1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 49
Текст из файла (страница 49)
гарантирует, что трансверсальные отображения образуют не открытое всюду плотное множество, а лишь всюду плотное пересечение счетного числа открытых множеств. Чтобы трансверсальные к стратифицированному многообразию отображения образовывали открытое всюду плотное множество, достаточно, чтобы стратификация удовлетноряла следующему дополнительному условию: всякое вложение, трансверсальное к страту меньшей размерности, трансверсально ко всем примыкающим стратам большей размерности в некоторой окрестности этого страта меньшей размерности.
П р и м е р 1. Пусть С вЂ” конечное объединение х плоскостей в линейном пространстве, стратифицнрованное естественным образом (например, пара пересе. кающихся плоскостей в [«э). Иэ траисверсальности к [7 следует траясверсальность к объемлющему [«г, поэтому наше условие выполнено. Пример 2. Пусть С вЂ” конус хз рэ-[-э»в 1«~, стратификация — разбиение на точку 0 я дае полы. Наше условие, как нетрудно проверить, выполнено. Пример 3. Пусть С вЂ” зонтик Уитни, заданный Рис. 107.
уравнением' ) у»=ах» в [«э (рнс. 107). [Часть э~О этого стратифицированного многообразия являетсв образом отображения Чс [«э -ь Пз, заданного формулами я а, г=оэ, р ио. Уитни доказал, что 1) при малом шевелении отображения Ф сохраняется осо- *) Зонтик включает ручку, изображенную на рнс. 107 жирной линней. 2)О тнория виеирхдции (гл.
в бенность такого же (с точностью до диффеоморфизмов Р и )) ) типа; 2) это з зч единственная особенность отображений двумерных многообразий з трехмерные, сохрзнявщзяся при малых шевелениях (кроме линий сзмопересечения), все прочие особенности при малом шевелении рзспздзвтся нз особенности этого типа.) Из трзнсверсзльности к особой прямой я=у=о не следует трзнсверсзльность к многообрззиго близких к втой прямой регулярных точек поверхности (плоскость я=о трзнсверсзльнз прямой и не трзнсверсзльнз поверя- ности). Если условие на стратификацию С трансверсальность к меньшему =ьтрансверсальность к большему выполнено, то трансверсальность ко всей стратификации достигается так.
1) Страты минимальной размерности гладкие, к ним применима обычная теорема. 2) В окрестности стратов минимальной размерности трансверсальиость достигнута на всех стратах. 3) Выкидываем из объемлющего многообразия замыкание окрестности стратов минимальной размерности и переходим к стратам следующей размерности. Пример. Пусть  — пространство линейных операторов Ь: )с -ь)ч", С вЂ” множество операторов не максимального ранга. Операторы ранга г образуют гладкое подмногообразие, коразмерность которого в пространстве В равна (т — г)(п — г). Разбиение на многообразия операторов различных рангов задает стратификацию на С.
Отображение г: А --.-  †э семейство линейных операторов из Й" в )се ° гладко зависящих как от параметра от точки многообразия А. Многообразие А называется базой семейства. Нз теоремы трансверсальности сразу вытекает С л е д с т в и е. В пространстве гладких семейств матриц порядка гп х п 'впаду платное множество образуют семейства, трансеерсальные стратифицированному многообразию С матриц не максимального ранга. В частности, значения параметра, которым соответствуют матрицы ранга г, образуют, вообще говоря (для семейств из всюду плотного пересечения открытых множеств в пространстве семейств), гладкое подмногообразие коразмерности (т — г) (и — г) в базе семейства.
Например, в пятипараметрическом семействе общего положения матриц порядка 2хЗ ранг падает до 1 на трехмерном глц)(ком подмногообразии пространства параметров и не равен О ни в одной точке пространства параметров; если для данного семейства зто не так, то сколь угодно малой деформацией семейства можно добиться того, что семейство станет семейством общего положения. Е. Теорема трансверсальиости Тома. Теорема трансверсальностн Тома является обобщением слабой ' теоремы трансверсальности, в котором роль подмногообразия С: играет подмногообразие пространства струй. семеистВА и деФОРмАции С каждым гладким отображением ! ! М -». йГ связано его «й-струйное расширение» гз: М-ч- (з(М, й(), ! (х) 1,(г) (точке х из М сопоставляется й-струя отображения Г в точке х).
Т е о р е м а. Пусть С вЂ” подмногообразие пространства струй 1»(М, й!). Тогда множество отображений Г: М-~-У, й-струйные расширения которых трансверсальны к С, — всюду плотное счетное пересечение открытых множеств в пространстве всех гладких отображений из М в У. 3та теорема означает, что малым шевелением гладкого отображения можно привести его в общее положение не только по отношеншо к любому гладкому подмногообразию в пространстве-образе, но и по отношению к любому условию, наложенному на производные любого конечного порядка. 3 а меча и не.
