1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 56

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

Определение. Значение параметра, которому соответствует вырожденная особая точка, называется бифуркационным значением параметра, а сама вырожденная особая точка в прямом произведении фазового пространства на ось значений параметра — бифуркационной точкой. Рассмотрим значение параметра Б как функцию на кривой особых точек. Бифуркационные значения параметра — это критические значения этой функции, а бифуркационные точки — мло критические точки функции (точки, где дифференциал функции равен О).

Критическая точка функции называется нееырожденной, если второй дифференциал функции в этой точке невырожден (в данном случае речь идет о функциях одной переменной, так что невырожденность второго дифференциала означает его отличие от нуля). Соответствующая бифуркационная точка называется тогда нееырожденной бифуркационной точкой. Определение.

Бифуркационное значение параметра называется регулярным, если ему соответствует ровно одна бифуркационная точка, и притом невырожденная. З ЗП БИФУРККПИИ ОСОБЫХ ТОЧЕК БЕКТОРНОГО ПОЛЯ 23т Т е о р е м а. Для однопараметрических семейств общего положения есе бифуркационные значения параметра регулярны. Если фазоеое пространство компактно, то бифуркационные значения параметра изолированы. 4 Утверждение легко выводится из теоремы трансверсальности, детали представ- / ляются читателю. Ь Замечание.

Теорема означает, что по е мере изменения параметра особые точки се- рие. !21. мейства общего положения могут лишь попарно сьедать друг друга или рождаться парами, когда параметр проходит через бифуркационные значения (рис. 119). Бифуркации этого вида устойчивы (сохраняются при малом шевелении семейства). Все более сложные бифуркации при малом шевелении общего вида распадаются на несколько бифуркаций описанного типа (рис.

121). В. Пример: векторные поля на прямой. рассмотрим однопараметрическое семейство векторных полей на прямой, задающее дифференциальное уравнение х=-+х'+г, хенй, Бенй. При Б=О это векторное поле имеет простейшую вырожденную особую точку (х=О). При переходе параметра через регулярное бифуркационное значение е = 0 происходит, в зависимости от знака перед х', либо взаимное уничтожение двух особых точек — устойчивой и неустойчивой, либо рождение пары особых точек, которые сразу же разбегаются (с асимптотикой )Г(е!). Нетрудно проверить, что бифуркация в этом примере является единственной бифуркацией, неустранимой в однопараметрических семействах общего положения векторных полей на прямой.

0 п р е д е л е н и е. Пусть даны два семейства векторных полей, завие~щих от параметра. Семейства называются топологически гкгиеалентными, если существуют гомеоморфизм пространств параметров и непрерывно зависящее от параметра семейство гомеоморфизмов фазового пространства, переводящие семейство ориентированных фазовых кривых первого семейства при каждом значении параметра в семейство ориентированных фазовых кривых второго семейства при соответствующем значении параметра.

Заметим, что гомеоморфизмы, о которых идет речь в этом определении, определяют еомеоморфнзм прямых произведений фазовых пространств на пространства значений параметров, (х, е) '(А(х, е), ~р(е)), переводящий фазовые кривые системы 2= о(х, е), 4=0 в фазовые кривые второй системы такого же вида. Аналогичным образом определяется эквивалентность ростков семейств в точке. Если пара (хм е,) — точка фазового пространства н точка пространства параметров, то гомеоморфизмы, осуществляю- игл.

е 238 теОРия БиФУРкдция щие эквивалентность, должны определять гомеоморфизм (х, е) (й(х, е), ~р(е)) некоторой окрестности точки (х„е,) в прямом произведении. Те о р е м а. В окрестности нееырожденной бифуркгщионной то оси однопараметрическое семейство векторных полей на прямой зкеиеалентно роспису семейства, задающего уравнение х =хе+ее точке х=О, с=О. 4 Функция о(х, е), задающая поле, меняет знак на кривой Г. Выберем начало координат (х, е) в бифуркационной точке. Ввиду невырожденности этой точки, уравнение кривой Г имеет вид е = Сх'+ + 0()х)е), СФО. Отсюда непосредственно вытекает.

доказываемое утверждение. р Доказанная теорема вместе с теоремой пункта Б доставляют полное топологическое описание бифуркаций особых точек векторных полей на прямой в семействах общего положения с одним параметром. Г. Бифуркации периодических решений.

