1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 64
Текст из файла (страница 64)
О п р е д е л е н и е. Поле называется особым, если линейная часть поля в нуле равна нулю. О п р ед е л е н и е. Главной деформацией т)-эквивариантного главного особого поля о, (д) 2) называется двупараметрическое семейство о,=ег+о„, где параметрами являются вещественная и мнимая части комплексного числа е. Пример. Главные деформации в случаях а=3, 4 задаются уравнениями г = ег+ Аг ) г !'+ Вгэ, г Вз ег+ Аг ) г ('+ Вг', в которых е рассматривается как параметр, а комплексные коэффициенты А и В фиксированы. Замечание.
Определенные выше. объекты возникают при исследовании потери устойчивости цикла при переходе пары комплексно-сопряженных мультипликаторов через единичную окружность. В функциональном пространстве всех систем системы с таким переходом Образуют гиперповерхность. Эта гиперповерхность является одной из трех гиперповерхностей, ограничивающих' область устойчивости. Другие две гиперповерхности соответствуют переходу од.
ного мультипликатора через единичную окружность в точке 1 и в точке — 1 соответственно. Граница гиперповерхности, соответствующей переходу комплексной пары мульзипликаторов, состоит из двух частей (двух поверхностей коразмерности два в функциональном пространстве всех систем). Одна из этих поверхностей коразмерности два отвечает паре мультипликаторов, равных 1, образующих жорданову клетку порядка 2„другая — такой же клетке с двумя собственными числами — 1.
Изучение потери устойчивости в окрестности этих граничных поверхностей коразмерности 2 приводит к исследованию бифуркаций в двупараметрических семействах векторных полей на плоскости, имеющих линейной частью нильпотентную жорданову клетку порядка 2 и симметричных относительно вращений на угол 2пд, о=2 (для мультипликаторов — 1) или 4= 1 (мультипликаторы 1). Чтобы включить рассмотрение этих случаев в общую схему, удобно дать следующие определения.
270 теОРия БиФъгккцнй игл. е Г. Случаи ~у=! и ~у=2. 0 п р еде лен не. Поле, инвариантное относительно поворота плоскости на угол 2п/д, у=1 или 2, называется особым, если его линейная часть в нуле есть нильпотентная жорданова клетка второго порядка. Иными словами, при у=1 или 2 особое поле — это'поле, линейная часть которого есть поле фазовой скорости уравнения У=О на фазовой плоскости (х, у=4. Легко доказывается Т ео р е м а.
Особое поле, 'инвариантное относительно поворота плоскости на угол 2па, о=1 или 2, приводится диффеоморфизмом, коммутирующим с поворотом, к полю фозовой скорости уравнения 2 в+ьхг 1 О(1хв ~ в) ( 2) Х = ах'+ уху+ О ( ( х (', ( у )') (д = 1) на фаэовой плоскости (х,.у = — х) 4 Линейная часть нашего поля имеет вид уд/дх. Составим гомо- логическое уравнение, соответствующее этому линейному полю. Для этого вычислим скобку Пуассона нашего линейного поля Л=уд/дх с 'йроизвольным векторным полем п=Рд/дх+Сгд/ду. Мы находим последовательно [уд/дх, Рд/дх*1= уР„д/дх, [уд/дх, С/д/ду1 = уЯ,д/ду — Ядах, [Л, 61 = (уР— Я) д/дх+уЯ„д/ду Итак, гомологическое уравнение относительно неизвестных функций (Р, Я) имеет вид системы уР,,— ~+и=О, уО +о=О.
Здесь и и о — известные функции, а именно компоненты векторного ' поля и = ид/дх+ од/ду, которое мы хотим убить заменой переменных. ьй Исследуем полученную систему. Исключая Я из первого уран- В нения и подставляя во второе, получаем у'Р„= — уи — о. Чтобы добиться делимости правой части на у', достаточно изме- „' нить у функции о члены О и 1 степени по у. Таким образом, изменяя о на ов(х)+уо, (х), можно добиться разрешимости последнего уравнения относительно Р. Следовательно, гомологическое уравнение при произвольных (и, и) "; неразрешимо, но становится разрешимым, если изменить о на под-': ходящую линейную неоднородную по у функцию. Иными словами,, уравнение [Л, Ь)+ ~о = (о, (х)+уз, (х)) д/ду с подходящими (о„о1), зависящими от в, разрешимо относительно '- неизвестного поля й.
ЭКВИВАРИАНТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Окончательно, метод Пуанкаре позволяет уничтожать в членах каждой степени векторного поля Л+ ... все вектор-мономы, кроме вектор-мономан вида х»д/ду и ух»д/ду. Таким образом, в классе ' формальных степенных рядов наше уравнение приводится к виду х=а(х)+уЬ(х). Если исходная система выдерживала поворот' на угол и (т. е. была нечетной), то компоненты исходного векторного поля были нечетными функциями.- В этом случае замены метода Пуанкаре .можно также выбирать нечетными (коммутирующими с поворотом), так как в предыдущих формулах степени (Р, 9) и (и, о) одинаковы. Тогда и ряды (а, Ь) в формальной нормальной форме будут состоять лишь из членов нечетной степени.
