1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 66
Текст из файла (страница 66)
ЭКВИВАРИАНТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ бц Бнфуркпдил фазозозо лоршреяю. Если ) А ! к. 1, то картина (рис. 140) по-видимому, такая же, как для резонансов третьего порядка (см. выше и. К), Если ) ЕеА)~1, то, по-видимому, происходит то же, что для резонансов порядка Ь и выше (рис. 150, 143); впрочем, особые точки могут в этом случае рождаться и не на цикле. Ср. стр. 304, задачи 1), 2), 3).
Наибольшие трудности представляет случай !)(еА) ~1, ! А ! ~1. Рис. 149. Рис. 150. T. Новые нормировки и обозначения. Для исследования случая ! )те А ! ( 1 полезно рассмотреть асимптотику при ) 1шА ( -ь со. Вместо того, чтобы устремлять А к бесконечности, можно в исходном уравнении устремлять В к нулю. Чтобы исследовать этот случай, мы введем следующие обозначения: в=о+(т, А= — их — у, В=(), и будем считать малыми параметрами одного порядка величины (1, п=и(). у=о(1 (р -~- О, и о 1).
Нормнрующие растяжение координат н времени множители выберем так, чтобы а=1, т=1. Введем симплектические полярные координаты р=~ а (з/2, ф=агйз. Исходное уравнение принимает вид системы р=2р(п — 2ур+2()р соа4ф), ф=т — 2ар — 2()р з)п 4р.
Введем еще гамильтониан Н=тр — арэ — ррэ ми4ф и потенциал П=орэ— — 4ура/3. Тогда р= — Н +П, В интересующем нас случае т=а=1, о=иб. у=ой имеем Н=Нэ+()Ны П=ВПП Н,=р — рд Пра 3=0 получаем невозмущенное движение (вращение с частотой Нэ). В области, где Нр -0 (т. е.
когда р не близко к 1!2) основной возмущающйй эффект дает диссипативный член ()Пы а при р= 1/2 нужно учитывать н ВНР 3'. Лемма об аффекта малой диссилаг(ии. Рассмотрим нз фазовой плоско- сти уравнение к=о+вы, где о гамильтоново поле с функцией Гамильто. ТЕОРИЯ ВИФУРКАЦИИ <гл. е на Н, а и потецциальное поле, т=ЧП (имеется в виду метрика, заданная симплектическнмн координатами р, 4). Л е м м а. Произв>дпая по малому параметру е от приращения Н аа оборо>п вокруг аамкпутой финмой кривой Н Л равна при е=О й 6Н-1 ) ЛП йр йф б <К> гдг 6(Л)-ебгаспю, ограниченная кривой. ~ 6Нгьгф Н й/= ф Нр ( — Не+ еПР) + Не (Нр+ еПг) й/ -е$ПРйй — Пейр-е~~ЛПйрйй. (~ Применяя лемму к нашему уравнению, находим 6Нг = 2р (о — 2ур) = 2()р (и — 2ор). Таким образом, в первом приближении цикл дается формулой р = и/(2о) = о/(27).
Этот метод позволяет исследовать вашу систему вие кольца, в котором р близко к 1/2. Следовзтельно, случай а, близкого к Т, нужно рассмотреть отдельно. 1 Ог. Исследование случая р-1/2. Делаем замену р= — +)/() Р, //)/(>=7. 2 После ззмены полагаем () О. Получаем в качестве приближенного уравнения систему Гамильтона йР/йТ в+сов 4ф, йф/йТ= — 2Р с функцией Гамильтона Нм=рз+ нар+(йп 4ф)/4 (маятник с крутящим моментом). Здесь в=и — о=(о — 'Т)/(>. Потенциальная яма существуег прн ! ш )(1.
С точки зрения обозначений 7' мы перебросилй из потенциальной части в гамильтонову поле (о — Т) д/др. Таким образом, новые гамильтониан н потенциал имеют вид Н=р — рг — (><Я ш44> — () Ь П = орз — (4ург) /3 — (о — Т) р. Прнменяя лемму 8', мы находям 6Н=Ц (2о — бур) йр йр внутри ямы=25(о — 4ург), где 3 площадь внутри ямы на плоскости (р, <р), а рг — координата центра тяжести ямы. Условие рождения цикла о=4ург.
Следовательно, нужно вычислить р. ! Но рг — +)~(>рт+... Значит условие рождения цикла имеет вид о=27 ( 2 + 47 У (>От+" . ш=(т/й)+4ур<+"- Вычислим величину р;. Точное уравнение замкнутой фазовой кривой Н=сопз1 имеет в коордиватах Р, <р вид )1 >3 Рз+~ — + Ьl бР) ми 4ф+м<Р=Л.
'! 2 Каждому значению <р в яме отвечают два значения Р, причем Р +Рз= — ()/(> з!п 4<р)/(1-(> з>п 4ф). 281 ВКВНВАРНАНТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Из этой формулы следует, что попразочный член, который мы выше обозначили через р, равен 1 —, рт= — — зш 4ф 2 (черта означает «усреднение» по невозмущенной фаэовой кривой при ()= О). Рассматривая расположение ямы по отношению к максимуму и минимуму синуса 4~р и его изменение при изменении „ 1 А. величины ш (рис.
