тора приближается к восьмерке; прн подходе к центру восьмерки (где находится неустойчивый цикл) притягивающее множество, оставаясь близким к тору с почти стянувшимся в восьмерку меридианом, разрушается вблизи гомо- клинической сепаратрисы (Ю.
И, Неймарк). В этом случае фазовая траектория совершает витки вокруг то одной, то другой половины разрушенного тора, перескакивая с одной стороны на другую случайным на внд образом. Это описание похоже на явления, наблюдавшиеся в численном эксперименте Герценппейна и Шмидта (С. Я. Герценштейн, В. М. Шмидт, Нелинейное развитие н взаимодействие возмущений конечйой амплитуды прн конвективной неустойчивости вращающегося плоского слоя, ДАН СССР, 226, 1 (1975), 59 — 64. й Зб.
Перестройки топологии прн резонансах Резонансы между собственнымн числами линейной части векторного поля в стационарной точке мешают выбрать координаты так, чтобы сделать поле линейным. Даже если резонансов нет, но собственные числа близки к резонансным, ряды Пуанкаре могут расходнться и система тогда не может быть превращена в линейную аналитической заменой координат. В то же время топологнческяй тип фазового портрета в вещественной окрестности стационарной точки пря резонансах, вообще говоря, не меняется. Например, если вещественные'частя всех собственных чисел отрицательны, то стационарная точка притягивающая, и, независимо от резонансов, система топологнческя эквнвалентна стандартной линейной системе.
Оказывается, перестройка топологии при резонансе происходит, но, вообще говоря, в комплексной области. Система общего положения нерезонансная. Резонансы встречаются неустранимо в однопараметрических семействах. Поэтому прн нсследованнн влияния резонансов на перестройки топологии мы должны рассматривать однопараметрнческне семейства векторных полей. В соответствии со сказанным выше, мы будем считать как фазовые переменные н время, так н параметр комплексными числами.
ПЕРЕСТРОИКИ ТОПОЛОГИИ ПРИ РЕЗОНАНСАХ 2% А. Резонансы в области Пуанкаре. Рассмотрим комплексные фазовые кривые в окрестности особой точки О. Зти кривые образуют слоение с вещественно двумерными слоями, с особенностью в нуле. Чтобы разобраться в строении этой особенности, пересечем слоение сферой малого радиуса с центром в начале координат. Предположим, что линейная часть нашей системы в координатах (г„..., г,) Диагональна: 2Г=ХТЕГ+..., 1=1, ..., и.
Теорема. Если набор собственных чисел (ХД принадлежит области Пуанкаре, то каждая сфера ~г,~'+...+~г„~'=Гь достаточно малого радиуса пересекается со слоением трансверсально. М Рассмотрим вначале линейную систему. Имеем йг' = 'Я гГ йгт+ г~ йй, = А й(+ А Й, А = Я ~ г~ ~')ч'. Условие трансверсальности со сферой состоит в том, что 1-форма йг' не должна обращаться в 0 на касательной плоскости к слою. Но форма А й(+АЙ нулевая только при А =О.
СсютношениеА =0 ие выполняется в случае Пуанкаре (и только в случае Пуанкаре) ни при каком гФО. Итак, в линейном случае теорема доказана: слои пересекают сферу под ненулевым углом а(г). , Рассмотрим минимум а„угла сь(г) на сфере ~ г ~ =с. Величина аь не зависит от г (так как а(сг)=а(г)). Итак, а(г))аь)0 прй всех гФО. Обратимся теперь к нелинейной системе. Угол между полями направлений нелинейной системы и ее линейной части мал вместе с )г ~.
Поэтому в достаточно малой окрестности нуля он меньше аь и фазовые кривые нелинейной системы пересекают сферу трансверсально. й Следствие. Пересечения комплексных фазовых кривых сосферой достаточно малого радиуса образуют одномерное слоение без особых точек на этой сфере. Слоения, полученные на всех сферах достаточно малых радиусов, диффеоморфны. Дифференцируемый тип слоения на сфере не меняется при деформациях сферы, пока она остается трансверсальной комплексным фазовым кривым.
