1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Наконец, остается последний случай коразмерности 2: б'. Два нулевых корня. Пример — семейство уравнений на плоско- СТИ е =х, У,=е,+е,х,+х, '+ х,хз с параметрами (ем е,): Бифуркационная диаграмма разбивает плоскость е на четыре части, обозначенные А, В, С, В на рис. 135, соответствующем выбору +хгх, в формуле. Фазовые портреты, соответствующие каждой из четырех частей плоскости е, показаны на рис. 135.
Ветвям бифуркационной диаграммы соответствуют системы с вырождениями коразмерностн один, изоб аженные на рис. 135 (Р, Я, )г, 5). аметим, что бифурйация на ветви 5 — рождение цикла из петли сепаратрисы — не входит в нашу классификацию особенностей коразмерности 1, так как она является не локальным (вблизи особой точки), а глобальным явлением. Мы видим, таким образом, что с увеличением числа параметров семейства при локальном исследовании бифуркаций особых точек начинают играть роль глобальные бифуркации меньших коразмерностей. Отсюда следует, что при достаточном числе параметров мы столкнемся в локальной 'задаче 1гл.
е ткоиия ниетнкхции с теми же трудностями не всюду плотности структурно устойчивых систем, которые были обнаружены Смейлом в глобальной задаче о векторных полях на многообразии 1см. 9 15). Рис. 135. Бифуркации в случае, соответствующем выбору знака « — в в формуле, сводятся к предыдущим изменениям знаков 1 н х,. Теорема. Векторные поля общего полоясения с двумя нулевыми корнями характеристического уравнения в особой то осе на фозовой плоскости имеют топологически версальную деформацию с:двумя параметр ми, зквивалентную одной из двух деформаций, рассмотренных выше.
Иными словами, общее двупараметрическое семейство дифферен" циальных уравнений на плоскости, имеющих при некотором значении параметра особую точку с двумя нулевыми корнями характеристического уравнения, непрерывной заменой параметров и непрерывно зависящей от параметров непрерывной заменой фазовых координат приводится к указанному выше виду. Эта теорема, докаввнная Р. И. Богдановым в 1971 году, была впервые опубликована'в обзоре В. И.
Арнольд, Лекции о бифуркациих н версальпых семействах, УМН 27, 5 (1972), стр. 119 — 131. Такенс анонсировал анало- ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОКОЛЕВАНИЙ гичный результат в 1974 году. Доказательство версальности не просто; главную трудность представляет исследование единственности предельного цикла.
Р. И. Богданов преодолевает зту трудность при помощи нетривиальных соображений о поведении эллиптических интегралов в зависимости ог параметра. См. Р. И. Богданов, Бифуркации предельного цикла одного семейства векторных полей на плоскости, Тр.~семинара имени И. Г. Петровского, 1976, вып. 2, 23 — 36; Версальная деформация особой точки векторного поля на плоскости в случае нулевых собственных чисел, там же, стр. 37 — 66, й 36. Потеря устойчивости автоколебаний Следующей по сложности задачей теории бифуркаций (после задачи о перестройке фазовых портретов в окрестности положений равновесия) является задача о перестройках семейства фазовых кривых в окрестности замкнутой фазовой кривой. Эта задача полностью не решена и, по-видимому, в некотором смысле неразрешима.
Тем не менее общие методы теории бифуркаций позволяют получить суше- ственную информацию об этих перестройках; в настоящем параграфе дается краткий обзор основных результатов в этом направлении. А. Монодромия и мультипликаторы. Рассмотрим замкнутую фазовую кривую системы дифференциальных уравнений. Нас интересуют перестройки расположения фазовых кривых в окрестности данной кривой при малом изменении уравнения. Для расположения фазовых кривых в окрестности замкнутой фазовой кривой общего положения имеется (с точностью до гомеоморфизма окрестности) конечное число возможностей. Чтобы описать их, выберем на замкнутой фазовой кривой Овлгаеегаагточку О.
Проведем через эту точку игегагззгль алдезаа трансверсальную к замкнутой фазовой кривой площадку (коразмерности один в фазовом пространстве). Фазовые кривые, выходящие из точек площадки, достаточно близких к точке О, Рис. 136. вновь пересекают площадку, сделав оборот вдоль кривой. Возникает отображение окрестности точки О на трансверсальной площадке в эту площадку. Это отображение называется функцией (или отображением) последования Пуанкаре (рнс. 136) (или просто опгображением 1гуанкаре).
Точка О является неподвижной точкой функции последования. Рассмотрим линеаризацию функции последования в точке О. Этот линейный оператор называется оператором монодромии. Собственные числа оператора монодромии называются мулыпипликипгорааи исходной замкнутой фазовой кривой. Оператор монодромии можно найти, решая линейное уравнение с периодическими 258 ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИИ !Гл. в коэффициентами (уравнение в нормальных вариациях вдоль нашей фазовой кривой). Предположим, что все мультипликаторы по модулю меньше единицы.