Слабая теорема траисверсальиости получается из сформулироваииой при й=о. Сильная же из слабой непосредственно ие вытекает по следувшей причине. Можно было бы применить слабую теорему к отсбрзжеиив Г: М-~Хь и получить близкое к / траисверсальисе к С отображение. Одизко зто близкое отображение, вообще говоря, ие будет Ьструйиым расширеиием никакого гладкого отображения из М в АГ. Теорема трансверсальности Тома утверждает, что трансверсализирующую деформацию можно выбрать в более узком классе деформаций: достаточно ограничиться деформацией й-струйного расширения в пространстве й-струйных расширений; а не в пространстве всех сечений М-» гз. Таким образом, теорема означает, что условия интегрируемости (выполнение которых отличает й-струйные расширения отображений из М в У от произвольных сечений М-» 1») не мешают достигнуть трансверсальности.
4 Сущность доказательства состоит в такой же редукции к лемме Сарда, как н для слабой теоремы трансверсальности. Основное отличие состоит в том, что трансверсализирующая деформация и!цегся не в классе отображений г,=) — е, а в более широком классе полиномиальных деформаций ~, = Г+ г,е, +... + е,е„,где ег — всевозможные вектор-мономы степени не выше й. Лемма 1. Рассмотрим гладкое отображение Р: А хЕ-ь. В прямого произведения гладких многообразий А и Е в гладкое многообразие В.
Будем рассматривать Р как семейство отображений Р, мноыюбразия А в В, зависящих от точки е многообразия Е как от "араметра. Тогда если отображение Р трансверсально к подмногозбразию С многообразия В, то почти каждый член Р;. А ч-В соответствующего Р семейства трансверсолен к С. ~ Рассмотрим Р-'(С). По теореме о неявной функции, это— "ладкое подмногообразие в А х Е. Рассмотрим проекцию этого поды"огообразия на Е вдоль'А. По лемме Сарда почти все значения— критические. Пусть а — не критическое значение. Тогда 2!2 ТЕОРИЯ ВИФУРКАЦИИ [гл. в Р;.
А -~ В трансверсально к С (ибо Р трансверсально к С, а А х е трансверсально к Р-'(С)). Ь Лемма 2. Пусть г — гладкое отображение из Й в (ч". Вафиксируем в Р и в Р" систгмы координат и рассмотрим гладкое отображение прямого произведения пространства Р на пространство Р в пространство и-струй отображений г'ь(М, !ч'), определенное формулой (х~ г) ~ ~ (1п ь)1 где ~,=~+е,е,+...+е,е, (е„..., е,— всевозможные произведения мономов степени не выше й от координат тачки х из 1'. на базисные векторы в Р").. Уааерждается, что построенное отобраясение не имеет критических значений (и, следовательно, трансверсальна любому подмногообразию пространства й-струй). 4 Координатами в пространстве г'ь являются координаты точки х из !ч и коэффициенты Тейлора струи в этой точке до степени й включительно. При подходящем выборе коэффициентов е„.', е, вектор-миогочлен е е, +...+е,е, будет иметь в любой наперед заданной точке х любой наперед заданный набор коэффициентов Тейлора до членов степени й включительно.
Отсюда непосредственно вытекает утверждение леммы. Ь Пусть С вЂ” гладкое подмногообразие в В =ге(Р, Н"), Применим к отображению леммы 2 лемму 1 (в которой А =Р", Е=Р; Р(х, е) =1АГ,). По лемме 1 для почти всех е отображенис Р, =. *=Р(, е) трансверсально к С. Выбрав е достаточно малым, мы получим сколь угодно близкое к Г (в любой конечной части Р ) отображение 1,: Р— Й", к-струйное расширение которого трансверсально к С.
Переход от этой локальной конструкции к глобальной (замена Р, Р" на М, У) не представляет затруднений. Ь Ж. Пример: распадение сложных особых точек векторного поля. В качестве приложения теорем трансверсальностн рассмотрим вопрос о том, какие особые точки имеет векторное поле общего положения. Оп р еде л е н и е.
Особая точка х векторного поля о называется невырожденной, если оператор линейной части поля в особой точке невы рожден. Из теорем трансверсальности вытекает С л е д с т в и е. В функциональном пространстве гладких векторных полей на компактном многообразии открытое всюду плотное множество образуют поля, все особыг точки которых невы- рождены (и, следовшпельна, изолированы). симпяствл и дкьормации 21о м Особые точки — это прообразы гладкого многообразия (нулевого сечения) в пространстве 0-струй векторных полей. Невырож1енность особой точки есть трансверсальность 0-струйного расширения поля к этому многообразию.
Итак, вырожденная особая точка распадается на невырожденные при сколь угодно малом шевелении поля. Пр имер. Рассмотрим особую точку типа «седло-узел»: х=х, у= — у. * а При шевелении х=х' — е, у= — у седло-узел распадаегся на две особых точки: седло и узел. Возникает вопрос, на сколько особых точек распадается данная сложная особая точка при малых шевелениях. Как это обычно бывает (скажем, в теории алгебраических уравнений), вопрос наиболее естественно решается в комплексной области.
Определение. Число невырожденных (комплексных) особых точек, на которые распадается сложная особая точка при малом шевелении, называется кратностью особой точки. 3 а м е ч а и и е. Строго говоря, краткость определяется следующим обрааом: 1) фиксируется достаточно малая окрестность особой точки в комплекйпом пространстве,' 2) по выбранной окрестности выбирается малость шевеления; 3) для пошевелеииого 'поля считается число особых точек в окрестиости даииой точки. Ниже будет указана формула для кратности особой точки в терминах диаграмм Ньютона (А. Г. Кушниренко, Д. Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