Ограничиваясь в методе Пуанкаре несколькими первыми прибли- жениями, мы получаем сформулированное выше предложение. $ Оп р ед ел е н не. Главными особыми уравнениями и полями при д=2 и 1 называются, соответственно, уравнения Я=ах»+Ьх»у (у=2), у=ох«+Ьху (4=1) и задающие их векторные поля на фазовой плоскости (х, у=х). Определение.
Главной деформаиией главного особого поля при у=2 и 1 называется, соответственно, деформация, состоящая в прибавлении к правой части уравнения второго порядка слагае- мого ах+ру (4=2)'и а+~)х (о=1). Список главных деформаций о-эквивариантных полей в случаях сильного резонанса, т. е. для о(4 следуюшнй: г ег+Аг~г~»+Вг», у=4, г=ег+Агг!»+Вг», 4=3, У = ах+ ру+ ах'+ Ьх'у, о = 2, Х = а+ ()х+ ах»+ Ьху, д = 1. Здесь переменные г, е, А,  — комплексные; х, у, а, (), а, Ь— вещественные; параметры деформации обозначены греческими бук- вами; у=х. Д.
Версальность главных деформаций. «Теорема». Все главные особые поля при каждом д можно разделить на вырожденные и невырожденные пи»к, что 1) Вырожденные поля образуют объединение конечного числа подмногооброзий в пространстве главных особых полей. 2) Невырожденные поля образуют обаедииение - конечного числа открьипых связных областей. 3) Главная деформация ростах иевырозсденного поля в нуле версальиа. 4) Главные деформации ростков невырожденных полей в каждой компоненте связности топологичесжи эквивалентны. ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИИ ~гл. б Слово «теорема» заключено здесь в кавычки, потому, что при д =4 теорема не доказана. За исключением случая д = 4, условия невырожденности можно выписать явно: а~О, ЬФО при у=1, 2; КеА(0)~0, В4:0 при д)3.
При о=4 к этим условиям следует добавить го меньшей мере условия (на стр. 304, 3), 4», указаны, по-видимомугвсе остальные), ) А!»Ф ~ В Р, )КеА !=Ф ~ В~, ! 1ш А ! ~ ( ! В (»+ Кев А),')Г( В ~' — К ее А. Из теоремы легко выводится С л е д с т в и е. В функциональном пространстве двупараметрических семейств векторных полей, инвариантных относительно группы вращений на углы, кратные 2п»д, оп»крытое «) всюду плотное мйожество образуют семейства, для которых поля особы лищь при огпдельных изолированных значениях параметров и в. окрестности втих значений семейство топологически эквивалентно версальной деформации нееырожденного главного особого поля.
Иными словами: пусть собственные числа линеаризации векторного поля иа плоскости, инвариантного относительно вращений на углы, кратные 2п»д, равны нулю..Рассмотрим поле общего положения с указанными свойствами. Образуем его двупараметрическую деформацию общего положения в классе полей с той же симметрией. Утверждается, что существует такая не зависящая от параметров окрестность точки О, что построенная деформация приводится непрерывно зависящим от параметров гомеоморфизмом с такой же симметрией к нормальной форме, указанной в п.п. В и Г. Точнее, гомеоморфизмы приводят к нормальной форме фазовые портреты соответствующих систем.
Таким, образом, сформулированная теорема сводит описание всех бифуркаций к описанию бифуркаций в главных деформациях невы- рожденных особых полей. Е. Описание бифуркаций. В случае д = 1 сформулированная выше теорема доказана Р. И. Богдановым в 1971 году (см. З 33, где приведено и описание биФуркаций). В случае ц = 2 заменами времени добиваемся Ь ( О. Бифурка ционная диаграмма («циферблат») на плоскости (а, (1) и перестройка фазового портрета для случаев а~О и а(0 приведены на рис. 143 ,В случае г) =3 заменами времени добиваемся Ке А(0. Бифур кационная диаграмма и перестройки приведены на рис.
144. '» С обычиыии оговорками, если бава иекомиакгии. ВКВНВАРИАНТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ При д~б заменамн времени добиваемся Вел~О; бнфуркационная диаграмма и перестройки изображены на рнс. 145. Заметим, что зона существования неподвижных точек подходит к мнимой РВС. 143. оси е узким языком, края которого имеют общую касательную; 1ше-Г(йее)-+ с)Бее)1Е-В1гА, д)5.
Доказательства теоремы н прнведенных выше утверждений в случае д~б просты, в случае д=1 содержатся в цитированных в з ЗЗ работах Богданова, в случае д= 4 неизвестны, а в случаях 4=2, 3 Ю В. И. Арньльд ЭКВИВАРИАНТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ намечены ниже. Некоторые варианты перестроек дли с)=4 изображены ниже (на рис. 149, 150, 152).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
