1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В частности, три нормальные формы, описанные в следующей теореме, являются версальнымн деформациями матрицы, приведенной к верхнетреугольной жордановой нормальной форме. Теорема 2. Пусть А — голоморфно зависящее от параметра Л~ ч' семейспма линейных операторов из 6" в себя, и пусть при некотором значении Л, параметра Л оператор А (Ль) имеет собственные числа а, и жорданоеы клетки порядков пс(ас) ~п,(аД= Тогда существует базис в С", голоморфно зависящий от пара-, метра Л, меняющегося в некоторой окрестности точки Л„и такой, что матрица оператора А (Л) имеет в этом базисе блочнодиагональный вид А,+В(Л), где А,— оаорданова верхнетреугольная матрица оператора А (Л,), а В(Л)-блочно-дшиональная матрица, блоки которой соответствуют собственным числам матрицы Аь.
Блок Вс, саответспмующий собственному числу аь заполнен нулями, за исключением мест, отмеченных на рис. 109; на этих местах стоят голоморфные функции от Л. На рисунке 109 представлены три нормальные формы. В пер- вых двух число ненулевых элементов в Вс равно п,(ас) + Зп,(аД+...; в третьей все элементы на каждом косом отрезке равны. Мннивер- в1в ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ [гл. в сальные деформации матрицы А, получатся, если считать отмеченные элементы матриц В~ независимыми переменными; нх число во всех трех случаях равно Я(а,(а~)+Зп (а)+...1.
Преимуществом в) Рис. 109. а) первых двух нормальных форм является то, что в них число ненулевых элементов матрицы — наименьшее возможное. Преимуществом третьей формы является ортогональность версальной деформации к соответствующей орбите (в смысле поэлементного' скалярного умножения матриц). В. Доказательство нереальности, 4 Пусть А: Л-1-С"' — деформация матрицы А,=А(0) с параметром Х ен Л, такая, что отображение А трансверсально к орбите С матрицы Ав под действием группы линейных замен координат.
Предположим, что число параметров деформации минимально (т. е. равно коразмерности орбиты в пространстве С" всех Матриц). Такая деформация называется минитраневерсальной. Л е м м а 1. Мин итрансеерсальнак дефо рмаиия А миниверсальна. Для доказательства леммы нам потребуется следующее О п р е дел е н ив.
Централизатором матрицы и называется множество всех матриц, коммутирующих с и. Обозначение: Е„(о:1и, о) О), 1и, о)=ио — ои. Централизатор любой матрицы порядка п является линейным подпространством пространства С" всех матриц порядка п. Пусть 2 — централизатор матрицы А,. Проведем через единицу е в пространстве невырожденных матриц гладкую поверхность, трансверсальную к е+ с, размерность которой равна коразмерности централизатора (т. е. Имеет минимальное возможное значение).
Обозначим эту поверхность через Р и рассмотрим отображение Ф: РхЛ-~ С", Ф(р, Х)=рА(Х)р-'. Лемма 2. Отобразсение Ф в окрестности точки (е, О)— локальный диффеоморфиэм на (С", А,). МАТРИЦЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ 2!9 Для доказательства леммы 2 рассмотрим отображение «р группы невырожденных матриц в пространство С" всех матриц, заданное формулой «Р(Ь) =БА,Ь '. 1'. Производная отображения «р в единице есть оператор коммутирования с А,: 'Ь: С - С ° ф.и=[и, Аь]. 4 (в+еи) А«(в+еи)-«=А«+В [и,ц 1 Из 1' вытекает 2'.
Размерность централизатора матрицы Аь равна коразмерности орбиты, а размерность трансверсали к централизатору=— размерности орбиты: йщ Я = йгп Л, дпп Р = й ш С. Введем в пространстве С эрмитово скалярное произведение (А, В) = 1г(АВ«), где В" †матри, полученная из В транспонированием и комплексным сопряжением. Соответствующий скалярный квадрат — это просто сумма квадратов модулей элементов матрицы. Лемма 3.
Вектор В из касательного пространства к С" в точке А«перпендикулярен к орбите матрицы А, если и только если [В*, Аь] = О. 4 Касательные векторы к орбите — это матрицы, представленные в виде [Х, А«1. Ортогональность В к орбите означает, что при любом Х имеем ([Х, А«1, В) =О. Иначе говоря, при любом Х 0=1г([Х А«) В')=1г(ХА«В* — А«ХВ*)= =1г([А«. В*1 Х)=([А«В"1 Х«).
Ввиду произвольности Х это условие эквивалентно [А«, В*1=0. Итак, лемма доказана: ортогональное дополнение к орбите матрицы получается из ее централизатора транспоиированием и сопряжением. э Централизаторы матриц, приведенных к жордановой нормальной форме, выписать нетрудно.