15!), мы получаем информацию о поведений рт, на которой и основаны картины перестроек(рис. 152). ш=д Иэобрэженная нз рис. 152 снеге- Р (з ма перестроек реализуется при больших по сравнению с ~ В ! величинах У !1ш А ( при 0(~ ВеА ((|В). Разумеется, вэложейные выше сооб- з!з Ф )г ряжения не заменяют собой доказа- Ь тельств и являются лишь первыми шагами исследования бифуркаций в главном Рнс. 151. семействе 4-симметричных уравнений. РезУльтаты о слУчаЯх снмметРии поРЯдка 4 чь 4, по-видимомУ, известны специалистам довольно давно; в частности, Р. Такенс анонсировал их Рис 152.
282 ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИИ 1гл. в в неопубликованном препринте 1974 г. Наше изложение основано на статье автора в «Функциональном анализе и етс прилсыенияхь 1977, № 2, подробные доказательства проведены Э. Хорозовым. Л. Функция последования.
Применения наших построений к исследованию потери устойчивости цикла основаны на следующем. Лемма. 1. Рассмотрим отображение 1: (1«з, 0)-«-((тз, 0), имеющее неподвижную точку 0 с собственными числами е — з"'а~«(и с жордановой клеткой порядка 2, если о=1 или=2). Тогда итерацию гт можно при любом )т' предспизвить в достаточно малой окрестности точки 0 в виде суммы ге=д+Ь, где Ь(г) =0(~ г)н), а д — преобразование фазового потока векторного поля, инвариантного относительно конечной циклической группы диффеоморфизмов у, порядка д. Заметим, что, в частности, й коммутирует с поворотом на угол 2п/о.
Само отображение гт, вообще говоря, не коммутирует с действием никакой конечной группы н не включается в поток. Лемма 1 показывает, однако, что на уровне формальных рядов )е включается в поток и коммутирует с конечной группой. 4 Доказательство леммы проводится по обычной схеме построения нормальных форм пуанкаре — Дюлака — Биркгофа (см.
гл. 5). Ь Лемма 2. Рассмотрим деформацию )к отабражения Гз=г, УдовлетвоРЯюЩего УсловиЯм леммы 1. Тогда шпеРаЦию гь«можно при любом У представить в достаточно малой окрестности точки 0 в виде суммы 1ьа=дх+ЬА, где Ьь(г) 0()г(н), а дк— преобразование фазового потока векторного поля оь, инвариантного относительно конечной циклической группы диффеоморфизмов, уь.
Здесь гк, дх, Ьк, ох и Уь гладко зависат от паРаметРа Х, менлющегося в окрестности нуля. 4 Доказательство основано на том, что приведение н нормальной форме членов степени не выше Ж с оставлением резонансных членов осуществляется гладко зависящим от параметров диффеоморфизмом.
Ь Соединяя лемму 2 с описанием бифуркаций фазовых потоков из предыдущих параграфов, мы получаем информацию о потере устойчивости неподвижной точки 0 отображения ) (или периодического движения, для которого Г есть функция последования). 3 а м е ч а н и е. Можно также непосредственно приводить к нормальной форме семейство дифференциальных уравнений в окрестности (р, о) — резонансного периодического решения в.пространстве «7-листного накрытия. Применение стандартного метода Пуанкаре — Дюлака — Биркгофа в этой ситуации приведет семейство векторных полей, 2п-периодическое по времени, к сумме Фсимметричного поля, не зависящего от времени, и остатка 0(~г~я) периода 2по.
ЭКВИВАРИАНТИЪ|Е ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ з зя М. Обсуждение. 1'. Для перевода полученных результатов на язык бифуркаций периодических решений нужно найденные неподвижные точки на плоскости заменить замкнутыми траекториями в пространстве, сепаратрнсы точек — инвариантными притягивающими и отталкивающими поверхностями этих замкнутых траекторий, предельные циклы на плоскости — инвариантными торами. Существенная разница будет лишь в перестройках сепаратрис: в то время как на плоскости сепаратрисы при бифуркациях мгновенно проходят друг через друга, в пространстве этот процесс растягивается с образованием гомо- клинической (или гетероклинической *) картины (рис.
101). Инвариантные торы в пространстве разрушаются раньше, чем на плоскости цикл доходит до петли сепаратрис †одна все эти чисто трехмерные эффекты слабы (происходят от членов сколь угодно большой степени в нормальных формах) по сравнению с рассмотренными выше двумерными.
2'. Рассмотрение потери устойчивости как двупараметрического, а не однопараметрического явления позволяет легко понять некоторые обстоятельства, кажущиеся иначе удивительными. Рассмотрим двупараметрическое семейство, в котором в качестве параметра взят сам мультипликатор. Нарисуем на плоскости значений параметра области существования периодических решений, замыкающихся при д оборотах вдоль основного решения, сделав р оборотов поперек него. 1 Эта область выходит на единичную окружность в точке е' 'Рта узким (при д)4) языком (ширина его на расстоянии о от окружности порядка оге — т»з, см.
п. Е). А Поэтому кривая общего положения на плоскости мультипликатора пересекает Рис. Гбз. вблизи единичной окружности бесконечное число языков (рис. 153). Следовательно, в общем однопараметрическом семействе, в котором цикл теряет устойчивость без сильного резонанса, вблизи момента потери устойчивости рождаются и умирают в бесконечном количестве длиннопериодические циклы. Доказательство этого факта, не зависящего от того, имеется ли слабый резонанс в момент потери устойчивости, было дано В. С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