Таким образом, изучаемое двумерное слоение в окрестности особой точки гомеоморфио конусу над одномерным слоением на сфере. Это слоение на сфере является разбиением на фазовые кривые векторного поля на сфере (так как сфера и комплексное слоение ориентируемы), 3 а м е ч а н и е. В нерезонансном случае, согласно теореме Пуанкаре, система в надлежаще выбранной системе координат в достаточно малой окрестности особой точки линейна. Отсюда вытекает, что диффереицируемый тип слоения на сфере в нерезонансном случае такой же, как у линейной системы.
Мы заключаем, что;дифференцируемый тип слоения на сфере остается таким же, как у линейной части системы, не только в той ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ [гл. а В. Резонанс Л,=2Л,. В качестве примера рассмотрим изменение топологии слоения прохождения резонанса Л,=2Л« в системе нз Зз при 2« = Л»г»+..., 2« = Лэаз+ .. Мы находимся в области Пуаниаре, если отношение Л=Л«/Л«не является вещественным отрицательным числом. Рассмотрим сперва слоение на 3», отвечающее линейной части системы. Сепаратрисы г,=-о, з,=о пересекаются со сферой по большим кругам, являющимся циклами системы на Зз. Их коэффициент зацепления равен 1.
Если Л вЂ” не вещественное число (случай «фокуса»), то все остальные кривые славина на сфере сматываются с одного цикла и наматываются на другой. Изучим функции последования циклов. Заметим, что эти функции можно считать голоморфными. Действительно, они вещественно дифференцируемо эквивалентны комплексным функциям последования, отображающим голоморфную трансверсаль к сепаратрисе в себя. Следоватвльно, они становятся голоморфяыми при подходящем выборе комплексной структуры на вещественно двумерной трансверсали к циклу в Зэ. Из этих соображений следует также, что мультипликаторы наших циклов равны г- ~'~, е- зпга соответственно.
Слоения на 5», соответствующие всем фокусам, гомеоморфны друг другу, но не диффеоморфны: Лз+Л-з †инвариа диффеоморфизма. Если Л вещественное положительное (случай чала), то мы также находимся а области Пуанкаре. В этом случае часть За между двумя зацепленными циклами расслоена на двумерные торы, заполненные обмотками с числом вращения Л, одинаковым на всех торах. Рассмотрим теперь нелинейную систему. В случае фокуса резонанс невозможен, поэтому слоение на сфере в нелинейном случае диффеоморфно описанному выше слаению, построенному по линейной системе. То же верно для не- резонансного узла, т. е.
для всех Л ~ О, исключая случаи, когда Л нли ! )Л вЂ” целое число. Рассмотрим, например, резонанс Л=2. В этом случае нормальная форма Пуанкаре имеет вид 2«=~ гх+сз«», 2«=Л,зз. Эта система имеет при счьо лишь одну сепаратрису, а слоение на З«имеет лишь один цикл. Заменим Л близким к 2 невещественным значением.
Полученная система на 5», с одной стороны, близка к резонансной сне геме с одним циклом, а с другой стороны она диффеоморфна изученной ранее системе, построенной по линейному фокусу и, следовательно, имеет двз цикла с коэффициентом зацепления единица. Можно показать, что один их этих циклов, С,, близок к единственному циклу С резонансной системы. Другой же цикл, С»я лежит на тонком торе с осевои линией С» и замыкается после двух обходов вокруг См сделав один оборот по меряднану (так что козффициетн зацепления Сэ и Сх равен 1). Итак, перестройка системы на Зз вблизи резо- окрестности начала координат, где сходятся ряды Пуанкаре, но и далеко за ее пределами. Действительно, при приближении к резонансу область сходи- мости рядов Пуанкаре стягивается до нуля, тогда как радиус области трансверсальности остаегся ограниченным снизу.
Следовательно, мы можем следить за прохождением резонанса в комплексной системе по изменению одномерного слоения на сфере фиксированного (не зависящего от параметра) малого радиуса. ПЕРЕСТРОЙКИ ТОПОЛОГИИ ПРИ РЕЗОНАНСАХ 287 панса Л=2 состоит в бифуркации двукратной периодической траектории от периодической траектории с собственными числами ( — 1, — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