Совершенно таким же образом исследуются бифуркации неподвижных точек гладких отображений, а также бифуркации периодических решений дифференциальных уравнений (бифуркации замкнутых фазовых или интегральных кривых). Условие невырожденности неподвижной точки отображения состоит в том, что все собственные числа линеаризации отличны от единицы. В случае периодических решений не должны обращаться в единицу собственные числа линеарнзации функции последования (то есть собственные числа оператора монодромии, определенного уравнением в нормальных вариациях вдоль рассматриваемого решения). В частности, если уравнение х = о(х, е) при е = О имеет периодическое решение х= ~р(() с периодом Т и выполнено указанное выше условие невырожденности, то при малых е существует и единственно периодическое решение х=Ф(1, е) с периодом Т(е), обращающееся в ~р при е=О (единственной является, конечно, фазовая кривая: начало отсчета времени можно менять).

Замечание. Поиск периодического решения Ф в виде ряда по е называется методом малого параметра Пуанкаре; решение ~р называется порождающим решением. Аналогичный метод применим в неавтономном случае, когда о имеет по г' период Т(е) и ищутся Т (е)-периодические решения.

3 е д е ч е. Найти с ошибкой порядка е' 2п-яеркодяческое решение уравкеяяя х=е|пх+есоеб обрещеющсеся в хяво пря е=о. й 32. Версальные деформации фазовых портретов В этом параграфе определяются топологически нереальные деформации фазовых портретов и указывается их явный вид для простейших вырожденных особых точек. взескльныа дзфогмеции влзовых погтгзтов 239 А. Теория локальных бифуркаций и локальная качественная теория. Как уже указывалось выше, вырожденные особые точки встречаются неустранимым образом в том случае, когда мы интересуемся не индивидуальным векторным полем, а семейством полей, зависящих от параметра.

При этом в семействах общего положения встречаются лишь простейшие вырождения. К исследованию строения векторного поля вблизи вырожденной особой точки можно применить обычные методы качественной теории дифференциальных уравнений (см. гл. 3). Эти методы для простейших вырождений позволяют провести достаточно полное топологическое исследование фазового портрета. Таким образом, мы в состоянии изучить локальный фазовый портрет как при общих значениях параметра, так и при особых значениях.

В этом состоит обычный подход к задачам о семействах дифференциальных уравнений. Рассмотрение простейших бифуркаций показывает, что при таком подходе теряется самая сущность явлений, происходящих вблизи критического значения параметра. Дело в том, что окрестность невырожденной особой точки, в которой фазовый портрет дается локальной теорией, стягивается к нулю при подходе к особому значению параметра (рис. 122)„ а при особом 3 значении параметра скачком вырастает снова. В результате перестройка фазового портрета (скажем, подход соседней особой точки) остается Рэс 122.

вие области применимости локальной теории. Таким образом, локальная теория пропускает наиболее существенное явление, происходящее при особом значении параметра— явление бифуркации. Итак, мы приходим к выводу, зто изучение вырожденных особых точек представляет реальный интерес лишь в том случае, ковда оно сопровождается исследованием семейств, в которых рассматриваемый тип вырождения неустраним, и притом — в окрестности вырожденной особой точки в прямом произведении фазового пространства и пространства параметра. Иными словами, окрестность особой точки в фазовом пространстве, в которой следует исследовать фазовый портрет, не должна зависеть от параметра (не должна стягиваться к нулю при подходе параметра к особому значению). Совершенно такие же рассуждения показывают, насколько опасно неверное определение числа параметров, существенных для исследования изучаемой бифуркации.

Например, при изучении существенно двупараметрического явления с однопараметрической точки зрения обычным будет следующее явление (рис. 123). При каждом значении неучтенного параметра удается изучить бифуркации в одиопараметрическом семействе уравнений, зависящих от второго параметра. Но интервал значений второго параметра вблизи особо~о 240 ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ [ГЛ. 6 значения„ в котором удается провести исследование, будет стягиваться к нулю при подходе неучтенного параметра к особым значениям. Рассмотрение задачи как двупараметрической (т. е. в не зависящей от величины второго параметра окрестности особого значения первого параметра) позволяет исследовать локальными методами бифуркации, которые с однопараметрической точки зрения кажутся глобальными.

Примером такой двупараметрической задачи, которая кажется на первый взгляд однопараРис. 123. метрической, является задача о потере устойчи- вости замкнутой фазовой кривой. Здесь естественным параметром является модуль собственного числа оператора монодромии; второй параметр, обычно упускаемый из виду — это .аргумент собственного числа, переходящего через единичную окружйость.

Характеристики

Список файлов книги