Предположим вначале, что матрица имеет только одно собственное число и ряд верхне-жордановых клеток порядков п,~п«)... Лемма 4. С матрицгй А„коммутируют мат- рнс. По. Рицы, изображенные на рис. 110 и только они. На рис. 110 каждый косой отрезок означает ряд одинаковых чисел, а в незаполненных местах подразумеваются нули. Таким образом, число отрезков равно размерности централизатора. 4 Лемма 4 доказывается непосредственным вычислением коммутатора (см.
например, Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц; а(., «Наукаь, 1967, стр. 199-207). 1 220 [гл 6 ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИИ Из леммы 4 следует, что размерность централизатора матрицы АА (равная коразмерности орбиты и минимальной возможной размерности версальной деформации) дается формулой Н = и, + йп, + + бп,+... Если жорданова матрица А, имеет несколько собственных чисел, разобьем ее на блоки, соответствующие собственным числам. Тогда матрицы, коммутирующие с Ам будут блочно-диагональными, причем каждому, собственному числу соответствует блок описанного на рис. 110 вида.
Поэтому формула для размерности ' централизатора (коразмерности орбиты, размерности миниверсальной деформации) получается из предыдущей суммированием по всем различным собственным числам. Действительно, ф есть линейное отображение пространств одинаковой размерности, поэтому размерность ядра равна коразмерности образа.
Доказательство леммы 2 4 Производная Фпорв(е,0) есть ф„а производная по Х есть АФ. Эти операторы подоказанному выше изоморфно отображают касательные пространства к Р в е и к Л в 0 на трансверсальные пространства тех же размерностей (касательное к орбите С в А, для Р и трансверсальное к ней для Л). Следовательно, производная Ф в тОчке (е, О) есть нзоморфизм линейных пространств размерности лэ, По теореме об обратной функции Ф есть локальный диффеоморфизм. $ Доказательство леммы 1. 4 Будем рассматривать р и А как координаты точки Ф(р, Х).
Пусть А': (М, О)-+ (С"*, А ) — .:. любая деформация матрицы А,. Пусть (А ~ М вЂ” параметр дефор-:., мации. Определим Х=ср(1А) формулой <р(1А) =) (А'(1А)) н положим В ()А) = р (А' ((А)). тогда А' 0А) = В (1А) А (<р ()А)) В-' (1А), что и доказывает версальность деформации А. Минимальность размерности базы этой деформации очевидна. ~ В качестве трансверсальной деформации матрицы А, можно "... взять семейство матриц вида АР+В, где матрица В принадлежит описанному выше ортогональному дополнению к орбите матрицы Аэ.
Мы получаем таким образом миниверсальиую деформацию мат- г рицы Ао. В случае, когда матрица АА имеет только одно собственное число, матрица В имеет вид, изображенный на рис. 109, в. Здесь ... на каждом косом отрезке стоит ряд равных чисел; число параметров равно числу отрезков и дается указанной выше формулой. Матрица В имеет много ненулевых элементов. Можно построить . миниверсальные деформации А, + В, в которых число ненулевых элементов матрицы В минимальное возможное (равно числу параметров). С этой целью выберем в централизаторе базис: сопоставим каждому косому отрезку на рис.
109, в матрицу из нулей н единиц, у которой единицы стоят на этом косом отрезке. млтэицы, злвисящив от плглмзтгоз Систему независимых уравнений касательной плоскости к орбите- составляют следующие уравнения: для каждого косого отрезка рис. 109 сумма соответствующих элементов матрицы равна нулю (леммы 3 и 4). Таким образом, чтобы получить трансверсальиое к орбите семейство А,+В достаточно в качестве семейства матриц В брать матрицы, у которых на каждом косом отрезке рис. 109, в в одном месте стоит независимый параметр, а в остальных местах стоят нули.
Выбирать ненулевой элемент на каждом 'косом отрезке можно в любом месте. Например, годится выбор, указанный в теореме 2 пункта Б. э Г. Примеры. Будем обозначать верхнетреугольную жорданову матрицу произведением определителей ее клеток. Например, а' означает жорданову клетку порядка 2, а аа †матри второго порядка, кратную единичной. Первая нормальная форма теоремы п.
Б приводит к следующим миниверсальным деформациям: а) Версальная (и универсальная) двупараметрическая деформация жордановой клетки сР порядка 2; б) Версальная (но не универсальная) четырехпараметрическзя деформация скалярной матрицы асс порядка 2: в) Версальная и универсальная трехпараметрическая деформация жордановой клетки сс'. г) Версальная пятипараметрическая деформация матрицы а'а: О сс О+ Хд Х~ Например, всякое голоморфное семейство матриц, содержащее при нулевом значении параметра жорданову клетку а'приводится при близких значениях параметра к нормальной форме (1), где Х„ дз — голоморфные функции параметров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
