1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Пример. Р((ч, (ч) есть трехмерное пространство с координатами (х, у, р) (ср. э 3). Множество .1»(М, У) имеет естественную структуру гладкого многообразия. Действительно, выберем системы координат в окрестности точки из М и в окрестности образа этой точки в У при некотором отображении ). Тогда' Ьструя отображения г и все близкие струи задаются координатами точки-прообраза и наборами коэффициентов отрезка ряда Тейлора отображения в этой точке. Тем самым мы построили карту многообразия струй Р (М, У)- в окрестности той его точки, которой является л-струя отображения 1.
Размерность мнопюбразия струй легко сосчитать. Например, ,1»(М У)=М)сУ б)ша'е(М У)=<31шМ+б(шУ д(шР(М, У) =б(шМ+б)шУ+б(шМ г(1шУ. Имеется естественное отображение .1»" (М, У)-»-,1»(М, У) ((й+ 1)-струя определяет й-струю, так как из (й+ 1) касания вытекает й-касание). Это гладкое отображение является расслоением. Мы получаем цепочку расслоений ...:,,У»-~.,/»-1-Ф....-..- ~»-ч-,)» = М х У. Слой каждого из этих расслоений диффеоморфен линейному пространству, но не имеет (при й) 1) естественной линейной структуры (снеинвариантность высших дифференциалов»).
Мнопюбразия 1» являются своего рода конечномерными аппроксимациями бесконечномериого функционального пространства гладких отображений из'М в У. ') В вещественно-гладком случае все равно, рассматривать лн здесь струи Ростков, нлн струи отображений всего М, так как каждый росток является Ростком глобального отображения.
В комплексной же ситуации глобальное гладкое отображенне с заданной струей может н ке существовать. теОРия Биоуркапии (гл. з Г. Группы струй локальных диффеоморфизмов н пространства струй векторных полей. Рассмотрим пространство струй г'ь(М, М). В этом многообразии лежит подмногообразие й-струй диффеоморфизмов. Это подмногообразие — не группа, так как струи можно умножать только если устье одной струи есть исток другой. Зафиксируем некоторую точку на М и рассмотрим все ростки диффеоморфизмов М, оставляющих эту точку на месте. Их й-струи уже образуют группу. Определение. Группа й-струй ростков диффеоморфизмов М, оставляющих на месте точку х, называется группой й-струй локальных ди4яреоморфизмов многообразия М в точке х и обозначается через г'„(М). П р им е р. Группа 1.струй локальных диффеоморфизмов изоморфна линейной группе Ухг(МФ)=Я. (1«™).
Прн а ) 1 получается более сложная группа Ли. Поскольку я.струя определяет (я — 1)-струю, получаем пеночку 'отображений у„"(М) ... у„г (м) =я. (Р"'). Легко видеть, что зяги оягображения (отображения забывания членов степени й в многочлене Тейлора) — гомоморгризмм, а их ядра — коммуяюгпизязге еруппы, Пусть, например, яг=1. Тогда: «1 Если )(х)=х+ахз(юоб(хь+т)) и я(х)=х+ьхь (юобхаы), то () и) (х) = = х+аха+Ьх" (юоб х"+'). Ь Векторное поле на многообразии М вЂ” это сечение касательного расслоения р: ТМ- М, т.
е. такое гладкое отображение гл М-ь -ьТМ, что коммутативна диаграмма М вЂ” "ТМ (р М Определения ростков, струй и пространств струй 'векторных полей повторяют предыдущие определения. Группа диффеоморфизмов многообразия М действуег на пространстве всех векторных полей на М, а также на пространствах й-струй векторных полей на М. Группа й-струй локальных диффеоморфизмов многообразия М в точке действует на пространстве (й — 1)-струй векторных полей на М в этой точке; это действие линейно. П р и ме р.
Пусть в=атх+озь«-(-...— 2-струя локального диффеоморфизма в нуле. Образ 1.струи поля о(х)=от+ох+... дается формулой ю(х)=* ~юз+гатх+..., где шз=ого„пЧ а,о,а,'+2а,о о,. 4 Эта формула получается при записи' уравнения х=о(х) в координатах юв Д. Слабая теорема трансверсальности, Доказательства возможности приведения в общее положение часто удается заменить ссылкой на некоторые стандартные (и оче- вот СЕМЕИСТВА И ДЕФОРМАЦИИ видные) теоремы трансверсальности. Ниже приведены формулировки и наброски доказательств наиболее употребительных теорем трансверсальности.
Ссылки на теоремы трансверсальности служат в основном для экономии места: в каждом конкретном случае соответствующее конкретное утверждение легко доказать непосредственно. Определение. Два линейных подпространства Х и У линей- ного пространства Ь называются трансверсальными, если их сумма есть все пространство: 1.= Х+у. Например, две пересекающиеся под ненулевым углом плоскости в трехмерном пространстве трансверсальны, а две прямые — нет. Пусть А и  — гладкие многообразия, и пусть С- гладкое подмнопюбразие в В (здесь и далее слово многообразие означжт многообразие без края).
Определение. Отображение 1: А — ~В называется трансверсальнь(м к С в точке а из А, если либо г(а) не принадлежит С, либо касательная плоскость к С в точке г(а) и образ касательной плоскости к А в точке а транс- Я версальны (рис. 105): . ~аТаА+ Т((а(С= Т((а(В. Определение. Отображение 1: А-а-В трансверсально к С, если оно трансверсально Рас. (оз. к С в любой точке многообразия-прообраза.