Тогда можно доказать, что все соседние фазовые кривые при продолжении вперед притягиваются к нашей замкнутой фазовой кривой. Если хотя бы один из мультипликаторов по модулю больше, единицы, то существуют фазовые кривые, удаляющиеся от замкнутой (приближающиеся к ней при 1-~ — со). В общем случае несколько собственных чисел лежит внутри единичной окружности, а несколько — снаружи. В этом случае фазовые кривые, притягивающиеся к данной, о бразуют, как можно доказать, притягивающееея многообразие, пересеченйе которого с нашей трансверсалью имеет такую размерность, сколько мультипликаторов лежит внутри единичной окружности.-Точно;так же фазовые кривые, асимптотические к замкнутой при 1-+ — со, образуют отталкивающееся многообразие. Размерность ею пересечения с трансверсалью равна числу неустойчивых мультипликаторов (мультипликаторов вне единичной окружности).
В окрестности нашей замкнутой фазовой кривой имеет место гиперболическая ситуация (см. Э 14): все прочие фазовые кривые удаляются от замкнутой иак при 1- +ОО (удаление происходит вдоль отталкивающегося мноюобразия), так и при 1-~- — со (вдоль притягивающегося). Топологический тип семейства фазовых кривых в окрестности замкнутой фазовой кривой, не имеющей мультипликаторов на единичной окружности, однозначцо определяется числами - устойчивых и неустойчивых мультипликаторов и тем, сколько среди тех и других отрицательных: четное или нечетное число.
Посмотрим, что изменится в этой картине при малом изменении системы. Б. Простейшие вырождения. Замкнутая фазовая кривая называется нееырожденнои, если единица не является мультипликатором. Невырожденная замкнутая, фазовая кривая при малой деформации системы не исчезает, а лишь немного деформируется (по теореме о неявной функции, примененной к уравнению Г'(х) =х, где г — функция последования).
При деформации невырожденной замкнутой фазовой кривой мультипликаторы также лишь немного деформируются. Следовательно, как число устойчивых, так и число неустойчивых мультипликаторов не меняется при деформации, если ни один из мультипликаторов исходной фазовой кривой не лежал на' единич- ' ной окружности. Мультипликаторы замкнутой фазовой кривой общего положения не лежат на единичной окружности. Таким образом, расположение ".', фазовых кривых в окрестности замкнутой фазовой кривой общею .3 положения. структурно устойчиво. ПОТЕРЯ УСТОИЧИВОСТИ АВТОКОЛЕВАНИИ Но если мы рассматриваем не индивидуальную систему, а семейство систем, зависящими от параметра, то при отдельных значениях параметра мультипликаторы могут попадать на единичную окружность, и возникает вопрос о бифуркациях.
Как обычно, начнем с простейших вырождений, т. е. вырождений, неустранимых в однопараметрических семействах. Таких вырождений коразмерности 1 в нашем случае имеется три. Действительно, характеристическое уравнение оператора монодромии вещественно, поэтому каждый невещественный мультипликатор имеет комплексно сопряженный.
Следовательно, на единичную окружность 'выходят либо 2 комплексно сопряженных мультипликатора,-либо один вещественный, равный либо 1, либо — 1. Все три случая (комплексная пара, + 1, — 1) соответствуют многообразиям коразмерности 1 в функциональном . 1юД. пространстве. Рассмотрим, например, границу области ус- -Г ! тойчивости замкнутой фазевой кривой в функцио- )Л1 1 ЕА нальном пространстве. Эта граница является гиперповерхностью в функциональном пространстве. Она состоит из трех компонент коразмер- Рис. 137.
ности 1. Первая компонента соответствует фазовым кривым с-одной парой комплексно-сопряженных мультипликаторов с модулем 1, вторая — с мультипликатором + 1, третья— с мультипликатором — 1; все остальные мультипликаторы лежат внутри единичной окружности (рис. 137). Эти три гиперповерхности коразмериости 1 пересекаются 'по поверхностям коразмерности 2 и имеют дальнейшие особенности.
Например, самопересечения первой поверхности отвечают двум парам мультипликаторов с модулем 1 и т. д. Задача о потере устойчивости Замкнутой фазовой кривой является, таким образом, задачей о вырождении коразмерности 1, и мы должны, на первый взгляд, рассматривать однопараметрические семейства общего положения, чтобы разобраться в бифуркациях.
В действительности дело обстоит не так просто: мы увидим, что в задаче о потере устойчивости при прохождении пары мультипликаторов через единичную окружность имеется два существенных параметра. Но вначале посмотрим, к каким выводам приводит однопараметрическая точка зрения. Начнем со случая, когда один из мультипликаторов равен 1. Этот случай в сущности не отличается от задачи о бифуркации положений равновесия в однопараметрических семействах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