Например, вложение прямой в трехмерное пространство трансверсально другой прямой в этом пространстве если и только если прямые не пересекаются. Замечание. Отображение прямой на плоскость может не быть трансверсальным 1(ежащей на плоскости прямой даже и в том случае, когда образом этого отображения является нормаль к данной прямой (образ касательного пространства и'касательное пространство к'образу — не одно и то же). Отметим также, что если (' А-~В трачсверсально к С, то прообраз С в А есть гладкое подмногообразие, и его коразмерность в А равна коразмерности С в В. Часто встречается ситуация, когда 'С вЂ” не гладкое подмногообразие, а подмногообразие с особенностями.
О п р е д е л е н и е. Стратифицированным под многообразием гладкого многообразия называется конечное объединение попарно непересекающихся гладких многообразий (стратов), удовлетворяющее следующему условию: замыкание каждого страта состоит из него самого и конечного объединения стратов меньших размерностей. Отображение называется трансверсальным стратифицирован- ному подмюгообрази(о, если оно трансверсально каждому страту. теОРия виеувкдцин [Гл. 6 П р и м е р.
Пусть С вЂ” объединение двух пересекающихся по прямой плоскостей в трехмерном пространстве, стратификация— разбиение на прямую пересечения н четыре полуплоскости. Трансверсальность к С означает трансверснльность к каждой из плоскостей и трансверсальность к прямой пересечения. Например, кривая, трансверсальная к стратифицированному многообразию С, не пересекается с прямой особенностей С. Теорема. Пусть А' — компактное многообразие, и С вЂ” компактное подмногоМразие в многообразии В. Тогда отображения г[ А -е- В, трансверсальные к С, образуют открытое всюду плотное множество в пространапве всех достаточно гладких отображений А — В (близость отображений г определяется как близость функций, задающих ), и их производных до достаточно большого порядка г).
Эта теорема называется слабой теоремой трансверсальности. Ее утверждение означает, что малым шевелением можно превратить отображение, не трансверсальное фиксированному подмногообразию, в траисверсальное (рис. 106). Еели же трансверсальность имеет место, то она сохраняется при малых шевелениях.
4 Рассмотрим частный случай, когда В есть линейное пространство, В=И, а С вЂ” его надпространство (ч~". Представим В в виде суммы В С+О двух подпространств дополнительной размерности, С=.(ч" ь н О=Р. Спроектируем В на О вдоль С; обозначим эту проекцию через и. Рассмотрим отображение и у: А — ьО. Точка. 0 является критическим значением для этого отображения тогда и'только тогда, когда отображение ): А-ьВ не трансверсально подмногообразию Сс: В. По лемме Сарда (2 1О) почти все точки из О не являются критическими значениями для отображения я.Г. Пусть е — точка из О, не являющаяся критическим значением для я г. Построим отображение г,: А-+ В, положив.
[з (а) =) (а) — е. Тогда отображение [з трансверсально к С. Поскольку з можно было взять сколь угодно малым, всюду плот-ность трансверсальных отображений в нашем частном случае доказана. Открытость следует нз теоремы о неявной функции. Общий случай легко сводится к рассмотренному. й' Э а меч а н н е. Если С не компактно, то чоткрытоеь нужно, вообще говоря, заменить на чпересечение счетного множества огкрыгыхэ. Пример 1.  — тор, С вЂ” его обмотка, А — окружность. Пример 2.
 — плоскость, А — вложенная в плоскость окружность, С— касательная к ней (без самой точки касания). Вложение трансверсально к С, но существуют сколь угодно близкие не трансверсальные к С отображения. Лля того, чтобы трансверсальные к С отображения компактного А в В образовывали ожкрылкм всюду плотное множество, достаточно вместо компактностн С потребовать, чтобы у иаждой точки из В нашлась такая окрестность, СЕМЕИСТВА И ДЕФОРМАЦИИ пара (окрестность, ее пересечение с С) диффеоморфна паре ([7, [7 ) либо паре ([«, пчстое множество). ь пространство отобр тонкой топологией». В этой топологии окрестность отображения В А -ь В определяется следующим образом. Фиксируем открытое множество С в пространстве струй уэ (А, В) при каком-либо 4.
Множество С".отображений р А — В, Ьструи которых в каждой точке принадлежат С, открыто в тонкой опологии. Такие непустые открытые множества берутся в качестве базиса окрестностей, задающих тонкую топологию в пространстве бесконечно-днфференцируемых отображений, Таким образом, близость двух отображений в тонкой топологии означает сколь угодно быстрое сближение этих отображений (с любым числом производных) «на бесконечности»; в частности, график достаточно близкого к 7 отображения лежит в сколь угодно быстро утончающейся «на бесконечности» окрестности графика отображения В Отсюда следует, что сходимость последовательности в тонкой топологии влечет полное совпадение вне некоторого компактного множества всех членов последовательности, начиная с некоторого.
Тем не менее, любая окрестность данного отображения в тонкой топологии содержит отображения, нигде не совпадающие с данныи. Если открытость и всюду плотность понимать в смысле тонкой топологии, то теорема трансверсальности верна и для некомпактиых А (для открытости С должно быть компактным иля удовлетворять сформулированному выше условию). Теорема трансверсальности очевидным образом распространяется на случай стратифицированного подмногообразия С. Однако в этом случае теорема .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
